專題06函數(shù)的奇偶性與周期性最新考綱1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義2.會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性.基礎(chǔ)知識融會貫通1函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點對稱2.周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期【知識拓展】1函數(shù)奇偶性常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x|)(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性(3)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇奇，偶±偶偶，奇×奇偶，偶×偶偶，奇×偶奇2函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(xa)f(x)，則T2a(a>0)(2)若f(xa)，則T2a(a>0)(3)若f(xa)，則T2a(a>0)重點難點突破【題型一】判斷函數(shù)的奇偶性【典型例題】下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)是（）Af（x）x|x|Bf（x）x3Cf（x）Df（x）【解答】解：由f（x）x|x|x|x|f（x），知函數(shù)f（x）x|x|為奇函數(shù)，又f（x）x|x|當(dāng)x0時，f（x）x2在（0，+）上為增函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點中心對稱，所以當(dāng)x0時，f（x）x2在（，0）上也為增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）x|x|在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，故A正確21，而2313，所以函數(shù)f（x）x3在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故B不正確不關(guān)于原點對稱，f（x）sinx在給定的定義域內(nèi)不是奇函數(shù)，故C不正確f（x）的定義域為x|x0，不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)不是奇函數(shù)，故D不正確故選：A【再練一題】下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間1，1上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）Af（x）sinxBf（x）|x+1|CD【解答】解：f（x）sinx是奇函數(shù)，但其在區(qū)間1，1上單調(diào)遞增，故A錯；f（x）|x+1|，f（x）|x+1|f（x），f（x）|x+1|不是奇函數(shù)，故B錯；a1時，yax在1，1上單調(diào)遞增，yax1，1上單調(diào)遞減，f（x）在1，1上單調(diào)遞增，故C錯；故選：D思維升華 判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式f(x)f(x)0(奇函數(shù))或f(x)f(x)0(偶函數(shù))是否成立【題型二】函數(shù)的周期性及其應(yīng)用【典型例題】已知函數(shù)f（x）滿足f（0）2，且對任意xR都滿足f（x+3）f（x），則f（2019）的值為（）A2019B2C0D2【解答】解：f（x+3）f（x），f（x+6）f（x+3）f（x），f（x）的周期為6，f（2019）f（3），又f（3）f（0）2，f（2019）2故選：D【再練一題】定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+6）f（x），當(dāng)3x1時，f（x）（x+2）2；當(dāng)1x3時，f（x）x，則f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）（）A336B337C338D339【解答】解：f（x+6）f（x），當(dāng)3x1時，f（x）（x+2）2當(dāng)1x3時，f（x）x，f（1）1，f（2）2，f（3）f（3）1，f（4）f（2）0，f（5）f（1）1，f（6）f（0）0，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）1，f（x+6）f（x），f（x）的周期為6，f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）336+f（1）+f（2）+f（3）338故選：C思維升華 函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì)對函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值【題型三】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用命題點1求函數(shù)值或函數(shù)解析式【典型例題】已知奇函數(shù)f（x）（xR）滿足f（x+4）f（x2），且當(dāng)x3，0）時，則f（2018）（）ABCD【解答】解：奇函數(shù)f（x）（xR）滿足f（x+4）f（x2），f（x+6）f（x），當(dāng)x3，0）時，f（2018）f（336×6+2）f（2）f（2）故選：D【再練一題】設(shè)偶函數(shù)f（x）對任意xR，都有f（x+3），且當(dāng)x3，2時，f（x）4x，則f（107.5）（）A10BC10D【解答】解：因為f（x+3），故有f（x+6）f（x）函數(shù)f（x）是以6為周期的函數(shù)f（107.5）f（6×17+5.5）f（5.5）故選：B命題點2求參數(shù)問題【典型例題】已知函數(shù)f（x）lnx，且f（a）+f（a+1）0，則a的取值范圍為（）A（1，）B（）C（）D（）【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）lnx，有0，解可得1x1，即函數(shù)f（x）的定義域為（1，1），有f（x）ln（x）（x）f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，分析易得，f（x）lnx在（1，1）上為增函數(shù)，f（a）+f（a+1）0f（a）f（a+1）f（a）f（a1），則有，解可得a0，即a的取值范圍為（，0）；故選：B【再練一題】已知，若f（x）xa為奇函數(shù)，且在（0，+）上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值是（）A1，3B，3C1，3D，3【解答】解：若f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，則0，排除A，C，當(dāng)2時，f（x）x2為偶函數(shù)，不滿足條件當(dāng)時，f（x）為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件當(dāng)3時，f（x）x3為奇函數(shù)，滿足條件當(dāng)時，f（x）為奇函數(shù)，滿足條件故選：B命題點3利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式【典型例題】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間（，0上單調(diào)遞增，若實數(shù)a滿足f（），則a的取值范圍是（）A（）B（1，）C（0，）D（）【解答】解：函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間（，0上單調(diào)遞增，f（x）在R上都是增函數(shù)，則不等式f（），等價為f（）f（），即，則log3，即a即實數(shù)a的取值范圍是（），故選：A【再練一題】定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且在（0，+）內(nèi)是增函數(shù)，又f（3）0，則f（x）0的解集是（）A（3，0）（3，+）B（，3）（0，3）C（，3）（3，+）D（3，0）（0，3）【解答】解：f（x）是奇函數(shù)，且在（0，+）內(nèi)是增函數(shù)，f（x）在（，0）內(nèi)是增函數(shù)，f（3）f（3）0，f（3）0則對應(yīng)的函數(shù)圖象如圖（草圖）則當(dāng)3x0或x3時，f（x）0，當(dāng)0x3或x3時，f（x）0，即f（x）0的解集是（，3）（0，3），故選：B思維升華 (1)關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關(guān)鍵是將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題(2)掌握以下兩個結(jié)論，會給解題帶來方便：f(x)為偶函數(shù)f(x)f(|x|)若奇函數(shù)在x0處有意義，則f(0)0.基礎(chǔ)知識訓(xùn)練1下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，是偶函數(shù)，函數(shù)圖像開口向下在上單調(diào)遞減，不符合題意；對于B，的圖像不關(guān)于y軸對稱，故不是偶函數(shù)，不符合題意；對于C，是偶函數(shù)，在（0，+）上單調(diào)遞增，符合題意；對于D，是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，不符合題意；故選：C2已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）ABCD【答案】D【解析】 為奇函數(shù)當(dāng)時，可知上單調(diào)遞增上也單調(diào)遞增，即上的增函數(shù) ，解得：本題正確選項：3設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則（ ）ABCD【答案】A【解析】依題意，由于為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，故函數(shù)的最大值與最小值的和為，所以的最大值與最小值的和為，故選A.4下列函數(shù)中既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是ABCD【答案】B【解析】對于為偶函數(shù)，對于是奇函數(shù)；對于奇函數(shù)；對于時，時，該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故選B5已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，則等于AB8CD【答案】A【解析】是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，；故選：A6已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且（ ）AB9CD0【答案】A【解析】根據(jù)題意，函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則f（x）f（x），又由f（1+x）f（1x），則f（x）f（2+x），則有f（x+2）f（x），變形可得f（x+4）f（x+2）f（x），即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，則f（2019）f（1+505×4）f（1）f（1）9；故選：A7已知是定義在上且以4為周期的奇函數(shù)，當(dāng)時，為自然對數(shù)的底），則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點之和為（ ）A6B8C12D14【答案】D【解析】f（x）是定義在R上且以4為周期的奇函數(shù)，f（0）=0，f（-2）=f（-2+4）= f（2），又f（-2）=-f（2），f（2）=0，且當(dāng)x（0，2）時，則=0,則x=1，且在x（0，1）時，單調(diào)遞減，在x（1，2）時，單調(diào)遞增， =f(2)>0,故函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：由圖可得：函數(shù)f（x）在區(qū)間區(qū)間上共有7個零點，故這些零點關(guān)于x2對稱，故函數(shù)f（x）在區(qū)間區(qū)間上的所有零點的和為3×4+214，故選：D8設(shè)函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時，則=( )A2B2C4D6【答案】A【解析】因為的周期為2，所以，由為奇函數(shù)，則，但，故，故，選A9已知函數(shù)，則滿足的取值范圍是ABCD【答案】D【解析】因為的定義域是，故是奇函數(shù)，又，故遞增，若，等價于，故，解得，故選D10已知是偶函數(shù)，且對任意，設(shè)，則（ ）ABCD【答案】B【解析】對任意，函數(shù)上為增函數(shù)又函數(shù)為偶函數(shù)，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又，即故選B11已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則滿足的x取值范圍是ABCD【答案】D【解析】根據(jù)題意，偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則上為增函數(shù)，則，解可得：，即x的取值范圍是；故選：D12定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，則的解集為（ ）ABCD【答案】C【解析】當(dāng)時，所以上單調(diào)遞增，因為，所以當(dāng)時，等價于，即，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以 時，上單調(diào)遞增，且，所以等價于，即，所以不等式的解集為13若，則滿足不等式的取值范圍為_【答案】【解析】由題意得，所以是R上的奇函數(shù)，所以=0，又在R上單調(diào)遞減，所以，即，所以，解得，即的取值范圍為.答案為.14已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的交點為，則_【答案】18【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)關(guān)于點對稱，函數(shù)關(guān)于點對稱，所以兩個函數(shù)圖象的交點也關(guān)于點（1，2）對稱，圖像的交點為，,兩兩關(guān)于點對稱，.故答案為：1815已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，則_【答案】【解析】由可得，所以，故函數(shù)的周期為，所以，又當(dāng)時，所以，故16已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，則_.【答案】0【解析】根據(jù)題意,為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,則有，若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則有,則有,設(shè)，則變形可得，則函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，又由函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則，則有，可得，故答案為0.17已知定義在上的奇函數(shù)有最小正周期2，且當(dāng)時，.(1)求的值；(2)求上的解析式.【答案】（1）0,0；（2）【解析】(1)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，f(1)f(12)f(1)f(1)，f(1)0，f(1)0.(2)由題意知，f(0)0.當(dāng)x(1，0)時，x(0，1).由f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，綜上，在1，1上，.18函數(shù)的定義域為，且對任意，有，且當(dāng)時，()證明是奇函數(shù)；()證明上是減函數(shù)；(III)若，求的取值范圍.【答案】()見解析()見解析(III)【解析】()證明：由，令y=-x,得fx+(x)=f(x)+f(x)，f(x)+f(x)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0)，f(0)=0.從而有f(x)+f(x)=0.f(x)=f(x).f(x)是奇函數(shù).()任取，且，則由，<0.>0，即，從而f(x)在R上是減函數(shù).(III)若，函數(shù)為奇函數(shù)得f(-3)=1,又5=5f(-3)=f(-15),所以=f(-15),由得f(4x-13)<f(-15),由函數(shù)單調(diào)遞減得4x-13>-15,解得x>-,故的取值范圍為19已知函數(shù)，且的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性；對于恒成立，求實數(shù)m的取值范圍【答案】（1）定義域為；奇函數(shù);（2）時，時，.【解析】（1）由題意，函數(shù)，由，可得，即定義域為；由，即有，可得為奇函數(shù)；對于恒成立，可得當(dāng)時，由可得的最小值，由，可得時，y取得最小值8，則，當(dāng)時，由可得的最大值，由，可得時，y取得最大值，則，綜上可得，時，時，20已知指數(shù)函數(shù)滿足，定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)上有零點，求的取值范圍；（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（）；（）（3，+）；（） 9，+）【解析】試題分析：（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)利用待定系數(shù)法求，利用奇函數(shù)用特值法求m,n，可得到解析式；（2）根據(jù)函數(shù)零點的存在性定理求k的取值范圍；（3）分析函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t恒成立問題，利用分離參數(shù)法求k的取值范圍試題解析：（）設(shè),則，a=3, ，因為是奇函數(shù)，所以，即, ，又，；（）由（）知：，又因在（0，1）上有零點，從而，即， ，k的取值范圍為（）由（）知，在R上為減函數(shù)（不證明不扣分） 又因是奇函數(shù)，所以， 因為減函數(shù)，由上式得：,即對一切，有恒成立，令m(x)=,易知m(x)在上遞增，所以，即實數(shù)的取值范圍為 點睛：本題綜合考查了指數(shù)函數(shù)的定義及其性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題解決已知函數(shù)奇偶性求解析式中參數(shù)問題時，注意特殊值的使用，可以使問題簡單迅速求解，但要注意檢驗，在處理恒成立問題時，注意利用分離參數(shù)求參數(shù)的取值范圍，注意分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題能力提升訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)的定義域為R，且，若對于任意實數(shù)x，y，恒有則下列說法中不正確的是（ ）A BC D【答案】D【解析】由題意，令，可得，故A正確，令，可得，故B正確令，可得，；，故C正確，令，可得，故D錯誤，故選：D2已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則A2 B1 C0 D【答案】D【解析】因為是定義在R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，且，則 ，即是周期為4的周期函數(shù)，所以，故選D.3設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是A B C D【答案】B【解析】,所以為奇函數(shù), ,所以單調(diào)遞增,轉(zhuǎn)化成 得到,解得x滿足，故選B。4設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對任意，都有，且當(dāng)時，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程至少有2個不同的實數(shù)根，至多有3個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A B C D【答案】D【解析】對都有，所以是定義在上的周期為4的函數(shù)；作函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可知，解得，故選D.5設(shè)函數(shù)為定義域為的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點的和為A10 B8 C16 D20【答案】B【解析】因為函數(shù)為定義域為的奇函數(shù)，所以，又因為，所以，可得，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，且 圖像關(guān)于直線對稱。故在區(qū)間上的零點，即方程的根，分別畫出的函數(shù)圖像，因為兩個函數(shù)圖像都關(guān)于直線對稱，因此方程的零點關(guān)于直線對稱，由圖像可知交點個數(shù)為8個，分別設(shè)交點的橫坐標(biāo)從左至右依次為，則，所以所有零點和為8,故選B。6已知定義域為R的偶函數(shù)滿足對任意的，有，且當(dāng)時，.若函數(shù)上恰有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是( )A B C D【答案】B【解析】由于函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，即，故，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且為偶函數(shù).令，得到，也即函數(shù)圖像與函數(shù)的圖像有三個交點，畫出兩個函數(shù)圖像如下圖所示.由圖可知，要使兩個函數(shù)圖像有三個交點，則需直線的斜率在兩條切線的斜率之間.當(dāng)時，將代入并化簡得，其判別式，解得.同理，當(dāng)時，將代入化簡后，同樣令判別式為零，求得.所以實數(shù)的范圍是.故選B.7已知函數(shù)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；對一切恒成立，求實數(shù)a的取值范圍【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】（1）由題意，要使函數(shù)有意義，得，即函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)；上單調(diào)遞減，證明如下：設(shè)，則，因為，即，上單調(diào)遞減對一切恒成立，當(dāng)時，取最大值，即，解得，故a的取值范圍為8已知函數(shù)定義在上且滿足下列兩個條件：對任意都有；當(dāng)時，有（1）證明函數(shù)上是奇函數(shù)；（2）判斷并證明的單調(diào)性.（3）若，試求函數(shù)的零點【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】（1）令,則，則；又令，則，即，所以函數(shù)上是奇函數(shù). （2）設(shè)，則，因為則由條件知，所以函數(shù)上單調(diào)遞增. （3），等價于則，因為函數(shù)上單調(diào)遞增，所以，則，由，得，故的零點為.9已知函數(shù)是偶函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）當(dāng)時，函數(shù)存在零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖像只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）1；（2）；（3）【解析】（1）因為上的偶函數(shù)，所以，即解得，經(jīng)檢驗：當(dāng)時，滿足題意.（2）因為，所以因為時，存在零點，即關(guān)于的方程有解，令，則因為，所以，所以，所以，實數(shù)的取值范圍是.（3）因為函數(shù)的圖像只有一個公共點，所以關(guān)于的方程有且只有一個解，所以令，得（*），記，當(dāng)時，方程（*）的解為，不滿足題意，舍去；當(dāng)時，函數(shù)圖像開口向上，又因為圖像恒過點，方程（*）有一正一負(fù)兩實根，所以符合題意；當(dāng)時，時，解得，方程（*）有兩個相等的正實根，所以滿足題意.綜上，的取值范圍是.10已知函數(shù)為常數(shù)）.（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；（2）在（1）條件下，滿足的任意實數(shù)，都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）函數(shù)是偶函數(shù).恒成立即恒成立，也就是 解得：. （3）由（1）知,由得：，又n=2-m，整理得：實數(shù)m的取值范圍是25