第14講圓錐曲線考情分析圓錐曲線是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，選擇、填空題主要以考查圓錐曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)(特別是離心率)為主，屬于中偏上難度熱點(diǎn)題型分析熱點(diǎn)1圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)；(2)雙曲線：|PF1|PF2|2a(2a<|F1F2|)；(3)拋物線：|PF|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PMl于M.2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：1，其中a>b>0；(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：1，其中a>0，b>0；(3)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2±2py，y2±2px，其中p>0.1.(2019·廣州測(cè)試)已知雙曲線C：1(a>0)的一條漸近線方程為2x3y0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF1|7，則|PF2|()A.1 B13 C4或10 D1或13答案D解析由一條漸近線方程為2x3y0和b2可得a3，|F1F2|22，由點(diǎn)P在雙曲線C上，則|PF1|PF2|6，可得|PF2|1或13，根據(jù)|PF1|7，|PF2|1，|F1F2|2或|PF1|7，|PF2|13，|F1F2|2均能滿足三角形成立的條件故選D.2.橢圓1的離心率為，則k的值為()A.21 B21C.或21 D.或21答案C解析若a29，b24k，則c，由，即，得k；若a24k，b29，則c，由，即，解得k21.故選C.1.運(yùn)用雙曲線定義時(shí)，容易忽略距離差的“絕對(duì)值”這一條件如第1題，忽略此條件可能因?yàn)閨PF1|7,2a6，而直接根據(jù)|PF1|PF2|2a，得出|PF2|1，錯(cuò)選A.因此對(duì)于各圓錐曲線的定義，要熟練掌握，特別是雙曲線的定義，不要忽略距離差的“絕對(duì)值”這一重要信息；除此之外，對(duì)于橢圓定義中|PF1|PF2|>|F1F2|、雙曲線定義中|PF1|PF2|<|F1F2|，滿足這樣點(diǎn)的軌跡才能是橢圓和雙曲線也是非常重要的信息點(diǎn)，這也是第1題后續(xù)需要驗(yàn)證的原因2.求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)不考慮焦點(diǎn)位置，如第2題，不考慮焦點(diǎn)在y軸上的情況，而導(dǎo)致漏解因此求圓錐曲線方程時(shí)，當(dāng)焦點(diǎn)位置不明時(shí)要注意根據(jù)焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類討論熱點(diǎn)2圓錐曲線的幾何性質(zhì)1.橢圓、雙曲線中，a，b，c三者之間的關(guān)系(1)橢圓：a2b2c2，離心率e(0,1)；(2)雙曲線：c2a2b2，離心率為e(1，)2.確定離心率的值或范圍時(shí)，充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)或者點(diǎn)坐標(biāo)等，建立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程(組)或不等式(組)，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到關(guān)于a，c的關(guān)系式3.雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x，雙曲線 1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x；同時(shí)注意漸近線斜率與離心率e的關(guān)系1.設(shè)橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2F1F2，PF1F230°，則C的離心率為()A. B. C. D.答案D解析解法一：如圖，在RtPF2F1中，PF1F230°，|F1F2|2c，|PF1|，|PF2|2c·tan30°.|PF1|PF2|2a，即2a，可得ca.e.故選D.解法二：(特殊值法)在RtPF2F1中，令|PF2|1，PF1F230°，|PF1|2，|F1F2|.e.故選D.2.(2017·全國(guó)卷)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)若MAN60°，則C的離心率為_(kāi)答案解析如圖，取MN中點(diǎn)P，連接AP，則APMN，所以MAP30°.因?yàn)锳(a,0)，M，N為yx上的點(diǎn)，則|AP|.在RtPAM中，cosPAM，則，所以e.3.(2019·全國(guó)卷)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)若，·0，則C的離心率為_(kāi)答案2解析解法一：由，得A為F1B的中點(diǎn)又O為F1F2的中點(diǎn)，OABF2.又·0，F(xiàn)1BF290°.OF2OB，OBF2OF2B.又F1OABOF2，F(xiàn)1OAOF2B，BOF2OF2BOBF2，OBF2為等邊三角形如圖1所示，不妨設(shè)B為.點(diǎn)B在直線yx上，離心率e2.解法二：·0，F(xiàn)1BF290°.在RtF1BF2中，O為F1F2的中點(diǎn)，|OF2|OB|c.如圖2，作BHx軸于H，由l1為雙曲線的漸近線，可得，且|BH|2|OH|2|OB|2c2，|BH|b，|OH|a，B(a，b)，F(xiàn)2(c,0)又，A為F1B的中點(diǎn)OAF2B，F(xiàn)1OAF1F2B，又F1OABOF2，BOF2F1F2B，c2a，離心率e2.1.雙曲線的漸近線方程是y±x，還是y±x，是最容易混淆出錯(cuò)的點(diǎn)如第2題，如果將MN所在漸近線錯(cuò)寫(xiě)為yx，則|AP|.再根據(jù)cosPAM得到關(guān)于e的方程3e43e240，從而形成錯(cuò)解因此雙曲線漸近線可以根據(jù)雙曲線方程進(jìn)行推導(dǎo)，即對(duì)于雙曲線1，令0，則，±，即y±x，而不要死記硬背2.解決有關(guān)幾何性質(zhì)問(wèn)題時(shí)，既可以使用曲線方程與點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的代數(shù)運(yùn)算，也可以選擇利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解二者比較起來(lái)，代數(shù)運(yùn)算的計(jì)算量較大，出錯(cuò)率較高因此求解此類問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)題目給出的已知條件，準(zhǔn)確畫(huà)出平面圖形，并充分挖掘圖形中隱含的幾何性質(zhì)，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程3.求解離心率的值或范圍的問(wèn)題時(shí)，要注意不同圓錐曲線的離心率范圍不同熱點(diǎn)3交匯題型解析幾何與其他知識(shí)相結(jié)合，各種題型均有可能出現(xiàn)，要求較高，其中最常見(jiàn)的是與平面向量和不等式結(jié)合考查解決此類問(wèn)題，關(guān)鍵在于能“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”，從而選擇相應(yīng)方法求解交匯點(diǎn)一與不等式交匯典例1(2017·全國(guó)卷)已知F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|DE|的最小值為()A.16 B14 C12 D10解析因?yàn)镕為y24x的焦點(diǎn)，所以F(1,0)由題意直線l1，l2的斜率均存在，且不為0，設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為，故直線l1，l2的方程分別為yk(x1)，y(x1)由得k2x2(2k24)xk20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x21，所以|AB| ·|x1x2| · ·.同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)48484×216，當(dāng)且僅當(dāng)k2，即k±1時(shí)，取得等號(hào)故選A.答案A解析幾何與不等式交匯，主要體現(xiàn)在運(yùn)用不等式的相關(guān)知識(shí)，解析或證明幾何圖形的某些特征交匯點(diǎn)集中在利用不等式的解法求參數(shù)范圍，或構(gòu)造函數(shù)利用均值不等式求最值等問(wèn)題上.(2019·江西南昌一模)拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若x1x24|AB|，則AFB的最大值為()A. B. C. D.答案D解析因?yàn)閤1x24|AB|，|AF|BF|x1x24，所以|AF|BF|AB|，在AFB中，由余弦定理得：cosAFB11，又|AF|BF|AB|2，所以|AF|·|BF|AB|2，則cosAFB11，所以AFB的最大值為，故選D.交匯點(diǎn)二與向量交匯典例2(2019·吉林四平質(zhì)檢)經(jīng)過(guò)橢圓y21的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l，交橢圓于A，B兩點(diǎn)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則·等于()A.3 BC.或3 D±解析依題意，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)(1,0)時(shí)，其方程為y0tan45°(x1)，即yx1.代入橢圓方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x.所以兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A(0，1)，B，所以·(0，1)·.同理，直線l經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)時(shí)，也可得·.故選B.答案B平面向量與解析幾何的結(jié)合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問(wèn)題的處理解決此類問(wèn)題基本思想：一是將幾何問(wèn)題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算；二是考慮向量運(yùn)算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關(guān)問(wèn)題.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓y21的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使(2)·20(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則F1PF2的面積是()A.4 B3 C2 D1答案D解析(2)·2()·2·20，PF1PF2，F(xiàn)1PF290°.設(shè)|PF1|m，|PF2|n，則mn4，m2n212，2mn4，mn2，SF1PF2mn1.真題自檢感悟1.(2019·全國(guó)卷)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，則C的方程為()A.y21 B.1C.1 D.1答案B解析設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)由橢圓的定義可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF1|AF2|a，點(diǎn)A是橢圓的短軸端點(diǎn)，如圖不妨設(shè)A(0，b)，由F2(1,0)，2，得B.由點(diǎn)B在橢圓上，得1，得a23，b2a2c22.橢圓C的方程為1.故選B.2.(2019·全國(guó)卷)雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為()A.2sin40° B2cos40° C. D.答案D解析由題意可得tan130°，所以e .故選D.3.(2019·全國(guó)卷)設(shè)F為雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2y2a2交于P，Q兩點(diǎn)若|PQ|OF|，則C的離心率為()A. B. C2 D.答案A解析設(shè)雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0)由圓的對(duì)稱性及條件|PQ|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQOF.設(shè)垂足為M，連接OP，如圖，則|OP|a，|OM|MP|.由|OM|2|MP|2|OP|2得22a2，故，即e.故選A.4.(2018·全國(guó)卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為的直線上，PF1F2為等腰三角形，F(xiàn)1F2P120°，則C的離心率為()A. B. C. D.答案D解析依題意易知|PF2|F1F2|2c，且P在第一象限內(nèi)，由F1F2P120°可得P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2c，c)又因?yàn)閗AP，即，所以a4c，e，故選D.專題作業(yè)一、選擇題1.(2017·全國(guó)卷)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為()A. B. C. D.答案A解析由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a.又直線bxay2ab0與圓相切，圓心到直線的距離da，解得ab，e .故選A.2.(2019·全國(guó)卷)雙曲線C：1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|PO|PF|，則PFO的面積為()A. B. C2 D3答案A解析雙曲線1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，一條漸近線的方程為yx，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由于|PO|PF|，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為×，即PFO的底邊長(zhǎng)為，高為，所以它的面積為××.故選A.3.(2017·全國(guó)卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由題意可得，c3，又a2b2c2，解得a24，b25，則C的方程為1，故選B.4.(2017·全國(guó)卷)若雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓(x2)2y24所截得的弦長(zhǎng)為2，則C的離心率為()A.2 B. C. D.答案A解析設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為yx，因?yàn)閳A的圓心為(2,0)，半徑為2，由弦長(zhǎng)為2得出圓心到漸近線的距離為.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得，解得b23a2.所以C的離心率e 2.5.(2019·長(zhǎng)沙市高三一模)A是拋物線y22px(p>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)|AF|4時(shí)，OFA120°，則拋物線的準(zhǔn)線方程是()A.x1 By1C.x2 Dy2答案A解析如圖，過(guò)A作ABx軸，AC垂直于準(zhǔn)線，因?yàn)镺FA120°，|AF|4，所以AFB60°，|BF|2，根據(jù)拋物線定義知|AC|4且|AC|BF|p，所以p24即p2.即拋物線的準(zhǔn)線方程為x1，故選A.6.(2019·河北武邑中學(xué)調(diào)研)已知直線l：yk(x2)(k>0)與拋物線C：y28x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|2|FB|，則k等于()A. B. C. D.答案D解析由消去y得k2x2(4k28)x4k20，(4k28)216k4>0，又k>0，解得0<k<1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x24，x1x24，根據(jù)拋物線定義及|FA|2|FB|得x122(x22)，即x12x22，且x1>0，x2>0，由解得x14，x21，代入得k2，0<k<1，k.故選D.7.(2019·唐山模擬)雙曲線E：1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x，則E的離心率為()A.2 B. C2 D2答案C解析由題意，雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x，即，所以雙曲線的離心率為e2，故選C.8.(2019·河北衡水中學(xué)模擬)已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1作圓x2y2a2的切線，交雙曲線右支于點(diǎn)M，若F1MF245°，則雙曲線的漸近線方程為()A.y±x By±xC.y±x Dy±2x答案A解析如圖，作OAF1M于點(diǎn)A，F(xiàn)2BF1M于點(diǎn)B.因?yàn)镕1M與圓x2y2a2相切，F(xiàn)1MF245°，所以|OA|a，|F2B|BM|2a，|F2M|2a，|F1B|2b.又點(diǎn)M在雙曲線上，所以|F1M|F2M|2a2b2a2a.整理，得ba.所以.所以雙曲線的漸近線方程為y±x.故選A.9.(2019·華南師大附中一模)已知雙曲線E：1(a>0，b>0)，點(diǎn)F為E的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為E上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q，且滿足|PF|3|FQ|，若|OP|b，則E的離心率為()A. B. C2 D.答案B解析設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F1，連接F1P，F(xiàn)1Q，因?yàn)镻關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q，所以F1PFQ是平行四邊形，所以|PF1|FQ|.根據(jù)雙曲線定義知|PF|PF1|2a，又|PF|3|FQ|3|PF1|，所以|PF1|a，|OP|b，|OF1|c，因?yàn)閏2a2b2，所以O(shè)PF190°.又因?yàn)閨PQ|2b，|QF1|3a，|PF1|a，所以(3a)2a2(2b)2，整理得b22a2即c23a2，所以e，故選B.10.(2019·湖北八校二模)設(shè)F是拋物線x24y的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若0，則|FA|FB|FC|的值為()A.3 B6 C9 D12答案B解析因?yàn)?，所以F為ABC的重心，設(shè)A，B，C三點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，y3，則yF1，所以y1y2y33.由拋物線定義可知|FA|y11，|FB|y21，|FC|y31，所以|FA|FB|FC|y1y2y336，故選B.11.(2019·鄭州第三次質(zhì)量預(yù)測(cè))橢圓1的左焦點(diǎn)為F，直線xm與橢圓相交于點(diǎn)M，N，當(dāng)FMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，F(xiàn)MN的面積是()A. B. C. D.答案C解析設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，由橢圓定義知FMN的周長(zhǎng)為|MN|MF|NF|MN|(2|MF1|)(2|NF1|)4|MN|MF1|NF1|.因?yàn)閨MF1|NF1|MN|，所以|MN|MF1|NF1|0，當(dāng)MN過(guò)F1時(shí)取等號(hào)，即直線xm過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)MN的周長(zhǎng)最大，此時(shí)|MN|，|FF1|2，所以SFMN××2，故選C.12.(2019·汕頭市一模)已知雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0)，右頂點(diǎn)為A，過(guò)F作AF的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)，過(guò)B，C分別作AC，AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)D，若D到直線BC的距離小于ac，則雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A.(，1)(1，)B.(1,0)(0,1)C.(，)(，)D.(，0)(0，)答案B解析如圖，因?yàn)锳BBD且BFAD，所以|BF|2|AF|·|DF|.因?yàn)锳(a,0)，F(xiàn)(c,0)，所以B，則|DF|.又因?yàn)镈到直線BC的距離即為|DF|，所以<ac，即b4<a2(ca)(ac)，整理得b4<a2b2，所以k2<1，解得1<k<1.又因?yàn)閗0，故選B.二、填空題13.(2019·新鄉(xiāng)模擬)設(shè)P為曲線2x上一點(diǎn)，A(，0)，B(，0)，若|PB|2，則|PA|_.答案4解析由2x，得4x24y2(x>0)，即x21(x>0)，故P為雙曲線x21右支上一點(diǎn)，且A，B分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PA|PB|2a2，|PA|224.14.(2017·全國(guó)卷)已知F是拋物線C：y28x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|_.答案6解析如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，PMOF.由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|AO|2.點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PMOF，|MP|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由拋物線的定義知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.15.(2019·四省聯(lián)考診斷)在平面上給定相異兩點(diǎn)A，B，設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿足，當(dāng)0且1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓，現(xiàn)有橢圓1(a>b>0)，A，B為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，C，D為橢圓的短軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足2，PAB的面積的最大值為，PCD的面積的最小值為，則橢圓的離心率為_(kāi)答案解析依題意A(a,0)，B(a,0)，設(shè)P(x，y)，依題意得|PA|2|PB|，即2，兩邊平方化簡(jiǎn)得2y22，故橢圓的圓心為，半徑r.所以PAB的最大面積為·2a·a，解得a2，又因PCD的最小面積為·2b·b·，解得b1.故橢圓的離心率為e.16.(2019·廣東六校聯(lián)考)已知直線l：ykxt與圓C1：x2(y1)22相交于A，B兩點(diǎn)，且C1AB的面積取得最大值，又直線l與拋物線C2：x22y相交于不同的兩點(diǎn)M，N，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_答案(，4)(0，)解析根據(jù)題意得到C1AB的面積為r2sin，當(dāng)角度為直角時(shí)面積最大，此時(shí)C1AB為等腰直角三角形，則圓心到直線的距離為d1，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到11k2(1t)2k2t22t，直線l與拋物線C2：x22y相交于不同的兩點(diǎn)M，N，聯(lián)立直線和拋物線方程得到x22kx2t0，只需要此方程有兩個(gè)不等根即可，所以4k28t4t216t>0，解得t的取值范圍為(，4)(0，).- 19 -