第3講數(shù)列 考情分析數(shù)列為每年高考必考內(nèi)容之一，題型不固定，等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考的熱點，經(jīng)常以客觀題的形式呈現(xiàn)；數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題常以解答題的形式呈現(xiàn)，考查分析問題、解決問題的能力及轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法.熱點題型分析熱點1等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合1等差(比)數(shù)列的運算策略(1)在等差(比)數(shù)列中，首項a1和公差d(公比q)是兩個最基本的元素；(2)在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項與和的運算時，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解2應(yīng)用數(shù)列性質(zhì)解題的方法(1)抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系，從這些特點入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解；(2)牢固掌握等差(比)數(shù)列的性質(zhì)，可分為三類：通項公式的變形；等差(比)中項的變形；前n項和公式的變形(2018·全國卷)等比數(shù)列an中，a11，a54a3.(1)求an的通項公式；(2)記Sn為an的前n項和若Sm63，求m.解(1)設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，則Sn.由Sm63得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.綜上，m6.在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運算量”的方法有兩個處理思路：一是利用基本量，將多元問題簡化為一元問題，雖有一定量的運算，但思路簡潔，目標(biāo)明確；二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，但在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件，有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形(2019·北京高考)設(shè)an是等差數(shù)列，a110，且a210，a38，a46成等比數(shù)列(1)求an的通項公式；(2)記an的前n項和為Sn，求Sn的最小值解(1)設(shè)an的公差為d.因為a110，所以a210d，a3102d，a4103d.因為a210，a38，a46成等比數(shù)列，所以(a38)2(a210)(a46)所以(22d)2d(43d)解得d2.所以ana1(n1)d2n12.(2)由(1)知，an2n12.則當(dāng)n7時，an>0；當(dāng)n6時，an0.所以Sn的最小值為S5S630.熱點2數(shù)列的通項與求和1求數(shù)列通項公式的常見類型及方法(1)觀察法：根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察法求其通項公式；(2)公式法：利用等差(比)數(shù)列的通項公式求an；(3)已知Sn與an的關(guān)系，利用an求an；(4)累加法：形如an1anf(n)的解析式，可用遞推式多項相加法求得an；(5)累乘法：形如an1f(n)·an(an0)的解析式，可用遞推式多項相乘法求得an；(6)倒數(shù)法：形如f(anan1，an，an1)0的關(guān)系，同乘，先求出，再求出an；(7)構(gòu)造輔助數(shù)列法：通過變換遞推關(guān)系，將非等差(等比)數(shù)列構(gòu)造為等差(等比)數(shù)列來求其通項公式2求數(shù)列前n項和Sn的常見方法(1)公式法：利用等差、等比數(shù)列的前n項和公式求數(shù)列的前n項和；(2)裂項相消法：將數(shù)列恒等變形為連續(xù)兩項或相隔若干項之差的形式，進(jìn)行消項；(3)錯位相減法：求解形如an·bn和的前n項和，數(shù)列an，bn分別為等差與等比數(shù)列；(4)倒序相加法：應(yīng)用于等差數(shù)列或能轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的數(shù)列求和；(5)分組求和法：數(shù)列為等差與等比數(shù)列的代數(shù)和或奇數(shù)項和偶數(shù)項的規(guī)律不同，根據(jù)其表現(xiàn)形式分別求和1(2019·天津高考)設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，公比大于0.已知a1b13，b2a3，b34a23.(1)求an和bn的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列cn滿足cn求a1c1a2c2a2nc2n(nN*)解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.依題意，得解得故an33(n1)3n，bn3×3n13n.所以，an的通項公式為an3n，bn的通項公式為bn3n.(2)a1c1a2c2a2nc2n(a1a3a5a2n1)(a2b1a4b2a6b3a2nbn)(6×3112×3218×336n×3n)3n26(1×312×32n×3n)記Tn1×312×32n×3n，則3Tn1×322×33n×3n1，得，2Tn332333nn×3n1n×3n1.所以，a1c1a2c2a2nc2n3n26Tn3n23×(nN*)2(2018·天津高考)設(shè)an是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Sn(nN*)，bn是等差數(shù)列已知a11，a3a22，a4b3b5，a5b42b6.(1)求an和bn的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列Sn的前n項和為Tn(nN*)，求Tn；證明 2(nN*)解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.由a11，a3a22.可得q2q20.因為q>0，可得q2，故an2n1.設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d，由a4b3b5，可得b13d4.由a5b42b6，可得3b113d16.從而b11，d1，故bnn.所以數(shù)列an的通項公式為an2n1，數(shù)列bn的通項公式為bnn.(2)由(1)，有Sn2n1，故Tn (2k1)2knn2n1n2.證明：因為，所以 2.采用錯位相減法求和，要注意相減后和式的結(jié)構(gòu)，把項數(shù)數(shù)清采用裂項相消法求和，消項時要注意相消的規(guī)律，可將數(shù)列的前幾項和表示出來，歸納出規(guī)律常用的裂項相消變換有：(1)分式裂項：；(2)根式裂項：()；(3)對數(shù)式裂項：lg lg (np)lg n；(4)指數(shù)式裂項：aqn(qnqn1)(q0且q1)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a110，a2為整數(shù)，且SnS4.(1)求an的通項公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)由a110，a2為整數(shù)，可知等差數(shù)列an的公差d為整數(shù)又SnS4，故a40，a50，于是103d0,104d0，解得d，因此d3，故數(shù)列an的通項公式為an133n.(2)bn，于是Tnb1b2bn.熱點3數(shù)列的綜合應(yīng)用解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點：(1)由于數(shù)列是一類特殊函數(shù)，因此解答數(shù)列問題時，多從函數(shù)角度入手，準(zhǔn)確處理數(shù)列問題；(2)利用數(shù)列自身特點和自身性質(zhì)，準(zhǔn)確推理，其中注意適時分類討論；(3)證明不等關(guān)系時要充分利用題意恰當(dāng)使用放縮法1(2017·北京高考)設(shè)an和bn是兩個等差數(shù)列，記cnmaxb1a1n，b2a2n，bnann(n1,2,3，)，其中maxx1，x2，xs表示x1，x2，xs這s個數(shù)中最大的數(shù)(1)若ann，bn2n1，求c1，c2，c3的值，并證明cn是等差數(shù)列；(2)證明：或者對任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，當(dāng)nm時，M；或者存在正整數(shù)m，使得cm，cm1，cm2，是等差數(shù)列解(1)c1b1a1110，c2maxb12a1，b22a2max12×1,32×21，c3maxb13a1，b23a2，b33a3max13×1，33×2，53×32.當(dāng)n3時，(bk1nak1)(bknak)(bk1bk)n(ak1ak)2n0，所以bknak關(guān)于kN*單調(diào)遞減所以cnmaxb1a1n，b2a2n，bnannb1a1n1n.所以對任意n1，cn1n，于是cn1cn1，所以cn是等差數(shù)列(2)證明：設(shè)數(shù)列an和bn的公差分別為d1，d2，則bknakb1(k1)d2a1(k1)d1nb1a1n(d2nd1)(k1)所以cn當(dāng)d10時，取正整數(shù)m，則當(dāng)nm時，nd1d2，因此cnb1a1n.此時，cm，cm1，cm2，是等差數(shù)列當(dāng)d10時，對任意n1，cnb1a1n(n1)maxd2,0b1a1(n1)(maxd2,0a1)此時，c1，c2，c3，cn，是等差數(shù)列當(dāng)d10時，當(dāng)n時，有nd1d2，所以n(d1)d1a1d2n(d1)d1a1d2|b1d2|.對任意正數(shù)M，取正整數(shù)mmax，故當(dāng)nm時，M.2(2019·江蘇高考)定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M­數(shù)列”(1)已知等比數(shù)列an(nN*)滿足：a2a4a5，a34a24a10，求證：數(shù)列an為“M­數(shù)列”；(2)已知數(shù)列bn(nN*)滿足：b11，其中Sn為數(shù)列bn的前n項和求數(shù)列bn的通項公式；設(shè)m為正整數(shù)若存在“M­數(shù)列”cn(nN*)，對任意正整數(shù)k，當(dāng)km時，都有ckbkck1成立，求m的最大值解(1)證明：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，所以a10，q0.由得解得因此數(shù)列an為“M­數(shù)列”(2)因為，所以bn0.由b11，S1b1，得，則b22.由，得Sn.當(dāng)n2時，由bnSnSn1，得bn，整理得bn1bn12bn.所以數(shù)列bn是首項和公差均為1的等差數(shù)列因此，數(shù)列bn的通項公式為bnn(nN*)由知，bkk，kN*.因為數(shù)列cn為“M­數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以c11，q>0.因為ckbkck1，所以qk1kqk，其中k1,2,3，m(mN*)當(dāng)k1時，有q1；當(dāng)k2,3，m時，有l(wèi)n q.設(shè)f(x)(x>1)，則f(x).令f(x)0，得xe.列表如下：x(1，e)e(e，)f(x)0f(x)極大值因為<，所以f(k)maxf(3).取q，當(dāng)k1,2,3,4,5時，ln q，即kqk，經(jīng)檢驗知qk1k也成立因此所求m的最大值不小于5.若m6，分別取k3,6，得3q3，且q56，從而q15243，且q15216，所以q不存在因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5.(1)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關(guān)問題時，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，注意函數(shù)性質(zhì)的準(zhǔn)確使用；(2)證明不等關(guān)系時進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s(2017·江蘇高考)對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列an滿足：ankank1an1an1ank1ank2kan，對任意正整數(shù)n(nk)總成立，則稱數(shù)列an是“P(k)數(shù)列”(1)證明：等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”；(2)若數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：an是等差數(shù)列證明(1)因為an是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則ana1(n1)d，從而，當(dāng)n4時，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1,2,3，所以an3an2an1an1an2an36an，因此等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”(2)數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，因此，當(dāng)n3時，an2an1an1an24an，當(dāng)n4時，an3an2an1an1an2an36an.由知，an3an24an1(anan1)，an2an34an1(an1an)將代入，得an1an12an，其中n4，所以a3，a4，a5，是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d.在中，取n4，則a2a3a5a64a4，所以a2a3d，在中，取n3，則a1a2a4a54a3，所以a1a32d，所以前三項也滿足等差數(shù)列，所以數(shù)列an是等差數(shù)列專題作業(yè)1(2018·全國卷)已知數(shù)列an滿足a11，nan12(n1)an，設(shè)bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求an的通項公式解(1)由條件可得an1an.將n1代入，得a24a1，而a11，所以a24.將n2代入，得a33a2，所以a312.從而b11，b22，b34.(2)bn是首項為1，公比為2的等比數(shù)列由題設(shè)條件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首項為1，公比為2的等比數(shù)列(3)由(2)可得2n1，所以ann·2n1.2(2017·天津高考)已知an為等差數(shù)列，前n項和為Sn(nN*)，bn是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通項公式；(2)求數(shù)列a2nbn的前n項和(nN*)解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b312，得b1(qq2)12.而b12，所以q2q60，解得q3或q2.又因為q0，所以q2.所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18.由S1111b4，可得a15d16，聯(lián)立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以，數(shù)列an的通項公式為an3n2，數(shù)列bn的通項公式為bn2n.(2)設(shè)數(shù)列a2nbn的前n項和為Tn.由a2n6n2，得Tn4×210×2216×23(6n2)×2n，2Tn4×2210×2316×24(6n8)×2n(6n2)×2n1.上述兩式相減，得Tn4×26×226×236×2n(6n2)×2n14(6n2)×2n1(3n4)2n216，所以Tn(3n4)2n216.所以，數(shù)列a2nbn的前n項和為(3n4)2n216.3(2019·全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和已知S9a5.(1)若a34，求an的通項公式；(2)若a1>0，求使得Snan的n的取值范圍解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由S9a5得a14d0.由a34得a12d4.于是a18，d2.因此等差數(shù)列an的通項公式為an102n.(2)由(1)得a14d，故an(n5)d，Sn.由a1>0知d<0，故Snan等價于n211n100，解得1n10，所以n的取值范圍是n|1n10，nN4數(shù)列An：a1，a2，an(n2)的各項均為整數(shù)，滿足：ai1(i1,2，n)，且a1·2n1a2·2n2a3·2n3an1·2an0，其中a10.(1)若n3，寫出所有滿足條件的數(shù)列A3；(2)求a1的值；(3)證明：a1a2an>0.解(1)滿足條件的數(shù)列A3為：1，1,6；1,0,4；1，1,2；1，2,0.(2)假設(shè)a11，因為a10，所以a11.又a2，a3，an1，因此有a1·2n1a2·2n2a3·2n3an1·2an2n1(1)·2n2(1)·2n3(1)·2(1)2n12n22n3211，這與a1·2n1a2·2n2a3·2n3an1·2an0矛盾！所以a11.(3)先證明如下結(jié)論：k1,2，n1，必有a1·2n1a2·2n2ak·2nk0.否則，令a1·2n1a2·2n2ak·2nk>0，注意到左式是2nk的整數(shù)倍，因此a1·2n1a2·2n2ak·2nk2nk.所以有a1·2n1a2·2n2a3·2n3an1·2an2nk(1)·2nk1(1)·2nk2(1)·2(1)2nk2nk12nk2211，這與a1·2n1a2·2n2a3·2n3an1·2an0矛盾！所以a1·2n1a2·2n2ak·2nk0.因此有a1<0，a1·2a20，a1·4a2·2a30，a1·2k1a2·2k2ak1·2ak0，a1·2n2a2·2n3an2·2an10.將上述n1個不等式相加得a1·(2n11)a2·(2n21)an1·(21)<0，又a1·2n1a2·2n2a3·2n3an1·2an0，兩式相減即得a1a2an>0.- 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