第2課時(shí)空間距離與幾何體中體積、面積的計(jì)算考情分析空間距離和幾何體體積(面積)問(wèn)題是每年高考的必考內(nèi)容，并且多在解答題的第二、三問(wèn)中出現(xiàn)，難度適中，為中檔題.熱點(diǎn)題型分析熱點(diǎn)1空間距離的計(jì)算點(diǎn)面距離常用以下兩種方法求解：一是直接做出垂線段求解；二是利用三棱錐體積轉(zhuǎn)換，求點(diǎn)到面的距離 (2018·全國(guó)卷)如圖，在三棱錐PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O為AC的中點(diǎn)(1)證明：PO平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離解(1)證明：因?yàn)锳PCPAC4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)PAC，且OP2.連接OB，因?yàn)锳BBCAC，所以ABC為等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知OPOB.由OPOB，OPAC，ACOBO，知PO平面ABC.(2)作CHOM，垂足為H.又由(1)可得OPCH，所以CH平面POM.故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離由題設(shè)可知OCAC2，CMBC，ACB45°.所以由余弦定理，得OM，CH.所以點(diǎn)C到平面POM的距離為.誠(chéng)如上文所說(shuō)，求點(diǎn)面距問(wèn)題可以采用等積轉(zhuǎn)換求解，除此之外個(gè)別問(wèn)題也可采用垂面法(利用面面垂直性質(zhì)定理)和等價(jià)轉(zhuǎn)移法(利用線面平行)求解當(dāng)然，一些求幾何體體積問(wèn)題，也是對(duì)點(diǎn)面距問(wèn)題的相應(yīng)考查如圖，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120°，四邊形BFED為矩形，平面BFED平面ABCD，BF1.(1)求證：AD平面BFED；(2)已知點(diǎn)P在線段EF上，且2，求D到面APE的距離解(1)證明：在梯形ABCD中，因?yàn)锳BCD，ADDCCB1，BCD120°，所以DABCBA60°，AB2，所以由余弦定理得BD.因此AB2AD2BD2，所以ADBD.又因?yàn)槠矫鍮FED平面ABCD，平面BFED平面ABCDBD，AD平面ABCD，所以AD平面BFED.(2)由(1)知，AD平面BFED，所以ADEP，ADED.又因?yàn)镋PED，所以EP平面ADE.BD，BF1，2，所以EP，設(shè)D到面PEA的距離為d，因?yàn)閂AEDPVDAEP，即·AD·SEDP·d·SAEP，所以d.熱點(diǎn)2幾何體體積(面積)的計(jì)算空間幾何體體積的常用公式：(1)V柱Sh(S為底面面積，h為體高)；(2)V錐Sh(S為底面面積，h為體高)；(3)V臺(tái)(SS)h(S，S分別為上，下底面面積，h為體高)(不要求記憶)(2019·全國(guó)卷)如圖，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BEEC1.(1)證明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，AB3，求四棱錐EBB1C1C的體積解(1)證明：由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190°.由題設(shè)知RtABERtA1B1E，所以AEBA1EB145°，故AEAB3，AA12AE6.如圖，作EFBB1，垂足為F，則EF平面BB1C1C，且EFAB3.所以四棱錐EBB1C1C的體積V×3×6×318.1直接法：求一些規(guī)則幾何體的體積時(shí)，可以根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，利用線面垂直、面面垂直等條件，確定幾何體的高，再根據(jù)體積公式直接求解；2等積變換法：三棱錐也稱為四面體，它的每一個(gè)面都可以當(dāng)做底面，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行換底等積變換便于問(wèn)題的求解；3割補(bǔ)法：割補(bǔ)法是處理立體幾何問(wèn)題的一種基本方法，解題思路是以已知幾何體為背景，將其補(bǔ)成或分割成熟悉的、更易利用已知條件解決的簡(jiǎn)單幾何體(2019·廣州模擬)如圖，直角梯形ABEF中，ABEBAF90°，C，D分別是BE，AF上的點(diǎn)，且DAABBCa，DF2CE2a.沿CD將四邊形CDFE翻折至四邊形CDPQ的位置，連接AP，BP，BQ，得到多面體ABCDPQ，且APa.(1)求多面體ABCDPQ的體積；(2)求證：平面PBQ平面PBD.解(1)DAABBCa，ABCBAD90°，四邊形ABCD是正方形，CDAD，CDDP.又ADDPD，AD，DP平面ADP，CD平面ADP.ABCD，AB平面ADP，AD2DP2AP2，ADDP，又CDAD，CDDPD，CD，DP平面CDPQ，AD平面CDPQ，又ADBC，BC平面CDPQ.VBCDPQS梯形CDPQ·BC××aa3，VBADPSADP·AB××a×2a×a，多面體ABCDPQ的體積為VBCDPQVBADP.(2)證明：取BP的中點(diǎn)G，連接GQ，DG，DQ，在ABP中，BP2a，BGBPa，在BCQ中，BQa.PQa，PQBQ，GQBP.QGa，又BDAB2aDP，DGBP，DGa，又DQa，DQ2QG2DG2，QGDG.又BPDGG，BP，DG平面PBD，QG平面PBD，又QG平面PBQ，平面PBQ平面PBD.專題作業(yè)1(2019·河南六市三模)已知在空間幾何體ABCDE中，BCD與CDE均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，ABC是腰長(zhǎng)為3的等腰三角形，平面CDE平面BCD，平面ABC平面BCD.(1)試在平面BCD內(nèi)作一條直線，使得直線上任意一點(diǎn)F與E的連線EF均與平面ABC平行，并給出證明；(2)求三棱錐EABC的體積解(1)如圖所示，取DC的中點(diǎn)N，取BD的中點(diǎn)M，連接MN，則MN即為所求證明：連接EM，EN，取BC的中點(diǎn)H，連接AH，ABC是腰長(zhǎng)為3的等腰三角形，H為BC的中點(diǎn)，AHBC，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，AH平面ABC，AH平面BCD，同理可證EN平面BCD，ENAH，EN平面ABC，AH平面ABC，EN平面ABC.又M，N分別為BD，DC的中點(diǎn)，MNBC，MN平面ABC，BC平面ABC，MN平面ABC.又MNENN，MN平面EMN，EN平面EMN，平面EMN平面ABC，又EF平面EMN，EF平面ABC，即直線MN上任意一點(diǎn)F與E的連線EF均與平面ABC平行(2)連接DH，取CH的中點(diǎn)G，連接NG，則NGDH，由(1)可知EN平面ABC，點(diǎn)E到平面ABC的距離與點(diǎn)N到平面ABC的距離相等，又BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，DHBC，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，DH平面BCD，DH平面ABC，NG平面ABC，易知DH，NG，又SABC·BC·AH×2×2，VEABC·SABC·NG.2.已知四棱錐SABCD的底面ABCD為直角梯形，ABCD，ABBC，AB2BC2CD2，SAD為正三角形(1)點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)，若BC平面SDM，求實(shí)數(shù)的值；(2)若BCSD，求點(diǎn)B到平面SAD的距離解(1)因?yàn)锽C平面SDM，BC平面ABCD，平面SDM平面ABCDDM，所以BCDM.又ABDC，所以四邊形BCDM為平行四邊形，所以CDMB，又AB2CD，所以M為AB的中點(diǎn)因?yàn)锳，所以.(2)因?yàn)锽CSD，BCCD，所以BC平面SCD，又BC平面ABCD，所以平面SCD平面ABCD.如圖，在平面SCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)S作SE垂直CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE，又平面SCD平面ABCDCD，所以SE平面ABCD，所以SECE，SEAE，在RtSEA和RtSED中，AE，DE，因?yàn)镾ASD，所以AEDE，又易知EDA45°，所以AEED，由已知求得SAAD，所以AEEDSE1.連接BD，則V三棱錐SABD××2×1×1，又V三棱錐BASDV三棱錐SABD，SSAD×××，所以點(diǎn)B到平面SAD的距離為.3(2019·河南洛陽(yáng)統(tǒng)一考試)在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四邊形ABCD是平行四邊形，A1A平面ABCD，BAD60°，AB2，BC1，AA1，E為A1B1的中點(diǎn)(1)求證：平面A1BD平面A1AD；(2)求多面體A1EABCD的體積解(1)證明：在ABD中，BAD60°，AB2，ADBC1，由余弦定理得BD，BD2AD2AB2.BDAD.A1A平面ABCD，BD平面ABCD，A1ABD.又A1AADA，BD平面A1AD.又BD平面A1BD，平面A1BD平面A1AD.(2)設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為F，G，連接EF，F(xiàn)G，GE，BDFGH.E，F(xiàn)，G分別為A1B1，AB，CD的中點(diǎn)，多面體EFGA1AD為三棱柱BD平面A1AD，DH為三棱柱的高又SA1ADAD·A1A，DHBD，三棱柱EFGA1AD的體積為SA1AD·HD×.在四棱錐EBCGF中，EFA1A，EF底面BCGF，EFA1A.S四邊形BCGFS四邊形ABCD×2×1×sin60°，四棱錐EBCGF的體積為S四邊形BCGF·EF××，多面體A1EABCD的體積為.- 9 -