第3講 數(shù)列的綜合問題專題復(fù)習(xí)檢測A卷1等比數(shù)列an中，若a11，a102，則log2a1log2a2log2a10()A2B4C5D10【答案】C【解析】an為等比數(shù)列，a1a10a2a9a3a8a4a7a5a62.log2a1log2a2log2a10log2(a1a2a10)log2255.故選C2(2018年四川成都模擬)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a19，4，則Sn取最大值時(shí)的n的值為()A2B3C4D5【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.a1d，是首項(xiàng)為a1，公差為的等差數(shù)列a19，4，44×，解得d2.Sn9n×2n210n(n5)225.當(dāng)n5時(shí)，Sn取得最大值3已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意的x，yR，都有f(xy)xf(y)yf(x)成立數(shù)列an滿足anf(2n)(nN*)，且a12，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an()A(n1)2nB(n1)3n Cn·2nDn·3n【答案】C【解析】由題意知a1f(2)2，an1f(2n1)2f(2n)2nf(2)2an2n1，則1，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列所以n，則ann·2n.4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n(n)6，若數(shù)列an單調(diào)遞減，則的取值范圍是()A(，2)B(，3)C(，4)D(，5)【答案】A【解析】Sn3n(n)6，Sn13n1(n1)6，n1.兩式相減，得an3n1(22n1)(n1，nN*)為單調(diào)遞減數(shù)列，anan1，且a1a2.3n1(22n1)3n(22n3)且2，化為n2(n1)且2，2，的取值范圍是(，2)故選A5某房地產(chǎn)開發(fā)公司用800萬元購得一塊土地，該土地可以建造每層1 000平方米的樓房，已知第一層每平方米的建筑費(fèi)用為600元，樓房每升高一層，每平方米的建筑費(fèi)用增加40元若把樓房建成n層后，每平方米的平均綜合費(fèi)用最低(綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購地費(fèi)用之和)，則n的值為()A19B20C21D22【答案】B【解析】易知每層的建筑費(fèi)用構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)為an，則n層的建筑總費(fèi)用為Sn600×103(60040)×10360040(n1)×103(2n258n)×104，所以每平方米的平均綜合費(fèi)用為10101 380元，當(dāng)且僅當(dāng)2n，即n20時(shí)等號(hào)成立6在等比數(shù)列an中，anR，a3，a11是方程3x225x270的兩根，則a7_.【答案】3 【解析】由題意，得a30，a110，且aa3a119，a73.7(2018年江西南昌模擬)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列若a1a6a113，b1b6b117，則tan的值是_【答案】【解析】由a1a6a113，得a()3.由b1b6b117，得3b67.a6，b6.tan tan tan tantantan .8(2019年湖南長沙模擬)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和是Sn，若點(diǎn)An在函數(shù)f(x)xc的圖象上運(yùn)動(dòng)，其中c是與x無關(guān)的常數(shù)，且a13.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記bnaan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn的最小值【解析】(1)由題意得nc，即Snn2cn.因?yàn)閍13，所以c4，故Snn24n.所以anSnSn12n5(n2)又a13滿足上式，所以an2n5.(2)由(1)知bnaan2an52(2n5)54n5，所以Tn2n23n.所以Tn的最小值是T11.B卷9(2019年安徽合肥模擬)如圖所示是畢達(dá)哥拉斯樹(Pythagoras Tree)的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，若共得到1 023個(gè)正方形，設(shè)初始正方形的邊長為，則最小正方形的邊長為()ABCD【答案】A【解析】設(shè)1242n11 023，即1 023，解得n10.正方形邊長構(gòu)成數(shù)列，2，3，其中第10項(xiàng)為10.故選A10(2019年浙江湖州模擬)設(shè)an是各項(xiàng)為正數(shù)的無窮數(shù)列，Ai是邊長為ai，ai1的矩形的面積(i1,2，)，則An為等比數(shù)列的充要條件是()Aan是等比數(shù)列Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比數(shù)列Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列Da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列，且公比相同【答案】D【解析】Aiaiai1，若An為等比數(shù)列，則為常數(shù)，即，a1，a3，a5，a2n1，和a2，a4，a2n，成等比數(shù)列，且公比相等反之，若奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，且公比相等，設(shè)為q，則q，從而An為等比數(shù)列11設(shè)數(shù)列an滿足a2a410，點(diǎn)Pn(n，an)對(duì)任意的nN*，都有向量PnPn1(1,2)，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_.【答案】n2【解析】由題意，可知Pn1(n1，an1)，所以PnPn1(1，an1an)(1,2)所以an1an2.所以數(shù)列an是以2為公差的等差數(shù)列又a2a410，所以a11，an2n1，Sn13(2n1)n2.12(2019年天津模擬)設(shè)函數(shù)fn(x)x(3n1)x2(其中nN*)，區(qū)間Inx|fn(x)0(1)定義區(qū)間(，)的長度為，求區(qū)間In的長度；(2)把區(qū)間In的長度記作數(shù)列an，令bnan·an1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn；是否存在正整數(shù)m，n(1mn)，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】(1)由fn(x)0，得x(3n1)x20，解得0x，即In.所以區(qū)間的長度為0.(2)由(1)知an.bnan·an1，Tnb1b2bn.由知T1，Tm，Tn.假設(shè)存在正整數(shù)m，n(1mn)，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列，則TT1Tn，化簡得.(3m26m2)n5m2.(*)當(dāng)m2時(shí)，(*)式可化為2n20，n10.當(dāng)m3時(shí)，3m26m23(m1)2570.又5m20，(*)式可化為n0，此時(shí)n無正整數(shù)解綜上，存在正整數(shù)m2，n10滿足條件- 5 -