課時跟蹤練(五十二)A組基礎鞏固1直線ykxk1與橢圓1的位置關系為()A相交 B相切 C相離 D不確定解析：由于直線ykxk1k(x1)1過定點(1，1)，又(1，1)在橢圓內，故直線與橢圓相交答案：A2已知橢圓1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是xy50，弦的中點坐標是M(4，1)，則橢圓的離心率是()A. B. C. D.解析：設直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別代入橢圓方程，由點差法可知yMxM，代入k1，M(4，1)，解得，e ，故選C.答案：C3(2019·呂梁模擬)設F1，F2分別是橢圓y21的左、右焦點，若橢圓上存在一點P，使得()·0(O為坐標原點，則F1PF2的面積是()A4 B3 C2 D1解析：因為()·()··0，所以PF1PF2，F1PF290°.設|PF1|m，|PF2|n，則mn4，m2n212，2mn4，所以SF1PF2mn1.故選D.答案：D4若直線axby30與圓x2y23沒有公共點，設點P的坐標為(a，b)，則過點P的一條直線與橢圓1的公共點的個數為()A0 B1 C2 D1或2解析：由題意得，圓心(0，0)到直線axby30的距離為 >，所以a2b2<3.又a，b不同時為零，所以0<a2b2<3.由0<a2b2<3，可知|a|<，|b|<，由橢圓的方程和其長半軸長為2，短半軸長為，所以P(a，b)在橢圓內部，所以過點P的一條直線與橢圓1的公共點有2個故選C.答案：C5斜率為1的直線l與橢圓y21相交于A，B兩點，則|AB|的最大值為()A2 B. C. D.解析：設直線l的方程為yxt，代入y21，消去y得x22txt210，由題意知(2t)25(t21)>0，即t2<5，|AB| (當且僅當t0時取等號)故選C.答案：C6已知橢圓1(a>b>0)的右頂點為A(1，0)，過其焦點且垂直于長軸的弦長為1，則橢圓方程為_解析：因為橢圓1的右頂點為A(1，0)，所以b1，焦點坐標為(0，c)，因為過焦點且垂直于長軸的弦長為1，所以1，a2，所以橢圓方程為x21.答案：x217(2019·贛南五校聯考)橢圓E：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，焦距為2c.若直線y(xc)與橢圓E的一個交點M滿足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率等于_解析：由已知得直線y(xc)過M、F1兩點，所以直線MF1的斜率為，所以MF1F260°，則MF2F130°，F1MF290°，則MF1c，MF2c，由點M在橢圓E上知，cc2a，故e1.答案：18已知直線l過點P(2，1)且與橢圓1交于A，B兩點，當P為AB中點時，直線AB的方程為_解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為A，B兩點在橢圓上，所以1，1，得，0，又AB的中點為P(2，1)，所以x1x24，y1y22，即0，所以kAB，故AB的方程為y1(x2)，即8x9y250.答案：8x9y2509已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，其中左焦點為F(2，0)(1)求橢圓C的方程；(2)若直線yxm與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點M在圓x2y21上，求m的值解：(1)由題意，得解得所以橢圓C的方程為1.(2)設點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段AB的中點為M(x0，y0)，由消去y得，3x24mx2m280，968m2>0，所以2<m<2，因為x0，所以y0x0m，因為點M(x0，y0)在圓x2y21上，所以1，所以m±.10.(2019·衡陽模擬)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為，直線y1與C的兩個交點間的距離為.(1)求橢圓C的方程；(2)分別過F1、F2作l1、l2滿足l1l2，設l1、l2與C的上半部分分別交于A、B兩點，求四邊形ABF2F1面積的最大值解：(1)易知橢圓過點，所以1，又，a2b2c2，由得a24，b23，所以橢圓C的方程為1.(2)設直線l1的方程為xmy1，它與C的另一個交點為D.將直線l1與橢圓C的方程聯立，消去x，得(3m24)y26my90，144(m21)>0.|AD|·，又F2到l1的距離d，所以SADF2.令t，t1，則SADF2，當t1時，SADF2取得最大值，為3.又S四邊形ABF2F1(|BF2|AF1|)·d(|AF1|DF1|)·d|AD|·dSADF2，所以四邊形ABF2F1面積的最大值為3.B組素養(yǎng)提升11已知橢圓E的左、右焦點分別為F1，F2，過F1且斜率為2的直線交橢圓E于P，Q兩點，若PF1F2為直角三角形，則橢圓E的離心率為()A. B. C. D.解析：由題意可知，F1PF2是直角，且tan PF1F22，所以2，又|PF1|PF2|2a，所以|PF1|，|PF2|.根據勾股定理得(2c)2，所以離心率e.答案：A12過橢圓1內的一點P(2，1)的弦，恰好被點P平分，則這條弦所在的直線方程是()A5x3y130 B5x3y130C5x3y130 D5x3y130解析：設弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則故××0，又x1x24，y1y22，故斜率k.故這條弦所在直線方程為y1(x2)，即5x3y130.答案：A13已知直線l：ykx2過橢圓1(a>b>0)的上頂點B和左焦點F，且被圓x2y24截得的弦長為L，若L，則橢圓離心率e的取值范圍是_解析：依題意，知b2，kc2.設圓心到直線l的距離為d，則L2，解得d2.又因為d，所以，解得k2.于是e2，所以0<e2，解得0<e.答案：14(2018·天津卷)設橢圓1(a>b>0)的右頂點為A，上頂點為B，已知橢圓的離心率為，|AB|.(1)求橢圓的方程；(2)設直線l：ykx(k<0)與橢圓交于P，Q兩點，l與直線AB交于點M，且點P，M均在第四象限若BPM的面積是BPQ面積的2倍，求k的值解：(1)設橢圓的焦距為2c，由已知有，又由a2b2c2，可得2a3b.又|AB|，從而a3，b2.所以，橢圓的方程為1.(2)設點P的坐標為(x1，y1)，點M的坐標為(x2，y2)，由題意知，x2>x1>0，點Q的坐標為(x1，y1)由BPM的面積是BPQ面積的2倍，可得|PM|2|PQ|，從而x2x12x1(x1)，即x25x1.易知直線AB的方程為2x3y6，由方程組消去y，可得x2.由方程組消去y，可得x1.由x25x1，可得 5(3k2)，兩邊平方，整理得18k225k80，解得k或k.當k時，x29<0，不合題意，舍去；當k時，x212，x1，符合題意所以k的值為.7