第2課時(shí)圓錐曲線綜合問(wèn)題考情分析圓錐曲線綜合問(wèn)題包括：探索性問(wèn)題、定點(diǎn)與定值問(wèn)題、范圍與最值問(wèn)題等這類問(wèn)題一般以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，參數(shù)處理為核心，需要運(yùn)用函數(shù)與方程、不等式、平面向量等諸多知識(shí)求解，試題難度較大熱點(diǎn)題型分析熱點(diǎn)1定點(diǎn)、定值問(wèn)題1直線恒過(guò)定點(diǎn)是指無(wú)論直線如何變動(dòng)，必有一個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)適合這條直線的方程問(wèn)題就歸結(jié)為用參數(shù)把直線方程表示出來(lái)，無(wú)論參數(shù)如何變化，這個(gè)方程必有一組常數(shù)解2定值的證明和探索一般是先利用特殊情形確定定值，再給出一般化的證明或直接證得與參數(shù)無(wú)關(guān)的數(shù)值，在這類問(wèn)題中，選擇消元的方法是非常關(guān)鍵的(2019·全國(guó)卷)已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，|AB|4，M過(guò)點(diǎn)A，B且與直線x20相切(1)若A在直線xy0上，求M的半徑(2)是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MA|MP|為定值？并說(shuō)明理由解(1)因?yàn)镸過(guò)點(diǎn)A，B，所以圓心M在線段AB的垂直平分線上由已知A在直線xy0上，且A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，所以M在直線yx上，故可設(shè)M(a，a)因?yàn)镸與直線x20相切，所以M的半徑為r|a2|.由已知得|AO|2.又MOAO，故可得2a24(a2)2，解得a0或a4.故M的半徑r2或r6.(2)存在定點(diǎn)P(1,0)，使得|MA|MP|為定值理由如下：設(shè)M(x，y)，由已知，得M的半徑為r|x2|，|AO|2.由于MOAO，故可得x2y24(x2)2，化簡(jiǎn)，得M的軌跡方程為y24x.因?yàn)榍€C：y24x是以點(diǎn)P(1,0)為焦點(diǎn)，以直線x1為準(zhǔn)線的拋物線，所以|MP|x1.因?yàn)閨MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.1動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為ykxm，由題設(shè)條件將m用k表示為mf(k)，借助于點(diǎn)斜式方程思想確定定點(diǎn)坐標(biāo)2定值問(wèn)題的解法(1)首先由特例得出一個(gè)值(此值一般就是定值)(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明待定式與參數(shù)(某些變量)無(wú)關(guān)；或先將式子用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)表示；再利用其滿足的約束條件消參得定值(2018·北京高考)已知拋物線C：y22px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)過(guò)點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.(1)求直線l的斜率的取值范圍；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，求證：為定值解(1)因?yàn)閽佄锞€y22px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)，所以42p，解得p2，所以拋物線的方程為y24x.由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為ykx1(k0)由得k2x2(2k4)x10.依題意有(2k4)24×k2×1>0，解得k<0或0<k<1.又PA，PB與y軸相交，故直線l不過(guò)點(diǎn)(1，2)從而k3.所以直線l的斜率的取值范圍是(，3)(3，0)(0,1)(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由(1)知x1x2，x1x2.直線PA的方程為y2·(x1)令x0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM22.同理可得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN2.由，得1yM，1yN.所以··2.所以為定值熱點(diǎn)2范圍、最值問(wèn)題解決有關(guān)范圍、最值問(wèn)題時(shí)，先要恰當(dāng)?shù)匾胱兞?如點(diǎn)的坐標(biāo)、角或斜率等)，建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)和方法求解具體可采用如下方法：(1)利用判別式構(gòu)造不等式，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的取值范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立相等關(guān)系；(3)利用已知或隱含的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍(2017·浙江高考)如圖，已知拋物線x2y，點(diǎn)A，B，拋物線上的點(diǎn)P(x，y).過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.(1)求直線AP斜率的取值范圍；(2)求|PA|·|PQ|的最大值解(1)設(shè)直線AP的斜率為k，則kx，因?yàn)?lt;x<，所以直線AP斜率的取值范圍是(1,1)(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是xQ.因?yàn)閨PA|(k1)，|PQ|(xQx)，所以|PA|·|PQ|(k1)(k1)3.令f(k)(k1)(k1)3，因?yàn)閒(k)(4k2)(k1)2，所以f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，當(dāng)k時(shí)，|PA|·|PQ|取得最大值.有關(guān)范圍、最值問(wèn)題的解題步驟如下：第一步：設(shè)參數(shù)：依題意設(shè)出相關(guān)的參數(shù)，如設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)比例式的參數(shù)或設(shè)直線的方程等；第二步：聯(lián)立方程：常把直線方程與曲線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程；第三步：建立函數(shù)：根據(jù)題設(shè)條件中的關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系式；第四步：求最值(或范圍)：利用配方法、基本不等式法、單調(diào)性法(基本初等函數(shù)或?qū)?shù))等求其最值(2019·全國(guó)卷)已知點(diǎn)A(2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PEx軸，垂足為E，連接QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.證明：PQG是直角三角形；求PQG面積的最大值解(1)由題設(shè)，得·，化簡(jiǎn)得C的方程為1(|x|2)，所以C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn)(2)證明：設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為ykx(k>0)由得x±.設(shè)u，則P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0)于是直線QG的斜率為，方程為y(xu)由得(2k2)x22uk2xk2u280.(*)設(shè)G(xG，yG)，則u和xG是方程(*)的解，故xG，由此得yG.從而直線PG的斜率為.所以PQPG，即PQG是直角三角形由得|PQ|2u ，|PG|，所以PQG的面積S|PQ|·|PG|.設(shè)tk，則由k>0，得t2，當(dāng)且僅當(dāng)k1時(shí)取等號(hào)因?yàn)镾在2，)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t2，即k1時(shí)，S取得最大值，最大值為.因此，PQG面積的最大值為.熱點(diǎn)3探索性問(wèn)題圓錐曲線中的探索性問(wèn)題?？疾榻Y(jié)論存在和條件探究?jī)煞N題型，一般的解題思路如下：(1)結(jié)論存在型：即證明在給定的條件下，一些給定的結(jié)論是否存在解題時(shí)一般先對(duì)結(jié)論作肯定假設(shè)，然后結(jié)合已知條件進(jìn)行推證，若推證無(wú)矛盾，則正確；若推出矛盾，則否定此結(jié)論過(guò)程可歸納為：假設(shè)推證定論；(2)條件探究型：即給出結(jié)論，需要分析出具備的條件，并加以證明解題時(shí)一般從結(jié)論出發(fā)，依據(jù)其他已知條件，通過(guò)必要的邏輯推理，逐步找到結(jié)論成立的等價(jià)條件，即“執(zhí)果索因”(2019·全國(guó)卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若POF2為等邊三角形，求C的離心率；(2)如果存在點(diǎn)P，使得PF1PF2，且F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍解(1)連接PF1.由POF2為等邊三角形可知在F1PF2中，F(xiàn)1PF290°，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的離心率為e1.(2)由題意可知，滿足條件的點(diǎn)P(x，y)存在當(dāng)且僅當(dāng)|y|·2c16，·1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2，得y2.又由，知y2，故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，從而a2b2c22b232，故a4.當(dāng)b4，a4時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P.所以b4，a的取值范圍為4，)解決探索性問(wèn)題時(shí)要注意：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在1當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)，要分類討論2當(dāng)給出結(jié)論，推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件3當(dāng)條件和結(jié)論都未知時(shí)，按常規(guī)方法解題較難，因此要開(kāi)放思維，采取其他途徑設(shè)橢圓M：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為A(1,0)，B(1,0)，C為橢圓M上的點(diǎn)，且ACB，SABC.(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)橢圓M右焦點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線與橢圓M相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，探究在x軸上是否存在定點(diǎn)D，使得·為定值？若存在，試求出定值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)在ABC中，由余弦定理得AB2CA2CB22CA·CBcosACB(CACB)23CA·CB4.又SABCCA·CBsinACBCA·CB，CA·CB，代入上式得CACB2.橢圓長(zhǎng)軸2a2，焦距2cAB2.所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)直線方程為yk(x1)，E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，聯(lián)立消去y，得(12k2)x24k2x2k220，8k28>0，x1x2，x1x2.假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)D(x0,0)，使得·為定值，·(x1x0，y1)·(x2x0，y2)x1x2x0(x1x2)xy1y2x1x2x0(x1x2)xk2(x11)(x21)(1k2)x1x2(x0k2)(x1x2)xk2.要使·為定值，則·的值與k無(wú)關(guān)，2x4x012(x2)，解得x0，此時(shí)·為定值，定點(diǎn)為.專題作業(yè)1(2019·全國(guó)卷)已知曲線C：y，D為直線y上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.(1)證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)；(2)若以E為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積解(1)證明：設(shè)D，A(x1，y1)，則x2y1.因?yàn)閥x，所以切線DA的斜率為x1，故x1.整理得2tx12y110.設(shè)B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直線AB的方程為2tx2y10.所以直線AB過(guò)定點(diǎn).(2)由(1)得直線AB的方程為ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|×2(t21)設(shè)d1，d2分別為點(diǎn)D，E到直線AB的距離，則d1，d2 .因此，四邊形ADBE的面積S|AB|(d1d2)(t23) .設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則M.因?yàn)?，?t，t22)，與向量(1，t)平行，所以t(t22)t0，解得t0或t±1.當(dāng)t0時(shí)，S3；當(dāng)t±1時(shí)，S4.因此，四邊形ADBE的面積為3或4.2(2017·全國(guó)卷)已知橢圓C：1(a>b>0)，四點(diǎn)P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三點(diǎn)在橢圓C上(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過(guò)定點(diǎn)解(1)由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過(guò)P3，P4兩點(diǎn)又由，知橢圓C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在橢圓C上因此解得故橢圓C的方程為y21.(2)證明：設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.如果l與x軸垂直，設(shè)l：xt，由題設(shè)知t0，且|t|2，可得A，B的坐標(biāo)分別為，則k1k21，解得t2，不符合題設(shè)從而可設(shè)l：ykxm(m1)將ykxm代入y21，得(4k21)x28kmx4m240.由題設(shè)可知16(4k2m21)0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.而k1k2.由題設(shè)k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)·(m1)·0，解得k.當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l過(guò)定點(diǎn)(2，1)3(2019·北京高考)已知拋物線C：x22py經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，1)(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)解(1)由拋物線C：x22py經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，1)，得p2.所以拋物線C的方程為x24y，其準(zhǔn)線方程為y1.(2)證明：拋物線C的焦點(diǎn)為F(0，1)設(shè)直線l的方程為ykx1(k0)由得x24kx40.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x24.直線OM的方程為yx.令y1，得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)xA.同理得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)xB.設(shè)點(diǎn)D(0，n)，則，·(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令·0，即4(n1)20，得n1或n3.綜上，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的定點(diǎn)(0,1)和(0，3)4已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF1F2的面積的最大值為2.(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線l：ykx2(k0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，若在x軸上存在點(diǎn)G，使得|GM|GN|，求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍解(1)由已知，得解得a29，b28，c21，所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)為E(x0，y0)，若存在點(diǎn)G(m,0)，使得|GM|GN|，則GEMN.由得(89k2)x236kx360，由>0，得kR.所以x1x2，則x0，y0kx02.因?yàn)镚EMN，所以kGE，即，所以有m.當(dāng)k>0時(shí)，9k212，所以m<0；當(dāng)k<0時(shí)，9k12，所以0<m.綜上，點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍為.- 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