考點(diǎn)十八概率一、選擇題1同時(shí)拋擲3枚硬幣，那么互為對立事件的是()A“至少有1枚正面”與“最多有1枚正面”B“最多有1枚正面”與“恰有2枚正面”C“至多有1枚正面”與“至少有2枚正面”D“至少有2枚正面”與“恰有1枚正面”答案C解析兩個(gè)事件是對立事件必須滿足兩個(gè)條件：不同時(shí)發(fā)生，兩個(gè)事件的概率之和等于1.故選C.2隨機(jī)向邊長為10，10，12的三角形中投一點(diǎn)M，則點(diǎn)M到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于的概率是()A. B. C. D.答案C解析分別以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，則在三角形內(nèi)部，且在三圓外部的區(qū)域即為與三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離不小于的部分，故所求概率P1，故選C.3(2019·四川成都七中5月模擬)據(jù)孫子算經(jīng)中記載，中國古代諸侯的等級從低到高分為：男、子、伯、侯、公，共五級若給有巨大貢獻(xiàn)的2人進(jìn)行封爵，則兩人不被封同一等級的概率為()A. B. C. D.答案C解析由題意知，基本事件的總數(shù)有25種情形，兩人被封同一等級的方法種數(shù)有男、子、伯、侯、公，共5種情形，故所求事件的概率為1.4. (2019·晉冀魯豫中原名校第三次聯(lián)考)1876年4月1日，加菲爾德在新英格蘭教育日志上發(fā)表了勾股定理的一種證明方法，即在如圖的直角梯形ABCD中，利用“兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形的面積之和等于直角梯形面積”，可以簡潔明了地推證出勾股定理.1881年加菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、易懂的證明，就把這一證明方法稱為“總統(tǒng)證法”如圖，設(shè)BEC15°，在梯形ABCD中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自等腰直角CDE中(陰影部分)的概率是()A. B. C. D.答案C解析在直角BCE中，accos15°，bcsin15°，則P，故選C.5(2019·山西晉城三模)在0,20中任取一實(shí)數(shù)作為x，則使得不等式log (x1)>4成立的概率為()A. B. C. D.答案B解析log (x1)>4log (x1)>log160<x1<161<x<17，故所求概率P.6(2019·全國卷)生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測量過某項(xiàng)指標(biāo)若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為()A. B. C. D.答案B解析設(shè)5只兔子中測量過某項(xiàng)指標(biāo)的3只為a1，a2，a3，未測量過這項(xiàng)指標(biāo)的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機(jī)取出3只的所有可能情況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能，這10種情況發(fā)生的可能性是相等的其中恰有2只測量過該指標(biāo)的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能故恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為.故選B.7. (2019·山東濰坊三模)五行學(xué)說是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，是華夏文明重要組成部分古人認(rèn)為，天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系若從五類元素中任選兩類元素，則兩類元素相生的概率為()A. B. C. D.答案A解析從金、木、水、火、土任取兩類，共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果，這10種結(jié)果發(fā)生的可能性是相等的其中兩類元素相生的有金水、金土、木水、木火、火土，共5種結(jié)果，所以兩類元素相生的概率為，故選A.8(2019·資陽二模)箱子里有3雙顏色不同的手套(紅藍(lán)黃各1雙)，有放回地拿出2只，記事件A表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成對”，則事件A的概率為()A. B. C. D.答案B解析記3雙手套為Aa，Bb，Cc，有放回地拿出2只，所有基本事件為AA，Aa，AB，Ab，AC，Ac，aA，aa，aB，ab，aC，ac，BA，Ba，BB，Bb，BC，Bc，bA，ba，bB，bb，bC，bc，CA，Ca，CB，Cb，CC，Cc，cA，ca，cB，cb，cC，cc，共36種，這36種情況發(fā)生的可能性是相等的事件A“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成對”包括Ab，Ac，aB，aC，Ba，Bc，bA，bC，Ca，Cb，cA，cB，共12種，故P(A).二、填空題9已知某射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率都為80%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員4次射擊至少3次擊中目標(biāo)的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0,1表示沒有擊中目標(biāo)，2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo)；再以每4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表4次射擊的結(jié)果經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281據(jù)此估計(jì)，該射擊運(yùn)動(dòng)員4次射擊至少3次擊中目標(biāo)的概率為_答案0.75解析4次射擊中有1次或2次擊中目標(biāo)的有：0371,6011,7610,1417,7140，所求概率P10.75.10在棱長為4的一個(gè)正方體內(nèi)，有一根細(xì)線系在上底面的中心處，下方懸掛了一個(gè)半徑為1的球，且球位于正方體內(nèi)，已知球面是網(wǎng)狀的，小蟲可以自由地出入若一只小蟲在某一時(shí)刻可以位于正方體內(nèi)的任意一個(gè)位置，則小蟲飛入網(wǎng)狀球面球體內(nèi)的概率為_答案解析小蟲飛入網(wǎng)狀球面球體內(nèi)的概率為.11某汽車站每天上午均有3輛開往A景點(diǎn)的分上、中、下等級的客車某天，王先生準(zhǔn)備在該汽車站乘車去A景點(diǎn)，但他不知道客車的車況，也不知道發(fā)車順序?yàn)榱吮M可能乘上上等車，他采取如下策略：先放過第一輛，如果第二輛比第一輛好則上第二輛，否則上第三輛，那么他乘上上等車的概率為_答案解析共有6種發(fā)車順序：上、中、下；上、下、中；中、上、下；中、下、上；下、中、上；下、上、中(其中畫線的表示王先生所乘的車)，這6種情況發(fā)生的可能性是相等的，其中王先生乘上上等車的有，共3種情況，所以他乘上上等車的概率為.12(2019·山東鄆城一中三模)七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，是由七塊板組成的而這七塊板可拼成許多圖形，例如：三角形、不規(guī)則多邊形、各種人物、動(dòng)物、建筑物等，清陸以湉冷廬雜識寫道：近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余在18世紀(jì)，七巧板流傳到了國外，至今英國劍橋大學(xué)的圖書館里還珍藏著一部七巧新譜若用七巧板拼成一只雄雞，在雄雞平面圖形上隨機(jī)取一點(diǎn)，則恰好取自雄雞雞尾(陰影部分)的概率為_答案解析設(shè)包含7塊板的正方形邊長為4，其面積為4×416，則雄雞的雞尾面積為標(biāo)號為6的板塊，其面積為S2×12，所以在雄雞平面圖形上隨機(jī)取一點(diǎn)，則恰好取自雄雞雞尾(陰影部分)的概率為P.三、解答題13(2019·河南焦作四模)新個(gè)稅法于2019年1月1日進(jìn)行實(shí)施為了調(diào)查國企員工對新個(gè)稅法的滿意程度，研究人員在A地各個(gè)國企中隨機(jī)抽取了1000名員工進(jìn)行調(diào)查，并將滿意程度以分?jǐn)?shù)的形式統(tǒng)計(jì)成如下的頻率分布直方圖，其中a4b.(1)求a，b的值并估計(jì)被調(diào)查的員工的滿意程度的中位數(shù)(計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù))；(2)若按照分層抽樣從50,60)，60,70)中隨機(jī)抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人的分?jǐn)?shù)在50,60)的概率解(1)依題意，(ab0.0080.0270.035)×101，所以ab0.03，又a4b，所以a0.024，b0.006，所以中位數(shù)為7075.14.(2)依題意，得分?jǐn)?shù)在50,60)的員工抽取了2人，記為a，b，分?jǐn)?shù)在60,70)的員工抽取了6人，記為1,2,3,4,5,6，所以從這8人中隨機(jī)抽取2人，所有的情況為(a，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共28種，這28種情況發(fā)生的可能性是相等的其中滿足條件的為(a，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，共13種設(shè)“至少有1人的分?jǐn)?shù)在50,60)”的事件為A，則P(A).一、選擇題1已知實(shí)數(shù)m0,1，向量a(2，2)，b(1,1)，則|ma|>|b|的概率是()A. B. C. D.答案C解析ma(2m，2m)，若|ma|>|b|，則 > ，得m<(舍去)或m>.所以|ma|>|b|的概率是P.故選C.2(2019·全國卷)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是()A. B. C. D.答案D解析設(shè)兩位男同學(xué)分別為A，B，兩位女同學(xué)分別為a，b，則用“樹形圖”表示四位同學(xué)排成一列所有可能的結(jié)果如圖所示由圖知，共有24種等可能的結(jié)果，其中兩位女同學(xué)相鄰的結(jié)果(畫“”的情況)共有12種，故所求概率為.故選D.3一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字依次為x，y，z，當(dāng)且僅當(dāng)y>x，y>z時(shí)，稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”(如243)，現(xiàn)從集合1,2,3,4中取出三個(gè)不相同的數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為()A. B. C. D.答案B解析從集合1,2,3,4中取出三個(gè)不相同的數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)共有24個(gè)結(jié)果：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，且這24種結(jié)果發(fā)生的可能性是相等的其中是“凸數(shù)”的是132,142,143,231,241,243,341,342，共8個(gè)結(jié)果，所以這個(gè)三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為，故選B.4. 下圖是一個(gè)邊長為4的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲400個(gè)點(diǎn)，其中落入黑色部分的有225個(gè)點(diǎn)，據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為()A8 B9 C10 D12答案B解析根據(jù)面積之比與點(diǎn)數(shù)之比相等的關(guān)系，得黑色部分的面積S4×4×9，故選B.5(2019·河南鄭州第三次質(zhì)檢)關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過很多有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐試驗(yàn)，受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的試驗(yàn)來估計(jì)的值，試驗(yàn)步驟如下：先請高二年級n名同學(xué)每人在小卡片上隨機(jī)寫下一個(gè)實(shí)數(shù)對(x，y)(0<x<1,0<y<1)；若卡片上的x，y能與1構(gòu)成銳角三角形，則將此卡片上交；統(tǒng)計(jì)上交的卡片數(shù)，記為m；根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)n，m估計(jì)的值那么可以估計(jì)的值約為()A. B. C. D.答案C解析由題意，實(shí)數(shù)對(x，y)(0<x<1,0<y<1)，即面積為1.且卡片上的x，y能與1構(gòu)成銳角三角形，即滿足x2y21，且所以面積為1，所以x，y能與1構(gòu)成銳角三角形的概率為1，由題，n張卡片上交m張，即1，故選C.6(2019·湖南師大附中模擬三)若即時(shí)起10分鐘內(nèi)，305路公交車和202路公交車由南往北等可能進(jìn)入二里半公交站，則這兩路公交車進(jìn)站時(shí)間的間隔不超過2分鐘的概率為()A0.18 B0.32 C0.36 D0.64答案C解析設(shè)305路車和202路車的進(jìn)站時(shí)間分別為x，y，設(shè)所有基本事件為W：“進(jìn)站時(shí)間的間隔不超過2分鐘”為事件A，則A(x，y)|0x10，0y10，|xy|2，畫出不等式表示的區(qū)域如圖中陰影區(qū)域，則S10×108×836，則P(A)0.36，故選C.7. (2019·北京師大附中模擬三)剪紙藝術(shù)是中國最古老的民間藝術(shù)之一，作為一種鏤空藝術(shù)，它能給人以視覺上的藝術(shù)享受在如圖所示的圓形圖案中有12個(gè)樹葉狀圖形(即圖中陰影部分)，構(gòu)成樹葉狀圖形的圓弧均相同若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是()A2 B4 C. D.答案B解析設(shè)圓的半徑為r，如圖所示，12片樹葉是由24個(gè)相同的弓形組成，且弓形AmB的面積為S弓形r2·r2·sinr2r2.所求的概率為P4，故選B.8在圓x2y24上任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到直線xy20的距離d0,1的概率為()A. B. C. D.答案C解析圓心(0,0)到直線xy20的距離為2，所以該直線與圓相切設(shè)切點(diǎn)為D，如圖，作與直線xy20平行的直線交圓于點(diǎn)A，B，且O到直線AB的距離OC1，而OA2，所以AOB.所以劣弧的長度為×2，而圓的周長為4，所以在圓x2y24上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)到直線xy20的距離d0,1的概率為.二、填空題9給甲、乙、丙三人打電話，若打電話的順序是任意的，則第一個(gè)打電話給甲的概率是_答案解析給三人打電話的不同順序有6種等可能的結(jié)果，其中第一個(gè)給甲打電話的結(jié)果有2種，故所求概率為P.10袋中有大小、質(zhì)地相同的紅、黑球各一個(gè)，現(xiàn)有放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸取一個(gè)球，若摸出紅球，得2分，摸出黑球，得1分，則3次摸球所得總分至少是4分的概率是_答案解析所有基本事件為(紅，紅，紅)，(紅，紅，黑)，(紅，黑，紅)，(黑，紅，紅)，(紅，黑，黑)，(黑，紅，黑)，(黑，黑，紅)，(黑，黑，黑)，共計(jì)8個(gè)，這8種情況發(fā)生的可能性是相等的可求對立事件“總分少于4分”即“三黑”的概率為，所以所求概率P1.11從區(qū)間2,2中隨機(jī)選取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則函數(shù)f(x)4xa·2x11有零點(diǎn)的概率是_答案解析令t2x，函數(shù)有零點(diǎn)就等價(jià)于方程t22at10有正根，進(jìn)而可得a1，又a2,2，所以函數(shù)有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足a1,2，故P.12某人在微信群中發(fā)了一個(gè)7元“拼手氣”紅包，被甲、乙、丙三人搶完，若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則甲領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人的概率是_答案解析設(shè)甲、乙、丙分別領(lǐng)到x元、y元、z元，記為(x，y，z)則基本事件有：(1,1,5)，(1,5,1)，(5,1,1)，(1,2,4)，(1,4,2)，(2,1,4)，(2,4,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(2,2,3)，(2,3,2)，(3,2,2)，(3,3,1)，(3,1,3)，(1,3,3)，共15種，這15種情況發(fā)生的可能性是相等的其中“甲領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人”所含的基本事件有：(5,1,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(3,2,2)，(3,3,1)，(3,1,3)，共6種，所以所求概率P.三、解答題13(2019·湖南長郡中學(xué)模擬) 據(jù)了解，大學(xué)英語四級改革的一項(xiàng)重要內(nèi)容就是總分改為710分，每個(gè)考生會有一個(gè)成績，不再頒發(fā)“合格證”這也意味著，不再有“及格”一說大學(xué)英語四級考試成績在425分及以上的考生可以報(bào)考大學(xué)英語六級考試，英語四級成績在550分及以上的考生可以報(bào)考口語如圖是從某大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)40人的英語四級成績中隨機(jī)抽取8人的成績的莖葉圖：(1)根據(jù)這8人的英語四級成績，估計(jì)該大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)英語四級考試成績的平均數(shù)和中位數(shù)；(2)在這8人中，從可以報(bào)考大學(xué)英語六級考試的學(xué)生中任取2人，求這2人都可以報(bào)考口語的概率解(1)這8人的英語四級成績的平均數(shù)為(386410450485520564575610)÷8500，這8人的英語四級成績的中位數(shù)為(485520)÷2502.5，由此可估計(jì)該大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)英語四級考試成績的平均數(shù)為500分，中位數(shù)為502.5分(2)設(shè)可以報(bào)考大學(xué)英語六級考試但不能報(bào)考口語的3人為A1，A2，A3，可以報(bào)考口語的3人為B1，B2，B3，從這6人中任取2人，全部情況為(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15種，這15種情況發(fā)生的可能性是相等的這2人都可以報(bào)考口語的情況為(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共3種，則這2人都可以報(bào)考口語的概率P.- 11 -