第2講 概率、隨機變量及其分布列A級基礎(chǔ)通關(guān)一、選擇題1某商場舉行有獎促銷活動，抽獎規(guī)則如下：箱子中有編號為1，2，3，4，5的五個形狀、大小完全相同的小球，從中任取兩球，若摸出的兩球號碼的乘積為奇數(shù)，則中獎；否則不中獎則中獎的概率為()A.B.C.D.解析：從5個球中，任取兩球有C10種情況，其中兩球編號乘積為奇數(shù)有C3種情況所以所求事件的概率P.答案：C2(2019·廣東汕頭一模)已知離散型隨機變量X的分布列為X0123Pm則X的數(shù)學(xué)期望E(X)()A. B1 C. D2解析：由題意可得m1，可得m.則E(X)0×1×2×3×1.答案：B3.(2019·湖南雅禮中學(xué)聯(lián)考)如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，在正方形ABCD內(nèi)隨機取一個點Q，則點Q取自陰影部分的概率等于()A. B.C. D.解析：因為SAEGSCFHSABCS正方形ABCD，又SDGHSADCS正方形ABCD，所以S陰影S正方形ABCD，故點Q取自陰影部分的概率等于.答案：D4(2018·全國卷)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，D(X)2.4，P(X4)P(X6)，則p()A0.7 B0.6 C0.4 D0.3解析：依題意，XB(10，p)，所以D(X)10p(1p)2.4，解得p0.4或p0.6.由P(X4)P(X6)得Cp4(1p)6Cp6(1p)4，解得p，因此p0.6.答案：B5甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報名參加假期社區(qū)服務(wù)活動，社區(qū)服務(wù)活動共有關(guān)懷老人，環(huán)境監(jiān)測、教育咨詢、交通宣傳等四個項目，每人限報其中一項，記事件A為“4名同學(xué)所報項目各不相同”，事件B為“只有甲同學(xué)一人報關(guān)懷老人項目”，則P(A|B)()A. B. C. D.解析：由題設(shè)，得P(B)，P(AB)，所以P(A|B).答案：C二、填空題6(2018·全國卷)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_種(用數(shù)字作答)解析：法1：分兩種情況：只有1位女生入選，不同的選法有CC12(種)；有2位女生入選，不同的選法有CC4(種)，故至少有1位女生入選的不同的選法有16種法2：從6人中任選3人，不同的選法有C20(種)，從6人中任選3人都是男生，不同的選法有C4(種)所以至少有1位女生入選的不同的選法有20416(種)答案：167(2019·浙江卷)在二項式(x)9的展開式中，常數(shù)項是_，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是_解析：由二項展開式的通項公式可知Tr1C·()9r·xr，rN，0r9，當為常數(shù)項時，r0，T1C·()9·x0()916.當項的系數(shù)為有理數(shù)時，9r為偶數(shù)，可得r1，3，5，7，9，即系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是5.答案：1658(2019·河南六校聯(lián)考)某市高三年級26 000名學(xué)生參加了2019年3月模擬考試，已知數(shù)學(xué)考試成績XN(100，2)，統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績X在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則數(shù)學(xué)成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為_解析：因為成績XN(100，2)，所以正態(tài)分布曲線關(guān)于X100對稱，又成績在80分到120分之間的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的，由對稱性知：成績不低于120分的學(xué)生約為總?cè)藬?shù)的×，所以此次考試成績不低于120分的學(xué)生約有×26 0003 250.答案：3250三、解答題9(2018·北京卷)電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨立(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；(3)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等用“k1”表示第k類電影得到人們喜歡，“k0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k1，2，3，4，5，6)寫出方差D(1)，D(2)，D(3)，D(4)，D(5)，D(6)的大小關(guān)系解：(1)設(shè)“從電影公司收集的電影中隨機選取1部，這部電影是獲得好評的第四類電影”為事件A.因為第四類電影中獲得好評的電影有200×0.2550(部)，所以P(A)0.025.(2)設(shè)“從第四類電影和第五類電影中各隨機取一部，恰有1部獲得好評”為事件B.則P(B)0.25×(10.2)(10.25)×0.20.35.故所求事件的概率估計為0.35.(3)由題意可知，定義隨機變量如下：k則k顯然服從兩點分布，故D(1)0.4×(10.4)0.24，D(2)0.2×(10.2)0.16，D(3)0.15×(10.15)0.127 5，D(4)0.25×(10.25)0.187 5，D(5)0.2×(10.2)0.16，D(6)0.1×(10.1)0.09.綜上所述，D(1)D(4)D(2)D(5)D(3)D(6)10(2019·廣東佛山二模)某電子設(shè)備工廠生產(chǎn)一種電子元件，質(zhì)量控制工程師要在產(chǎn)品出廠前將次品檢出估計這個廠生產(chǎn)的電子元件的次品率為0.2%，且電子元件是不是次品相互獨立，一般的檢測流程是：先把n個(n1)電子元件串聯(lián)起來成組進行檢驗若檢驗通過，則全部為正品，若檢測不通過，則至少有一個次品，再逐一檢測，直到把所有的次品找出，若檢測一個電子元件的花費為5分錢，檢測一組(n個)電子元件的花費為(4n)分錢(1)當n4時，估算一組待檢元件中有次品的概率；(2)設(shè)每個電子元件檢測費用的期望為A(n)，求A(n)的表達式；(3)試估計n的值，使每個電子元件的檢測費的期望最小(提示：用(1p)n1np進行估算)解：(1)設(shè)事件A：一組(4個)電子元件中有次品，則事件：一組(4個)電子元件中無次品，即4個電子元件均是正品又4個電子元件是不是次品相互獨立，則P()(10.002)4，所以P(A)1P()1(10.002)41(14×0.002)0.008.(2)設(shè)每組(n個)電子元件的檢測費用為X分錢，則X的所有可能取值為n4，6n4，P(Xn4)0.998n，P(X6n4)10.998n，則X的分布列為Xn46n4P0.998n10.998n所以E(X)(n4)×0.998n(6n4)×(10.998n)6n45n×0.998n，則有A(n)65×0.998n(n1)(3)A(n)65×0.998n65×(10.002)n65×(10.002n)10.01n121.4，當且僅當0.01n時取等號，此時n20.所以，估計當n20時，每個電子元件平均檢測費用最低，約為1.4分錢B級能力提升11(2019·浙江卷)設(shè)0a1，隨機變量X的分布列是X0a1P則當a在(0，1)內(nèi)增大時，()AD(X)增大 BD(X)減小CD(X)先增大后減小 DD(X)先減小后增大解析：由題意知E(X)0×a×1×，因此，D(X)×××(a1)2(12a)2(a2)2(6a26a6).當0a時，D(X)單調(diào)遞減；當a1時，D(X)單調(diào)遞增；故當a在(0，1)內(nèi)增大時，D(X)先減小后增大答案：D12某快遞公司收取快遞費用的標準是：重量不超過1 kg的包裹收費10元；重量超過1 kg的包裹，除1 kg收費10元之外，超過1 kg的部分，每超出1 kg(不足1 kg，按1 kg計算)需再收5元該公司將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計如下：包裹重量/kg12345包裹件數(shù)43301584公司對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表：包裹件數(shù)范圍0100101200201300301400401500包裹件數(shù)(近似處理)50150250350450天數(shù)6630126以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率(1)計算該公司未來3天內(nèi)恰有2天攬件數(shù)在101400之間的概率；(2)估計該公司對每件包裹收取的快遞費的平均值；公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的用作其他費用目前前臺有工作人員3人，每人每天攬件不超過150件，工資100元公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減1人，試計算裁員前后公司每日利潤的數(shù)學(xué)期望，并判斷裁員是否對提高公司利潤更有利？解：(1)樣本中包裹件數(shù)在101400之間的天數(shù)為48，頻率f，故可估計概率為，顯然未來3天中，包裹件數(shù)在101400之間的天數(shù)X服從二項分布，即XB，故所求概率為C××.(2)樣本中快遞費用及包裹件數(shù)如下表：包裹重量/kg12345快遞費/元1015202530包裹件數(shù)43301584故樣本中每件快遞收取的費用的平均值為15(元)，故該公司對每件快遞收取的費用的平均值可估計為15元根據(jù)題意及(2)，攬件數(shù)每增加1，可使前臺工資和公司利潤增加15×5(元)，將題目中的天數(shù)轉(zhuǎn)化為頻率，得包裹件數(shù)范圍0100101200201300301400401500包裹件數(shù)(近似處理)50150250350450天數(shù)6630126頻率0.10.10.50.20.1若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)(近似處理)50150250350450實際攬件數(shù)Y50150250350450頻率0.10.10.50.20.1E(Y)50×0.1150×0.1250×0.5350×0.2450×0.1260故公司平均每日利潤的期望值為260×53×1001 000(元)若裁員1人，則每天可攬件的上限為300件，公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)(近似處理)50150250350450實際攬件數(shù)Z50150250300300頻率0.10.10.50.20.1E(Y)50×0.1150×0.1250×0.5300×0.2300×0.1235故公司平均每日利潤的期望值為235×52×100975(元)，因9751 000，故公司將前臺工作人員裁減1人對提高公司利潤不利- 7 -