專題08指數(shù)與指數(shù)函數(shù)最新考綱1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景2.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算3.理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)，會(huì)畫底數(shù)為2,3,10，的指數(shù)函數(shù)的圖象4.體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.基礎(chǔ)知識(shí)融會(huì)貫通1分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是(a>0，m，nN*，且n>1)于是，在條件a>0，m，nN*，且n>1下，根式都可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定(a>0，m，nN*，且n>1).0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中a>0，b>0，r，sQ.2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【知識(shí)拓展】1指數(shù)函數(shù)圖象的畫法畫指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0,1)，.2.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)yax(a>0，a1)的圖象越高，底數(shù)越大3指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a1與0a1來研究重點(diǎn)難點(diǎn)突破【題型一】指數(shù)冪的運(yùn)算【典型例題】若0a1，b0，且，則abab等于（）AB2或2C2D2【解答】解：，a2b+a2b826（abab）2a2b+a2b240a1，b0，abab，則abab2故選：C【再練一題】設(shè)a0，將表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，其結(jié)果是（）ABCD【解答】解：由題意故選：C思維升華 (1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；運(yùn)算的先后順序(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù)(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)【題型二】指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【典型例題】函數(shù)f（x）ax1（a0，a1）的圖象恒過點(diǎn)A，則下列函數(shù)中圖象不經(jīng)過點(diǎn)A的是（）AyBy|x2|Cy2x1Dylog2（2x）【解答】解：函數(shù)f（x）yax1（a0，a1）的圖象恒過點(diǎn)A，即x10，可得x1，那么：y1恒過點(diǎn)A（1，1）把x1，y1帶入各選項(xiàng)，經(jīng)考查各選項(xiàng)，只有A沒有經(jīng)過A點(diǎn)故選：A【再練一題】函數(shù)的圖象的大致形狀是（）ABCD【解答】解：f（x）是分段函數(shù)，根據(jù)x的正負(fù)寫出分段函數(shù)的解析式，f（x），x0時(shí)，圖象與yax在第一象限的圖象一樣，x0時(shí)，圖象與yax的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，故選：C思維升華 (1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除(2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象可從指數(shù)函數(shù)的圖象通過平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論【題型三】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點(diǎn)1指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【典型例題】已知函數(shù)f（x）（）x，若af（20.3），bf（2），cf（log25），則a，b，c的大小關(guān)系為（）AcbaBabcCcabDbca【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）（）x，則f（x）在R上為減函數(shù)，又由20.3212log25，則abc；故選：B【再練一題】下列不等關(guān)系式正確的是（）ABCD【解答】解：A冪函數(shù)y在（0，+）上是增函數(shù)，則，故A錯(cuò)誤，B函數(shù)y在R上是增函數(shù)，則，故B錯(cuò)誤，C冪函數(shù)y在（0，+）上是減函數(shù)，則，故C正確，D函數(shù)y0.7x在R上是減函數(shù)，則，故D錯(cuò)誤，故選：C命題點(diǎn)2與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【典型例題】已知函數(shù)（1）判斷f（x）的單調(diào)性；（2）求f（x）的值域；（3）解方程f（x）0；（4）求解不等式f（x）0【解答】解：（1）此函數(shù)由yt2+t2與t兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成，由于t是一個(gè)減函數(shù)，且其值域?yàn)椋?，+），函數(shù)yt2+t2在（，+）是增函數(shù)，此復(fù)合函數(shù)外增內(nèi)減，故是單調(diào)遞減函數(shù)；（2）由（1）內(nèi)層函數(shù)的值域是（0，+），外層函數(shù)在（0，+）上是增函數(shù)，故函數(shù)的值域?yàn)椋?，+）；（3）由f（x）0得t2+t20，解得t2（舍）或t1，令解得x0；（4）由f（x）0得t2+t20解得t1或t2（舍），令，解得x0，即不等式的解集是（，0）【再練一題】已知函數(shù)f（x），（1）若a1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）有最大值3，求a的值（3）若f（x）的值域是（0，+），求a的取值范圍【解答】解：（1）當(dāng)a1時(shí)，f（x），令g（x）x24x+3，由于g（x）在（，2）上單調(diào)遞增，在（2，+）上單調(diào)遞減，而yt在R上單調(diào)遞減，所以f（x）在（，2）上單調(diào)遞減，在（2，+）上 單調(diào)遞增，即函數(shù)f（ x）的遞增區(qū)間是（2，+），遞減區(qū)間是（，2 ）（2）令h（x）ax24x+3，yh（x），由于f（x）有最大值3，所以 h（x）應(yīng)有最小值1，因此1，解得a1即當(dāng)f（x）有最大值3時(shí)，a的值等于1（3）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使yh（x）的值域?yàn)椋?，+）應(yīng)使h（x）ax24x+3的值域?yàn)镽，因此只能有a0因?yàn)槿鬭0，則h（x）為二次函數(shù)，其值域不可能為R故 a的取值范圍是0命題點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典型例題】對(duì)于函數(shù)f（x）4xm2x+1，若存在實(shí)數(shù)x0，使得f（x0）f（x0）成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）AmBmCm1Dm1【解答】解：f（x）4xm2x+1，f（x0）f（x0），mm，m（），2m，令t，則t2，2mt（t2），函數(shù)yt與函數(shù)y在2，+）上均為單調(diào)遞增函數(shù)，2mt（t2）在2，+）上單調(diào)遞增，當(dāng)t2時(shí)，2mt（t2）取得最小值1，即2m1，解得：m故選：B【再練一題】函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢BC（0，D（0，2【解答】解：令t（x）2xx2（x1）2+11單調(diào)遞減即y故選：A思維升華 (1)利用指數(shù)函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)比較大小或解不等式，最重要的是“同底”原則(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域，單調(diào)區(qū)間，最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練1下列說法正確的是（ ）A對(duì)任意的，必有B若，對(duì)任意的，必有 C若，對(duì)任意的，必有D若，總存在，當(dāng)時(shí)，總有【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，取，則，不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，取，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，取，則，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；故選項(xiàng)D一定正確。（選項(xiàng)D中，可知都是增函數(shù)，同時(shí)二者圖象關(guān)于直線對(duì)稱，而函數(shù)也是增函數(shù)，當(dāng)足夠大時(shí)，指數(shù)函數(shù)的增長速度最大，對(duì)數(shù)函數(shù)的增長速度最慢，故存在，當(dāng)時(shí)，總有.）2若tan=1+lgt，tan=lg，且+=，則實(shí)數(shù)t的值為（）AB1C或1D1或10【答案】C【解析】tan1+lgt，tanlg，且+，tan（+）tan，11（1+lgt）lg，（1+lgt）lg0，10t1或1，t或1故選：C3函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為ABCD【答案】C【解析】 在定義域內(nèi)單調(diào)遞減根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，只需單調(diào)遞減即可 結(jié)合定義域可得單調(diào)遞增區(qū)間為：本題正確選項(xiàng)：4設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足3a=7b，下面成立的是（）ABCD【答案】B【解析】正實(shí)數(shù)a，b滿足3a=7b，設(shè)3a=7b=t，（t0），則a=log3t，b=log7t，=log7t×logt3=log73，故選：B5已知，b=log827，則a，b，c的大小關(guān)系為（）ABCD【答案】D【解析】，log25log231，；abc故選：D6下列四類函數(shù)中，具有性質(zhì)“對(duì)任意的，函數(shù)滿足“”的是（）A冪函數(shù) B對(duì)數(shù)函數(shù) C指數(shù)函數(shù) D一次函數(shù)【答案】C【解析】在A中，冪函數(shù)不滿足性質(zhì)“對(duì)任意的，函數(shù)滿足“”，故A錯(cuò)誤；在B中，對(duì)數(shù)函數(shù)不滿足性質(zhì)“對(duì)任意的，函數(shù)滿足“”，故B錯(cuò)誤； 在C中，指數(shù)函數(shù)滿足性質(zhì)“對(duì)任意的，函數(shù)滿足“”，故C正確； 在D中，一次函數(shù)不滿足性質(zhì)“對(duì)任意的，函數(shù)滿足“”，故D錯(cuò)誤 故選：C7計(jì)算：A1B2C3D4【答案】B【解析】本題正確選項(xiàng)：8已知是定義在上奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則ABCD【答案】A【解析】由題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則，故選A.9關(guān)于x的函數(shù)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是ABCD【答案】C【解析】函數(shù)上為減函數(shù)，則上為增函數(shù)，且在上大于0恒成立則，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：C10成立的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解：lnx1xex3xe，xe推不出x3，x3是lnx1成立的充分不必要條件故選：A11已知，則（ ）ABCD【答案】C【解析】,故故選：C12已知實(shí)數(shù)，則的大小關(guān)系是（ ）ABCD【答案】D【解析】本題正確選項(xiàng)：13已知，則_【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所?故答案為14若函數(shù)_【答案】6【解析】由題故答案為615設(shè)函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則實(shí)數(shù)_【答案】【解析】函數(shù)yf（x）的圖象與的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱，設(shè)f（x）上任意一點(diǎn)為（x，y），則（x，y）關(guān)于直線yx對(duì)稱的點(diǎn)為（y，x），把（y，x）代入，得x，f（x）log3（-x）+a，f（3）+f（）4，1+a1+a4，解得a2故答案為216 _【答案】2【解析】由題意17計(jì)算下列各式的值：（）；（）【答案】（）；（）【解析】（）原式；（）原式18已知函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；是否存在實(shí)數(shù)a，使的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由【答案】（I）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（II）存在實(shí)數(shù)，使的最小值為0.【解析】，可得函數(shù)真數(shù)為函數(shù)定義域?yàn)榱羁傻茫寒?dāng)時(shí)，t為關(guān)于x的增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，t為關(guān)于x的減函數(shù)底數(shù)為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使的最小值為0，由于底數(shù)為，可得真數(shù)恒成立，且真數(shù)t的最小值恰好是1，即a為正數(shù)，且當(dāng)時(shí)，t值為1因此存在實(shí)數(shù)，使的最小值為019已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)判斷函數(shù)的奇偶性并求其值域；若關(guān)于x的方程上有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍【答案】（）； （）.【解析】函數(shù)的圖象過點(diǎn)即： （）則的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且故為偶函數(shù)又由 故，即和值域?yàn)椋ǎ┤絷P(guān)于的方程上有解即，即上有解即上有解由對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：當(dāng)時(shí)，取最小值；當(dāng)時(shí)，取最大值故實(shí)數(shù)的取值范圍是20已知函數(shù)（I）若函數(shù)，求函數(shù)的定義域；（II）求不等式的解集.【答案】（I）（II）見解析【解析】（I）由得，由，取交集得到，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋↖I）由得，當(dāng)時(shí)，有 得，得由（I）知，所以，當(dāng)時(shí)，有 得由（I）知，所以，綜上，解集為（2，3）.能力提升訓(xùn)練1若，則( )ABCD【答案】B【解析】因?yàn)樯线f增，又，所以.故選：B2若，則下列不等式成立的是( )A BC D【答案】A【解析】由可得，又，所以，綜上，可得故選A3在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f（x）（x0），g（x）的圖象可能是（ ）A BC D【答案】D【解析】解：實(shí)數(shù)a0且a1，函數(shù)f（x）xa（x0）是上增函數(shù)，故排除A；當(dāng)a1時(shí)，在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f（x）xa（x0）是下凹增函數(shù)，g（x）logax的是增函數(shù)，觀察四個(gè)選項(xiàng)，沒有符合條件選項(xiàng)；當(dāng)0a1時(shí)，在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f（x）xa（x0）是增函數(shù)，g（x）logax是減函數(shù)，由此排除B和C，符合條件的選項(xiàng)只有D故選：D4設(shè)則（ ）A BC D【答案】D【解析】上單調(diào)遞增，即又又 本題正確選項(xiàng)：5已知實(shí)數(shù)滿足，且，則A B2 C4 D8【答案】D【解析】實(shí)數(shù)滿足，故，又由得：，解得：，或舍去，故，故選D6函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 （ ）A B C D【答案】D【解析】由x22x80得：x（，2）（4，+），令tx22x8，則ylnt，x（，2）時(shí)，tx22x8為減函數(shù)；x（4，+）時(shí)，tx22x8為增函數(shù)；ylnt為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）ln（x22x8）的單調(diào)遞增區(qū)間是（4，+），故選：D7記函數(shù)的定義域?yàn)镸，的定義域?yàn)镹.（1）求M；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）定義域要求： 即：（2）定義域要求： 即：若，則 即：8已知.（1）若，求t的值；（2）當(dāng)，且有最小值2時(shí)，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）即（2）， 又單調(diào)遞增， 當(dāng)，解得 當(dāng)， 解得（舍去） 所以 (3），即 ，依題意有 而函數(shù) 因?yàn)椋?9設(shè)函數(shù)值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【答案】（1）； （2）.【解析】函數(shù)設(shè)函數(shù)，值域?yàn)镽，是函數(shù)的值域的子集；當(dāng)時(shí)，可得，其值域?yàn)镽，滿足題意；當(dāng)時(shí)，則，即，解得：綜上可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是；，即當(dāng)時(shí)，可得恒成立，即函數(shù)恒成立，其對(duì)稱軸即可可得：解得：當(dāng)時(shí)，可得恒成立，即恒成立，可得：，即，令，則，當(dāng)時(shí)，得綜上可得：實(shí)數(shù)m的取值范圍是10已知函數(shù)求函數(shù)的定義域；求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】，或.【解析】對(duì)于函數(shù)，應(yīng)有，求得，或，故該函數(shù)的定義域?yàn)?，或，即，即，求得，即?shí)數(shù)x的取值范圍為22