課時(shí)跟蹤練(五十四)A組基礎(chǔ)鞏固1(2019·黃山模擬)若拋物線y28x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為10，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A(8，8) B(8，8)C(8，±8) D(8，±8)解析：設(shè)P(xP，yP)，因?yàn)辄c(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線x2的距離，所以xP8，則yP±8，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8，±8)故選C.答案：C2O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|4，則POF的面積為()A2 B2 C2 D4解析：如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，由|PF|x04，得x03，代入拋物線方程得，y4×324，所以|y0|2，所以SPOF|OF|y0|××22.答案：C3(2019·茂名模擬)若動(dòng)圓的圓心在拋物線yx2上，且與直經(jīng)y30相切，則此圓恒過定點(diǎn)()A(0，2) B(0，3)C(0，3) D(0，6)解析：直線y30是拋物線x212y的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知拋物線上的點(diǎn)到直線y3的距離與到焦點(diǎn)(0，3)的距離相等，所以此圓恒過定點(diǎn)(0，3)答案：C4(2019·河南百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，且|MO|MF|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則·()A B. C. D解析：不妨設(shè)M(m，)(m>0)，易知拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，因?yàn)閨MO|MF|，所以解得m，p2，所以，所以·2.故選A.答案：A5(2019·長沙模擬)已知點(diǎn)P(x0，y0)是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是圓C：(x2)2(y4)21上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則x0|PQ|的最小值為()A21 B2C3 D4解析：設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)F(1，0)，過點(diǎn)P(x0，y0)作準(zhǔn)線l：x1的垂線，垂足為N，則x0|PQ|PN|PQ|1|PF|PQ|1|CF|22523，當(dāng)且僅當(dāng)C，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線且點(diǎn)Q在線段CF上時(shí)取等號(hào)，則x0|PQ|的最小值是3，故選C.答案：C6(2019·福州模擬)函數(shù)yax1(a0且a1)的圖象恒過點(diǎn)P，則焦點(diǎn)在x軸上且過點(diǎn)P的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_解析：設(shè)拋物線的方程為y2mx(m0)，由題意知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)，代入y2mx，可得m1，所以焦點(diǎn)在x軸上且過點(diǎn)P的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2x.答案：y2x7(2019·玉溪模擬)已知F是拋物線yx2的焦點(diǎn)，M、N是該拋物線上的兩點(diǎn)，|MF|NF|3，則線段MN的中點(diǎn)到x軸的距離為_解析：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為y，過M，N作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，則|MM|MF|，|NN|NF|，所以|MM|NN|MF|NF|3，設(shè)線段MN的中點(diǎn)為P，過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為P，則|PP|，所以線段MN的中點(diǎn)P到x軸的距離為|PP|.答案：8過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F作斜率大于0的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)(A在B的上方)，且l與準(zhǔn)線交于點(diǎn)C，若4，則_解析：根據(jù)題意，設(shè)|AF|a，|BF|b，過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，則有|BF|BN|b，|AF|AM|a，因?yàn)?，所以|CB|4|BF|，即|CB|4|BN|，又BNAM，所以|CA|4|AM|，即4bba4a，變形可得，即.答案：9已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M.(1)求拋物線的方程；(2)若過M作MNFA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)解：(1)拋物線y22px的準(zhǔn)線為x，于是45，所以p2，所以拋物線方程為y24x.(2)由(1)知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，4)，由題意得B(0，4)，M(0，2)又因?yàn)镕(1，0)，所以kFA.因?yàn)镸NFA，所以kMN，所以FA的方程為y(x1)，MN的方程為yx2，由聯(lián)立得x，y，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為.10已知過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)兩點(diǎn)，且|AB|9.(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值解：(1)直線AB的方程是y2，與y22px聯(lián)立，從而有4x25pxp20，所以x1x2，由拋物線定義得|AB|x1x2p9，所以p4，從而拋物線方程是y28x.(2)由(1)知p4，4x25pxp20可簡化為x25x40，又x1x2，從而x11，x24，y12，y24，從而A(1，2)，B(4，4)設(shè)(x3，y3)(1，2)(4，4)(41，42)，又y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.B組素養(yǎng)提升11(2019·太原模擬)拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，設(shè)A，B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，|AF|BF|AB|，則AFB的最大值為()A. B. C. D.解析：設(shè)|AF|m，|BF|n，因?yàn)閨AF|BF|AB|，所以|AB|2，所以mn|AB|2，在AFB中，由余弦定理得cos AFB，所以AFB的最大值為.故選D.答案：D12(2017·全國卷)過拋物線C：y24x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上，且MNl，則M到直線NF的距離為()A. B2 C2 D3解析：拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x1.由直線方程的點(diǎn)斜式可得直線MF的方程為y(x1)聯(lián)立得方程組解得或因?yàn)辄c(diǎn)M在x軸的上方，所以M(3，2)因?yàn)镸Nl，所以N(1，2)所以|NF|4，|MF|MN|4.所以MNF是邊長為4的等邊三角形所以點(diǎn)M到直線NF的距離為2.故選C.答案：C13(2019·衡水中學(xué)月考)已知直線l：ykxt與圓：x2(y1)21相切，且與拋物線C：x24y交于不同的兩點(diǎn)M，N，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_解析：因?yàn)橹本€l與圓相切，所以1k2t22t.再把直線l的方程代入拋物線方程并整理得x24kx4t0，于是16k216t16(t22t)16t16t(t3)>0，解得t>0或t<3.答案：t>0或t<314拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)(1)若2，求直線AB的斜率；(2)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值解：(1)依題意知F(1，0)，設(shè)直線AB的方程為xmy1.將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得y24my40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因?yàn)?，所以y12y2.聯(lián)立上述三式，消去y1，y2，得m±.所以直線AB的斜率是±2.(2)由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得M是線段OC的中點(diǎn)，從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于2SAOB.因?yàn)?SAOB2×·|OF|·|y1y2|4，所以當(dāng)m0時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值是4.7