課時(shí)跟蹤練(四十六)A組基礎(chǔ)鞏固1(2019·黃山模擬)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD底面ABCD，且PAD是邊長(zhǎng)的2的等邊三角形，PC，M在PC上，且PA平面MBD.(1)求證：M是PC的中點(diǎn)；(2)求多面體PABMD的體積(1)證明：連接AC交BD于點(diǎn)E，連接ME.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以E是AC的中點(diǎn)又PA平面MBD，且ME是平面PAC與平面MDB的交線，所以PAME，所以M是PC的中點(diǎn)(2)解：取AD中點(diǎn)O，連接OC，PO，則POAD，又平面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD，因?yàn)镺C平面ABCD，所以POOC，在RtPOC中，PO，PC，則OC，所以CD3，所以VP-ABCD×2×3×2，由(1)知M到平面ABCD的距離等于點(diǎn)P到平面ABCD的距離的一半，為，所以VMBCD××2×3×，所以V多面體PABMD2.2如圖，直角三角形ABC中，A60°，沿斜邊AC上的高BD將ABD折起到PBD的位置，點(diǎn)E在線段CD上(1)求證：PEBD；(2)過(guò)點(diǎn)D作DMBC交BC于點(diǎn)M，點(diǎn)N為PB的中點(diǎn)，若PE平面DMN，求的值(1)證明：因?yàn)锽DPD，BDCD，且PDCDD，PD，CD平面PCD，所以BD平面PCD.又PE平面PCD，所以BDPE.(2)解：由題意，得BMBC.取BC的中點(diǎn)F，連接PF、EF，則PFMN.又PF平面DMN，MN平面DMN，所以PF平面DMN.由條件PE平面DMN，PEPFP，所以平面PEF平面DMN，所以EFDM，所以.3.(2017·全國(guó)卷)如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.(1)證明：ACBD；(2)已知ACD是直角三角形，ABBD，若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且AEEC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比(1)證明：取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO.因?yàn)锳DCD，所以ACDO.又由于ABC是正三角形，所以ACBO.從而AC平面DOB，故ACBD.(2)解：如圖所示，連接EO，由(1)及題設(shè)知ADC90°，所以DOAO.在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90°.由題設(shè)知AEC為直角三角形，所以EOAC.又ABC是正三角形，且ABBD，所以EOBD.故E為BD的中點(diǎn)，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為11.4(2019·北京模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PAPD，PAAB，N是棱AD的中點(diǎn)(1)求證：平面PAB平面PAD.(2)求證：PN平面ABCD.(3)在棱BC上是否存在動(dòng)點(diǎn)E，使得BN平面DEP？并說(shuō)明理由(1)證明：在矩形ABCD中，ABAD.又因?yàn)锳BPA且PAADA，所以AB平面PAD.又因?yàn)锳B平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)證明：在PAD中，PAPD，N是棱AD的中點(diǎn)，所以PNAD.由(1)知AB平面PAD，所以ABPN.又因?yàn)锳BADA，所以PN平面ABCD.(3)解：在棱BC上存在點(diǎn)E，使得BN平面DEP，此時(shí)E為BC的中點(diǎn)證明如下：取BC中點(diǎn)E，連接PE，DE.在矩形ABCD中，NDBE，NDBE.所以四邊形BNDE是平行四邊形，則BNDE.又因?yàn)锽N平面DEP，DE平面DEP.所以BN平面DEP.B組素養(yǎng)提升5(2019·鄭州模擬)在如圖所示的五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，且DAB60°，EAEDAB2EF2，EFAB，M為BC中點(diǎn)(1)求證：FM平面BDE；(2)若平面ADE平面ABCD，求F到平面BDE的距離(1)證明：取BD中點(diǎn)O，連接OM，OE，因?yàn)镺，M分別為BD，BC中點(diǎn)，所以O(shè)MCD，且OMCD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以CDAB，因?yàn)镋FAB，所以CDEF，又ABCD2EF2，所以EFCD.所以O(shè)MEF，且OMEF，所以四邊形OMFE為平行四邊形，所以FMOE.又OE平面BDE且FM平面BDE，所以FM平面BDE.(2)解：由(1)得FM平面BDE，所以F到平面BDE的距離等于M到平面BDE的距離取AD的中點(diǎn)H，連接EH，BH，因?yàn)镋AED，所以EHAD，因?yàn)槠矫鍭DE平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD，所以EH平面ABCD，因?yàn)锽H平面ABCD，所以EHBH.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ABAD2，又BAD60°，所以ABD是等邊三角形，所以BH.易得EH.在RtEHB中，因?yàn)镋HBH，所以BE，由已知，知ABD是等邊三角形，所以BDABED2，所以BDE中斜邊BE上的高為 ，所以SBDE×× ，設(shè)F到平面BDE的距離為h，連接DM，因?yàn)镾BDM××4，所以由VEBDMVMBDE，得×××h×，解得h.即F到平面BDE的距離為.6.(2018·天津卷)如圖，在四面體ABCD中，ABC是等邊三角形，平面ABC平面ABD，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB2，AD2，BAD90°.(1)求證：ADBC；(2)求異面直線BC與MD所成角的余弦值；(3)求直線CD與平面ABD所成角的正弦值(1)證明：由平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，ADAB，可得AD平面ABC，故ADBC.(2)解：取棱AC的中點(diǎn)N，連接MN，ND.又因?yàn)镸為棱AB的中點(diǎn)，所以MNBC.所以DMN(或其補(bǔ)角)為異面直線BC與MD所成的角在RtDAN中，AM1，故DM.因?yàn)锳D平面ABC，所以ADAC.在RtDAM中，AN1，故DN.在等腰三角形DMN中，MN1，可得cosDMN.所以，異面直線BC與MD所成角的余弦值為.(3)解：連接CM.因?yàn)锳BC為等邊三角形，M為邊AB的中點(diǎn)，故CMAB，CM.又因?yàn)槠矫鍭BC平面ABD，而CM平面ABC，故CM平面ABD，所以，CDM為直線CD與平面ABD所成的角在RtCAD中，CD4.在RtCMD中，sinCDM.所以，直線CD與平面ABD所成角的正弦值為.7