第3講 解析幾何的綜合問題專題復習檢測A卷1(2018年北京海淀區(qū)校級三模)若雙曲線C1：1(a0，b0)與C2：1的離心率分別為e1和e2，則下列說法正確的是()AeeB1CC1與C2的漸近線相同DC1與C2的圖象有8個公共點【答案】A【解析】由題意，e11，e21，顯然ee.故選A2(2019年河南焦作模擬)設P是橢圓1上一點，M，N分別是兩圓(x4)2y21和(x4)2y21上的點，則|PM|PN|的最小值、最大值分別為()A9,12B8,11C8,12D10,12【答案】C【解析】如圖，由橢圓及圓的方程可知兩圓圓心分別為橢圓的兩個焦點，由橢圓定義知|PA|PB|2a10.連接PA，PB分別與圓相交于M，N兩點，此時|PM|PN|最小，最小值為|PA|PB|2R8；連接PA，PB并延長，分別與圓相交于M，N兩點，此時|PM|PN|最大，最大值為|PA|PB|2R12.故選C3已知雙曲線C：1(a0，b0)右支上非頂點的一點A關于原點O的對稱點為B，F為其右焦點，若AFFB，設ABF且，則雙曲線離心率的取值范圍是()A(，2B(1，C(，)D(2，)【答案】C【解析】如圖所示，設雙曲線的左焦點為F，連接AF，BF.AFFB，四邊形AFBF為矩形因此|AB|FF|2c.則|AF|2csin ，|BF|2ccos .|AF|AF|2a.2ccos 2csin 2a，即c(cos sin )a，則e.，則cos，cos，則，即e，故雙曲線離心率的取值范圍是(，)故選C4已知點A(2,3)在拋物線C：y22px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為()ABCD【答案】D【解析】根據已知條件，得2，所以p4.從而拋物線的方程為y28x，其焦點為F(2,0)設切點B(x0，y0)，由題意，在第一象限內y28xy2.由導數的幾何意義可知切線的斜率為kABy，而切線的斜率也可以為kAB.又因為切點B(x0，y0)在曲線上，所以y8x0.由上述條件解得即B(8,8)從而直線BF的斜率為.故選D5(2018年黑龍江綏化檢測)已知圓C1：x2y24ax4a240和圓C2：x2y22byb210只有一條公切線，若a，bR且ab0，則的最小值為()A2B4 C8 D9【答案】D【解析】圓C1的標準方程為(x2a)2y24，其圓心為(2a,0)，半徑為2；圓C2的標準方程為x2(yb)21，其圓心為(0，b)，半徑為1.圓C1和圓C2只有一條公切線，圓C1與圓C2相內切，21，得4a2b21.(4a2b2)5529，當且僅當，且4a2b21，即a2，b2時等號成立的最小值為9.6(2018年浙江紹興檢測)雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個區(qū)域(不含邊界)，若點(2,1)在“右”區(qū)域內，則雙曲線離心率e的取值范圍是_【答案】【解析】雙曲線1的漸近線方程為y±x，且“右”區(qū)域是由不等式組所確定又點(2,1)在“右”區(qū)域內，1<，即>.雙曲線的離心率e.7已知實數x，y滿足方程(xa1)2(y1)21，當0yb(bR)時，由此方程可以確定一個偶函數yf(x)，則拋物線yx2的焦點F到點(a，b)的軌跡上點的距離最大值為_【答案】【解析】由題意可得圓的方程一定關于y軸對稱，故由a10，求得a1.由圓的幾何性質知，只有當y1時，才能保證此圓的方程確定的函數是一個偶函數，故0b1.由此知點(a，b)的軌跡是一線段，其橫坐標是1，縱坐標屬于(0,1，又拋物線yx2，故其焦點坐標為，由此可以判斷出焦點F到點(a，b)的軌跡上點的距離最大值是.8(2018年湖北襄陽模擬)已知直線l：xym0與雙曲線C：1(a0，b0)右支交于M，N兩點，點M在第一象限，若點Q滿足0(其中O為坐標原點)，且MNQ30°，則雙曲線C的漸近線方程為_【答案】y±x【解析】由題意可知M，Q關于原點對稱，設M(m，n)，N(u，v)，則Q(m，n)，代入雙曲線方程，得1，1，兩式相減，得，kMN·kQN·.kMN，kQNtan 150°，1，即ab.雙曲線C的漸近線方程為y±x.9(2019年重慶期末)如圖，焦距為2的橢圓E的兩個頂點分別為A，B，且與n(，1)共線(1)求橢圓E的標準方程；(2)若直線ykxm與橢圓E有兩個不同的交點P和Q，當k變化時，原點O總在以PQ為直徑的圓的內部，求實數m的取值范圍【解析】(1)因為2c2，所以c1.又(a，b)，且n，所以ba，所以2b2b21，所以b21，a22.所以橢圓E的標準方程為y21.(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把ykxm代入y21，消去y，得(2k21)x24kmx2m220.所以x1x2，x1x2，16k28m28>0，即m2<2k21.(*)因為原點O總在以PQ為直徑的圓的內部，所以·<0，即x1x2y1y2<0.又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2，由<0，得m2<k2.依題意且滿足(*)得m2<，故實數m的取值范圍是.10(2018年安徽蚌埠二模)在平面直角坐標系xOy中，動圓M過定點F(1,0)，且與直線x1相切，曲線C為圓心M的軌跡(1)求曲線C的方程；(2)過(2,0)的直線l與C有兩個不同的交點A，B，已知點Q(2,0)，QA，QB與y軸分別交于M(0，m)，N(0，n)兩點，求證：mn為定值【解析】(1)由題意知圓心M的軌跡是以(1,0)為焦點，x1為準線的拋物線，圓心M的軌跡方程為y24x.(2)證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB：xty2，與曲線C：y24x聯立，化簡得y24ty80.y1y24t，y1y28.直線QA：y(x2)，令x0，得m.同理可得n.mn0.mn為定值B卷11(2019年浙江杭州模擬)F為橢圓y21的右焦點，第一象限內的點M在橢圓上，若MFx軸，直線MN與圓x2y21相切于第四象限內的點N，則|NF|等于()ABCD【答案】A【解析】MFx軸，F為橢圓y21的右焦點，F(2,0)，M.設lMN：yk(x2)，N(x，y)，則O到lMN的距離d1，解得k或k(舍去)聯立解得即N，|NF|.12(2018年云南昆明模擬)已知拋物線y28x，過點M(1，0)的直線交拋物線于A，B兩點，F為拋物線的焦點，若|AF|6，O為坐標原點，則OAB的面積是()AB3CD5【答案】C【解析】拋物線y28x的準線方程為x2，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，過點A作準線的垂線AH，如圖由拋物線的定義可知|AF|AH|6，x126.x14，y14.設直線AB的方程為yk(x1)(k0)，由得k2x2(2k28)xk20，x1x21，x2.y2.OAB的面積SOABSAOMSBOM|y1|×1|y2|×1×(4).13若F1，F2分別為雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點，以線段F1F2為直徑的圓交雙曲線的右支于點P，若PF1F2，則雙曲線離心率為_(結果用表示)【答案】【解析】依題意，知PF1PF2，|PF1|2c·cos ，|PF2|2c·sin .e.14(2019年山東威海模擬)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為B，Q為拋物線y212x的焦點，且·0,20.(1)求橢圓C的標準方程；(2)過定點P(0,2)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(M在P，N之間)，設直線l的斜率為k(k>0)，在x軸上是否存在點A(m,0)，使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由【解析】(1)由已知Q(3,0)，F1BQB，|QF1|4c3c，所以c1.在RtF1BQ中，F2為線段F1Q的中點，故|BF2|2c2，所以a2.所以橢圓C的標準方程為1.(2)設直線l的方程為ykx2(k>0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，取MN的中點為E(x0，y0)假設存在點A(m,0)使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形，則AEMN.由化簡，得(4k23)x216kx40，>0k2>.又k>0，所以k>.因為x1x2，所以x0，y0kx02.因為AEMN，所以kAE，即，整理得m.因為k時，4k4，所以m.- 8 -