小題專項訓(xùn)練7平面向量一、選擇題1(2019年福建廈門模擬)已知點(diǎn)A(1,1)，B(0,2)，若向量(2,3)，則向量()A(3，2)B(2，2)C(3，2)D(3,2)【答案】D【解析】由A(1,1)，B(0,2)，可得(1,1)，所以(2,3)(1,1)(3,2)故選D2平面四邊形ABCD中，0，()·0，則四邊形ABCD是()A矩形B正方形C菱形 D梯形【答案】C【解析】因為0，所以，四邊形ABCD是平行四邊形又()··0，則四邊形對角線互相垂直，所以四邊形ABCD是菱形3(2018年河北石家莊模擬)已知向量a(2,1)，b(1，m)，c(2,4)，且(2a5b)c，則實數(shù)m()ABC D【答案】B【解析】因為2a5b(4,2)(5,5m)(1,25m)又(2a5b)c，所以(2a5b)·c0，即(1,25m)·(2,4)24(25m)0，解得m.4已知平面向量a，b的夾角為，且a·(ab)8，|a|2，則|b|等于()AB2 C3D4【答案】D【解析】因為a·(ab)a·aa·b8，即|a|2|a|b|cosa，b8，所以42|b|×8，解得|b|4.5(2019年廣東潮州模擬)已知向量a，b為單位向量，且ab在a的方向上的投影為1，則向量a與b的夾角為()ABCD【答案】A【解析】設(shè)向量a，b的夾角為，由a，b為單位向量可得|a|b|1.ab在a方向上的投影為1cos ，所以1cos 1，得cos .又0，所以.故選A6(2019年遼寧模擬)趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為周髀算經(jīng)一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的)類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設(shè)DF2AF，則()ABCD【答案】D【解析】由題圖的特征及DF2AF，易得，所以，.所以.所以().所以.故選D7已知向量a(2,1)，b(1，k)，且a與b的夾角為銳角，則實數(shù)k的取值范圍是()ABC(2，)D2，)【答案】B【解析】當(dāng)a，b共線時，2k10，解得k，此時a，b方向相同，夾角為0，所以要使a與b的夾角為銳角，則有a·b>0且a，b不共線由a·b2k>0，得k>2.又k，故實數(shù)k的取值范圍是.故選B8(2018年安徽合肥校級聯(lián)考)在邊長為1的正三角形ABC中，D，E是邊BC的兩個三等分點(diǎn)(D靠近點(diǎn)B)，則·等于()AB CD【答案】D【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，由正三角形的性質(zhì)易得A，D，E，··.9已知向量(3,1)，(1，3)，mn (m>0，n>0)，若mn1，則|的最小值為()ABCD【答案】C【解析】由(3,1)，(1,3)，得mn(3mn，m3n)mn1(m>0，n>0)，n1m且0<m<1.(12m,4m3)，則|(0<m<1)當(dāng)m時，|min.10(2019年湖南長沙模擬)在ABC中，A90°，AB1，AC2，設(shè)點(diǎn)D，E滿足，(1)(R)，若·5，則()A2B3CD【答案】B【解析】由題意得(1)，所以·(1)22(12)A·.又A90°，則·0.而1，2，所以4(1)5，解得3.故選B11已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且向量a，b不共線，則下列說法錯誤的是()A|a|b|1B(ab)(ab)Ca與b的夾角等于Da與b在ab方向上的投影相等【答案】C【解析】由夾角公式可得cosa，ba·bcos cos sin sin cos()，當(dāng)0，時，a，b，當(dāng)0，時，a，b，C錯誤易得A，B，D正確故選C12(2018年四川雅安模擬)如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，DCAB，ADDC1，AB2，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧DEM上變動，若，其中，R，則2的取值范圍是()A，1B，CD【答案】A【解析】以A為原點(diǎn)，AB，AD分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，E(1,0)，D(0,1)，F(xiàn)，P(cos ，sin )(90°90°)，則(cos ，sin )，(1,1)，.，cos ，sin ，解得(3sin cos )，(cos sin )2sin cos sin(45°)90°90°，sin(45°)1.故選A二、填空題13已知向量a(2,1)，b(1，2)，若m an b(9，8)(m，nR)，則mn_.【答案】3【解析】由a(2,1)，b(1，2)，可得m an b(2mn，m2n)(9，8)，則2mn9，m2n8，解得m2，n5，故mn3.14已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，a與b的夾角的余弦值為sin ，則b·(2ab)的值為_【答案】18【解析】因為a與b的夾角的余弦值為sin ，所以a·b3，b·(2ab)2a·bb218.15已知A，B，C為單位圓O上任意三點(diǎn)，·0，·，·，若OA的中點(diǎn)為E，則·的值為_【答案】【解析】由題意，設(shè)B(1,0)，C(0,1)，A(x，y)，則(x，y)，·x，·y.A，OA的中點(diǎn)為E.··(1，1)1.16(2018年江蘇南京模擬)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上ABC的三個頂點(diǎn)，B，C分別是邊AC，AB的對角，給出以下命題：若點(diǎn)P滿足，則ABC的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；若點(diǎn)P滿足(>0)，則ABC的內(nèi)心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；若點(diǎn)P滿足(>0)，則ABC的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；若點(diǎn)P滿足(>0)，則ABC的垂心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中其中正確命題的序號是_【答案】【解析】對于，由，知0，故點(diǎn)P是ABC的重心，錯誤；對于，由，知，與分別表示與方向上的單位向量，故AP平分BAC，ABC的內(nèi)心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中，正確；對于，由，知，在ABC中，|sin B，|sin C都表示BC邊上的高h(yuǎn)，故()(其中D為BC的中點(diǎn))，即點(diǎn)P在BC邊上的中線所在直線上，ABC的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中，正確；對于，由已知得，則··，得·0，即點(diǎn)P在邊BC上的高線所在直線上，ABC的垂心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中，正確綜上，正確- 7 -