課下層級(jí)訓(xùn)練(二十五)正弦定理和余弦定理的應(yīng)用A級(jí)基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練1如圖，兩座燈塔A和B與河岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10°B北偏西10°C南偏東80°D南偏西80°【答案】D由條件及題圖可知，AB40°，又BCD60°，所以CBD30°，所以DBA10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.2(2019·湖北十堰調(diào)研)已知A，B兩地間的距離為10 km，B，C兩地間的距離為20 km，現(xiàn)測(cè)得ABC120°，則A，C兩地間的距離為()A10 km B10 kmC10 kmD10 km【答案】D如圖所示，由余弦定理可得，AC21004002×10×20×cos 120°700，AC10.3(2019·河南鄭州月考)如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得BCD15°，BDC30°，CD30，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于() A5B15C5D15【答案】D在BCD中，CBD180°15°30°135°. 由正弦定理得，所以BC15. 在RtABC中，ABBCtanACB15×15.4一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40 n mile的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A10 n mileB10 n mileC20 n mileD20 n mile【答案】A畫(huà)出示意圖如圖所示，易知，在ABC中，AB20 n mile，CAB30°，ACB45°，根據(jù)正弦定理得，解得BC10 n mile.5如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m,50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()A30°B45°C60°D75°【答案】B依題意可得AD20，AC30，又CD50，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0°<CAD<180°，所以CAD45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.6輪船A和輪船B在中午12時(shí)同時(shí)離開(kāi)海港C，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25 n mile/h,15 n mile/h，則下午2時(shí)兩船之間的距離是_n mile.【答案】70設(shè)兩船之間的距離為d，則d25023022×50×30×cos 120°4 900，d70，即兩船相距70 n mile.7一船以每小時(shí)15 km的速度向正東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60°方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向，這時(shí)船與燈塔的距離為_(kāi)km.【答案】30如圖所示，依題意有：AB15×460，MAB30°，AMB45°，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30(km)8(2018·福建福州質(zhì)檢)如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測(cè)到，一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，且BAC135°.若山高AD100 m，汽車從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時(shí)14 s，則這輛汽車的速度為_(kāi) m/s(精確到0.1)參考數(shù)據(jù)：1.414，2.236.【答案】22.6由題意可得AB200，AC100，在ABC中，由余弦定理可得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC105，則BC100141.4×2.236，又歷時(shí)14 s，所以速度為22.6 m/s.9(2019·山西監(jiān)測(cè))如圖，點(diǎn)A，B，C在同一水平面上，AC4，CB6. 現(xiàn)要在點(diǎn)C處搭建一個(gè)觀測(cè)站CD，點(diǎn)D在頂端(1)原計(jì)劃CD為鉛垂線方向，45°，求CD的長(zhǎng)；(2)搭建完成后，發(fā)現(xiàn)CD與鉛垂線方向有偏差，并測(cè)得30°，53°，求CD2.(結(jié)果精確到1)(本題參考數(shù)據(jù)：sin 97°1，cos 53°0.6)【答案】解(1)CD為鉛垂線方向，點(diǎn)D在頂端，CDAB 又45°，CDAC4.(2)在ABD中，53°30°83°，ABACCB4610，ADB180°83°97°，由得AD5.在ACD中，CD2AD2AC22AD·ACcos 52422×5×4×cos 53°17.10已知在東西方向上有M，N兩座小山，山頂各有一個(gè)發(fā)射塔A，B，塔頂A，B的海拔高度分別為AM100 m和BN200 m，一測(cè)量車在小山M的正南方向的點(diǎn)P處測(cè)得發(fā)射塔頂A的仰角為30°，該測(cè)量車向北偏西60°方向行駛了100 m后到達(dá)點(diǎn)Q，在點(diǎn)Q處測(cè)得發(fā)射塔頂B處的仰角為，且BQA，經(jīng)測(cè)量tan 2，求兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離【答案】解在RtAMP中，APM30°，AM100，PM100，在PQM中，QPM60°，又PQ100，PQM為等邊三角形，QM100.在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200.在RtBNQ中，tan 2，BN200，BQ100，cos .在BQA中，BA2BQ2AQ22BQ·AQcos (100)2，BA100.即兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離是100 m.B級(jí)能力提升訓(xùn)練11(2019·廣東廣州調(diào)研)如圖所示長(zhǎng)為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上，另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上，石堤的傾斜角為，則坡度值tan 等于()ABCD【答案】A由題意，可得在ABC中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m，且ACB.由余弦定理，可得AB2AC2BC22×AC×BC×cosACB，即3.521.422.822×1.4×2.8×cos()，解得cos ，所以sin ，所以tan .12(2019·湖北武昌調(diào)研)如圖，據(jù)氣象部門預(yù)報(bào)，在距離某碼頭南偏東45°方向600 km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心450 km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，則該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為()A14 hB15 hC16 hD17 h【答案】B記現(xiàn)在熱帶風(fēng)暴中心的位置為點(diǎn)A，t小時(shí)后熱帶風(fēng)暴中心到達(dá)B點(diǎn)位置，在OAB中，OA600，AB20t，OAB45°，根據(jù)余弦定理得OB26002400t22×20t×600×，令OB24502，即4t2120t1 5750，解得t，所以該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為15(h)13(2018·福建泉州模擬)如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘若此人步行的速度為每分鐘50 m，則該扇形的半徑為_(kāi) m.【答案】50如圖，連接OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60°.由余弦定理得OC2100215022×100×150×cos 60°17 500，解得OC50.14(2018·山東臨沂期中)我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在數(shù)學(xué)九章的“田域類”中寫道：?jiǎn)柹程镆欢?，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知為田幾何意思是已知三角形沙田的三邊長(zhǎng)分別為13,14,15里，求三角形沙田的面積請(qǐng)問(wèn)此田面積為_(kāi)平方里【答案】84由題意畫(huà)出圖象：且AB13里，BC14里，AC15里，在ABC中，由余弦定理得，cos B，所以sin B，則該沙田的面積：即ABC的面積SAB·BC·sin B×13×14×84.15如圖所示，在一條海防警戒線上的點(diǎn)A，B，C處各有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)到點(diǎn)A的距離分別為20 km和50 km.某時(shí)刻，B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波信號(hào)，8 s后A，C同時(shí)接收到該聲波信號(hào)，已知聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s.(1)設(shè)A到P的距離為x km，用x表示B，C到P的距離，并求x的值；(2)求靜止目標(biāo)P到海防警戒線AC的距離【答案】解(1)依題意，有PAPCx，PBx1.5×8x12.在PAB中，AB20，cosPAB.同理，在PAC中，AC50，cosPAC.因?yàn)閏osPABcosPAC，所以，解得x31.(2)作PDAC于點(diǎn)D，在ADP中，由cosPAD，得sinPAD，所以PDPAsinPAD31×4(km)故靜止目標(biāo)P到海防警戒線AC的距離為4 km.16某高速公路旁邊B處有一棟樓房，某人在距地面100 m的32樓陽(yáng)臺(tái)A處，用望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)路上的車輛，上午11時(shí)測(cè)得一客車位于樓房北偏東15°方向上，且俯角為30°的C處，10 s后測(cè)得該客車位于樓房北偏西75°方向上，且俯角為45°的D處(假設(shè)客車勻速行駛)(1)如果此高速路段限速80 km/h，試問(wèn)該客車是否超速？(2)又經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，客車到達(dá)樓房的正西方向E處，問(wèn)此時(shí)客車距離樓房多遠(yuǎn)？【答案】解(1)在RtABC中，BAC60°，AB100 m，則BC100 m.在RtABD中，BAD45°，AB100 m，則BD100 m.在BCD中，DBC75°15°90°，則DC200 m，所以客車的速度v20 m/s72 km/h，所以該客車沒(méi)有超速(2)在RtBCD中，BCD30°，又因?yàn)镈BE15°，所以CBE105°，所以CEB45°.在BCE中，由正弦定理可知，所以EB50 m，即此時(shí)客車距樓房50 m. 7