課時(shí)跟蹤練(五十三)A組基礎(chǔ)鞏固1(2019·石家莊一模)已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(4，0)，(4，0)，則雙曲線的方程為()A.1B.1C.1 D.1解析：已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(4，0)，(4，0)，則c4，a2，b212，雙曲線方程為1，故選A.答案：A2(2019·郴州模擬)已知雙曲線1(m>0)的一個(gè)焦點(diǎn)在直線xy5上，則雙曲線的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±x Dy±x解析：由雙曲線1(m>0)的焦點(diǎn)在y軸上，且在直線xy5上，直線xy5與y軸的交點(diǎn)為(0，5)，有c5，則m925，則m16，則雙曲線的方程為1，則雙曲線的漸近線方程為y±x.故選B.答案：B3已知點(diǎn)F1(3，0)和F2(3，0)，動(dòng)點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離之差為4，則點(diǎn)P的軌跡方程為()A.1(y>0) B.1(x>0)C.1(y>0) D.1(x>0)解析：由題設(shè)知點(diǎn)P的軌跡方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支，設(shè)其方程為1(x>0，a>0，b>0)，由題設(shè)知c3，a2，b2945.所以點(diǎn)P的軌跡方程為1(x>0)答案：B4(2019·開封模擬)已知l是雙曲線C：1的一條漸近線，P是l上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若·0，則P到x軸的距離為()A. B.C2 D.解析：由題意知F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，不妨設(shè)l的方程為yx，則可設(shè)P(x0，x0)由·(x0，x0)·(x0，x0)3x60，得x0±，故P到x軸的距離為|x0|2，故選C.答案：C5(2019·深圳模擬)已知橢圓1與雙曲線1(a>0，b>0)有共同的焦點(diǎn)，且其中的一個(gè)焦點(diǎn)F到雙曲線的兩條漸近線的距離之和為2，則雙曲線的離心率為()A2 B3C. D.解析：因?yàn)闄E圓1與雙曲線1有共同的焦點(diǎn)，所以4m2m2a2b2，所以a2b24，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，(2，0)設(shè)F(2，0)，雙曲線的漸近線方程為y±x，因?yàn)榻裹c(diǎn)F到雙曲線的兩條漸近線的距離之和為2，所以2×2，所以，所以b，所以a2c2b21，所以e2，故選A.答案：A6(2019·安陽(yáng)模擬)已知方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則m的取值范圍是_解析：因?yàn)榉匠?表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，所以有解得4<m<8，則m的取值范圍為(4，8)答案：(4，8)7設(shè)雙曲線1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，則|BF2|AF2|的最小值為_解析：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，得a2，由雙曲線的定義可得|AF2|AF1|4，|BF2|BF1|4，所以|AF2|AF1|BF2|BF1|8.因?yàn)閨AF1|BF1|AB|，當(dāng)|AB|是雙曲線的通徑時(shí)，|AB|最小，所以(|AF2|BF2|)min|AB|min8810.答案：108一題多解(2017·全國(guó)卷)已知雙曲線C：1(a0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)若MAN60°，則C的離心率為_解析：法一不妨設(shè)點(diǎn)M、N在漸近線yx上，如圖，AMN為等邊三角形，且|AM|b，則A點(diǎn)到漸近線yx的距離為b，將yx變形為一般形式為bxay0，則A(a，0)到漸近線bxay0的距離d，所以b，即，所以雙曲線離心率e.法二不妨設(shè)點(diǎn)M、N在漸近線yx上，如圖，作AC垂直于MN，垂足為C，據(jù)題意知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，0)，則|AC|，在ACN中，CANMAN30°，|AN|b，所以cos CANcos 30°，所以離心率e.答案：9已知橢圓D：1與圓M：x2(y5)29，雙曲線G與橢圓D有相同焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程解：橢圓D的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(5，0)，F(xiàn)2(5，0)，因而雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c5.設(shè)雙曲線G的方程為1(a>0，b>0)，所以漸近線方程為bx±ay0且a2b225，又圓心M(0，5)到兩條漸近線的距離為r3.所以3，得a3，b4，所以雙曲線G的方程為1.10已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)(4，)點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上(1)求雙曲線的方程；(2)求證：·0；(3)求F1MF2的面積(1)解：因?yàn)閑，則雙曲線的實(shí)軸、虛軸相等所以設(shè)雙曲線方程為x2y2(0)因?yàn)檫^點(diǎn)(4，)，所以1610，即6.所以雙曲線方程為x2y26.(2)證明：因?yàn)?23，m)，(23，m)所以·(23)(23)m23m2，因?yàn)镸點(diǎn)在雙曲線上，所以9m26，即m23，所以·0.(3)解：F1MF2的底|F1F2|4.由(2)知m±.所以F1MF2的高h(yuǎn)|m|，所以SF1MF2×4×6.B組素養(yǎng)提升11(2019·河南適應(yīng)性考試)設(shè)F1、F2分別是雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小內(nèi)角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是()Ax±y0 B.x±y0Cx±2y0 D2x±y0解析：假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則所以|PF1|4a，|PF2|2a.因?yàn)閨F1F2|2c>2a，所以PF1F2中最短的邊是PF2，所以PF1F2的最小內(nèi)角為PF1F2.在PF1F2中，由余弦定理得4a216a24c22×4a×2c×cos 30°，所以c22ac3a20，所以e22e30，所以e，即，所以c23a2，所以a2b23a2，所以b22a2，所以，所以雙曲線的漸近線方程為x±y0，故選B.答案：B12(2019·黃岡模擬)已知雙曲線x21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線的離心率為e，若雙曲線上存在一點(diǎn)P使e，則·的值為()A3 B2C3 D2解析：由題意及正弦定理得e2，所以|PF1|2|PF2|，由雙曲線的定義知|PF1|PF2|2，所以|PF1|4，|PF2|2.又|F1F2|4，由余弦定理可知cos PF2F1，所以·|·|·cos PF2F12×4×2.故選B.答案：B13設(shè)雙曲線x21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若點(diǎn)P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則|PF1|PF2|的取值范圍是_解析：如圖，由已知可得a1，b，c2，從而|F1F2|4，由對(duì)稱性不妨設(shè)P在右支上，設(shè)|PF2|m，則|PF1|m2am2，由于PF1F2為銳角三角形，結(jié)合實(shí)際意義可知m需滿足解得1<m<3，又|PF1|PF2|2m2，所以2<2m2<8.答案：(2，8)14已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程為2xy0，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求此雙曲線的方程；(2)設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求AOB的面積解：(1)依題意得解得故雙曲線的方程為x21.(2)由(1)知雙曲線的漸近線方程為y±2x，設(shè)A(m，2m)，B(n，2n)，其中m0，n0，由得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入x21，整理得mn1.設(shè)AOB2，因?yàn)閠an2，則tan ，從而sin 2.又|OA|m，|OB|n，所以SAOB|OA|OB|sin 22mn2.8