課下層級(jí)訓(xùn)練(四十八)雙曲線A級(jí)基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練1已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(4,0)，(4,0)，則雙曲線的方程為()A1B1C1D1【答案】A已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(4,0)，(4,0)，則c4，a2，b212，雙曲線方程為1 .2(2019·山東菏澤月考)已知雙曲線C：1，則雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(±5,0)B(±，0)C(0，±5)D(0，±)【答案】C由方程C：1表示雙曲線，焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上，可知，a216，b29.則c2a2b225，即c5，故雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±5)3(2018·全國(guó)卷)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為()AB2CD2【答案】D由題意，得e，c2a2b2，得a2b2.又因?yàn)閍>0，b>0，所以ab，漸近線方程為x±y0，點(diǎn)(4,0)到漸近線的距離為2.4(2019·山東鄒城檢測(cè))若雙曲線1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3，4), 則此雙曲線的離心率為()ABCD【答案】A雙曲線1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，4，e .5(2019·山東青島調(diào)研)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率e2，則雙曲線C的漸近線方程為()Ay±2xBy±xCy±xDy±x【答案】D雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率e2,23，.故漸近線方程為y±x±x.6(2018·天津卷)已知雙曲線1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1d26，則雙曲線的方程為()A1B1C1D1【答案】C如圖，不妨設(shè)A在B的上方，則A，B.其中的一條漸近線為bxay0，則d1d22b6，b3又由e2，知a2b24a2，a雙曲線的方程為1.7已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線為2xy0，一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，則a_；b_【答案】12由2xy0，得y2x，所以2又c，a2b2c2，解得a1，b2.8(2018·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值為_【答案】2雙曲線的漸近線方程為bx±ay0，焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線的距離db.bc，ac，e2.9設(shè)雙曲線1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，則|BF2|AF2|的最小值為_【答案】10由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，得a2，由雙曲線的定義可得|AF2|AF1|4，|BF2|BF1|4，所以|AF2|AF1|BF2|BF1|8.因?yàn)閨AF1|BF1|AB|，當(dāng)|AB|是雙曲線的通徑時(shí)，|AB|最小，所以(|AF2|BF2|)min|AB|min8810.10已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)(4，)(1)求雙曲線的方程；(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：1·20【答案】(1)解e，可設(shè)雙曲線的方程為x2y2(0)雙曲線過點(diǎn)(4，)，1610，即6，雙曲線的方程為x2y26(2)證明證法一：由(1)可知，雙曲線中ab，c2，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1·kMF2點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，9m26，m23，故kMF1·kMF21，MF1MF2，即1·20證法二：由證法一知1(32，m)，2(23，m)，1·2(32)×(32)m23m2，點(diǎn)M在雙曲線上，9m26，即m230，1·20B級(jí)能力提升訓(xùn)練11(2018·全國(guó)卷)已知雙曲線C：y21，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若OMN為直角三角形，則|MN|()AB3C2D4【答案】B由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y±x設(shè)兩漸近線夾角為2，則有tan ，所以30°所以MON260°又OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對(duì)稱性，不妨設(shè)MNON，如圖所示在RtONF中，|OF|2，則|ON|則在RtOMN中，|MN|ON|·tan 2·tan 60°3.12(2019·湖北武漢調(diào)研)已知不等式3x2y2>0所表示的平面區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)P(x，y)到直線yx和直線yx的垂線段分別為PA，PB，若PAB的面積為，則點(diǎn)P軌跡的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)可以是()A(2,0)B(3,0)C(0,2)D(0,3)【答案】A直線yx與yx的夾角為60°，且3x2y2>0，PA與PB的夾角為120°，|PA|PB|·，SPAB|PA|PB|·sin 120°(3x2y2)，即P點(diǎn)的軌跡方程為x21，半焦距為c2，焦點(diǎn)坐標(biāo)可以為(2,0)13(2017·全國(guó)卷)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)若MAN60°，則C的離心率為_【答案】如圖，由題意知點(diǎn)A(a,0)，雙曲線的一條漸近線l的方程為yx，即bxay0，點(diǎn)A到l的距離d又MAN60°，MANAb，MAN為等邊三角形，dMAb，即b，a23b2，e.14已知雙曲線x21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線的離心率為e，若雙曲線上存在一點(diǎn)P使e，則·_【答案】2由題意及正弦定理得e2，|PF1|2|PF2|，由雙曲線的定義知|PF1|PF2|2，|PF1|4，|PF2|2.又|F1F2|4，由余弦定理可知cosPF2F1，·|·|cosPF2F12×4×2.15已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，點(diǎn)(，0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)(1)求雙曲線的方程；(2)經(jīng)過雙曲線右焦點(diǎn)F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，求|AB|【答案】解(1)雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，點(diǎn)(，0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，解得c3，b，雙曲線的方程為1(2)雙曲線1的右焦點(diǎn)為F2(3,0)，經(jīng)過雙曲線右焦點(diǎn)F2且傾斜角為30°的直線的方程為y(x3)聯(lián)立得5x26x270設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2所以|AB|× 16已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，實(shí)軸長(zhǎng)為2(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：ykx與雙曲線C的左支交于A，B兩點(diǎn)，求k的取值范圍；(3)在(2)的條件下，線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M(0，m)，求m的取值范圍【答案】解(1)設(shè)雙曲線C的方程為1(a>0，b>0)由已知得a，c2，再由a2b2c2，得b21，所以雙曲線C的方程為y21(2)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，將ykx代入y21，得(13k2)x26kx90由題意知解得<k<1所以當(dāng)l與雙曲線左支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為(3)由(2)得xAxB，所以yAyB(kxA)(kxB)k(xAxB)2所以AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為設(shè)直線l0的方程為yxm，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l0的方程，得m因?yàn)?lt;k<1，所以2<13k2<0，所以m<2所以m的取值范圍為(，2) 7