課后限時(shí)集訓(xùn)(三十六)　 (建議用時(shí)：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．用反證法證明某命題時(shí)，對結(jié)論“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)是(　　) A．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù) B．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) C．自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù) D．自然數(shù)a，b，c都是偶數(shù) B　[“恰有一個(gè)”否定是“至少有兩個(gè)或一個(gè)也沒有”，故選B.] 2．(2019·西安模擬)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系是(　　) A．P＞Q　　　　　B．P＝Q C．P＜Q D．由a的取值決定 C　[P2＝2a＋7＋2，Q2＝2a＋7＋2， ∵2＞2， ∴P2＜Q2， ∴P＜Q，故選C．] 3．已知a，b，c∈(0，＋∞)，則下列三個(gè)數(shù)a＋，b＋，c＋(　　) A．都大于6 B．至少有一個(gè)不大于6 C．都小于6 D．至少有一個(gè)不小于6 D　[由a，b，c∈(0，＋∞)知 ＋＋＝＋＋≥18(當(dāng)且僅當(dāng)a＝4，b＝2，c＝3時(shí)，等號成立)， 因此三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于6，故選D.] 4．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證<a”索的因應(yīng)是(　　) A．a(chǎn)－b>0 B．a(chǎn)－c>0 C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0 C　[由題意知<a?b2－ac<3a2 ?(a＋c)2－ac<3a2 ?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0 ?－2a2＋ac＋c2<0 ?2a2－ac－c2>0 ?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.] 5．已知函數(shù)f(x)＝x，a，b是正實(shí)數(shù)，A＝f，B＝f()，C＝f，則A，B，C的大小關(guān)系為(　　) A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A A　[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x在R上是減函數(shù)， 且≥≥， 所以f≤f()≤f， 即A≤B≤C，故選A．] 二、填空題 6．用反證法證明“若x2－1＝0，則x＝－1或x＝1”時(shí)，應(yīng)假設(shè)________． x≠－1且x≠1　[“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．] 7．下列條件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的條件的個(gè)數(shù)是__________． 3　[要使＋≥2，只要>0，且>0，即a，b不為0且同號即可，故有3個(gè)．] 8．在甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)．有人走訪了四位歌手，甲說：“乙或丙獲獎(jiǎng)”；乙說：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)”；丙說：“丁獲獎(jiǎng)”；丁說：“丙說的不對”．若四位歌手中只有一個(gè)人說的是真話，則獲獎(jiǎng)的歌手是________． 甲　[假設(shè)甲獲獎(jiǎng)，則甲、乙、丙都說了假話，丁說了真話，滿足題意，故獲獎(jiǎng)的歌手是甲．] 三、解答題 9．已知a≥b>0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b. [證明]　要證明2a3－b3≥2ab2－a2b成立， 只需證：2a3－b3－2ab2＋a2b≥0， 即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0， 即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0. ∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0， 從而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立， ∴2a3－b3≥2ab2－a2b. 10．已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，試證明a，b，c至少有一個(gè)不小于1. [證明]　假設(shè)a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1， 則有a＋b＋c＜3，而a＋b＋c＝＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋＝22＋3≥3. 這與a＋b＋c＜3矛盾，假設(shè)不成立， 故a，b，c至少有一個(gè)不小于1. B組　能力提升 1．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若x1＋x2>0，則f(x1)＋f(x2)的值(　　) A．恒為負(fù)值　　 B．恒等于零 C．恒為正值 D．無法確定正負(fù) A　[由題意知f(x)在R上單調(diào)遞減， 由x1＋x2＞0得x1＞－x2， 則f(x1)＜f(－x2)， 即f(x1)＜－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＜0， 故選A．] 2．(2019·赤峰模擬)在一次連環(huán)交通事故中，只有一個(gè)人需要負(fù)主要責(zé)任，但在警察詢問時(shí)，甲說：“主要責(zé)任在乙”；乙說：“丙應(yīng)負(fù)主要責(zé)任”；丙說“甲說的對”；丁說：“反正我沒有責(zé)任”，四人中只有一個(gè)人說的是真話，則該事故中需要負(fù)主要責(zé)任的人是(　　) A．甲　　　B．乙 C．丙　　　D．丁 A　[①假定甲說的是真話，則丙說“甲說的對”也是真話，這與四人中只有一個(gè)人說的是真話矛盾，所以假設(shè)不成立，故甲說的是假話； ②假定乙說的是真話，則丁說“反正我沒有責(zé)任”也為真話，這與四人中只有一個(gè)人說的是真話矛盾，所以假設(shè)不成立，故乙說的是假話； ③假定丙說的是真話，由①知甲說的也是真話，這與四人中只有一個(gè)人說的是真話矛盾，所以假設(shè)不成立，故丙說的是假話； 綜上可得，丁說的真話，甲乙丙三人說的均為假話，即乙丙丁沒有責(zé)任，所以甲負(fù)主要責(zé)任，故選A．] 3．(2018·長春模擬)若二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f(c)＞0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是________． 　[若二次函數(shù)f(x)≤0在區(qū)間[－1,1]內(nèi)恒成立，則 解得p≤－3或p≥， 故滿足題干要求的p的取值范圍為.] 4．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn； (2)設(shè)bn＝(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列． [解]　(1)由已知得 所以d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)． (2)證明：由(1)得bn＝＝n＋.假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數(shù)列，則b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0. 因?yàn)閜，q，r∈N*， 所以 所以2＝pr，即(p－r)2＝0， 所以p＝r，這與p≠r矛盾，所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列． - 5 -