第1講坐標系考綱解讀1.了解坐標系的作用，掌握平面直角坐標系中的伸縮變換2.了解極坐標的基本概念，能在極坐標系中用極坐標表示點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化(重點)3.能在極坐標系中給出簡單圖形(如過極點的直線、過極點或圓心為極點的圓)的方程(難點)考向預測從近三年高考情況來看，本講是高考中的必考內(nèi)容. 預測2020年將會考查：極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化，極坐標方程化為直角坐標方程，要特別注意圖象的伸縮變換. 題型為解答題，屬中、低檔題型.1伸縮變換設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換：的作用下，點P(x，y)對應到點P(x，y)，稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換2極坐標一般地，不作特殊說明時，我們認為0，可取任意實數(shù)3極坐標與直角坐標的互化設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(，)，則它們之間的關(guān)系為：1概念辨析(1)平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一對應關(guān)系，在極坐標系中點與坐標也是一一對應關(guān)系()(2)點P的直角坐標為(，)，那么它的極坐標可表示為.()(3)過極點作傾斜角為的直線的極坐標方程可表示為或.()(4)圓心在極軸上的點(a,0)處，且過極點O的圓的極坐標方程為2asin.()答案(1)(2)(3)(4)2小題熱身(1)設(shè)平面內(nèi)伸縮變換的坐標表達式為則在這一坐標變換下正弦曲線ysinx的方程變?yōu)?)Aysin2x By3sinxCysin Dy3sin2x答案D解析由已知得代入ysinx，得ysin2x，即y3sin2x，所以ysinx的方程變?yōu)閥3sin2x.(2)在極坐標系中A，B兩點間的距離為_答案6解析解法一：(數(shù)形結(jié)合)在極坐標系中，A，B兩點如圖所示，|AB|OA|OB|6.解法二：A，B的直角坐標為A(1，)，B(2,2)，|AB|6.(3)曲線C1：與曲線C2：sin的交點坐標為_答案解析將代入sin，得sin，所以1，所以曲線C1與曲線C2的交點坐標為.(4)已知直線l的極坐標方程為2sin，點A的極坐標為A，則點A到直線l的距離為_答案解析由2sin得2，sincos1，化為直角坐標方程得yx1即xy10，點A的直角坐標為，即(2，2)，所以點A到直線l的距離為.題型 平面直角坐標系中的伸縮變換在同一平面直角坐標系中，求一個伸縮變換，使得圓x2y21變換為橢圓1.解設(shè)伸縮變換為由題知1，即2x22y21.與x2y21比較系數(shù)，得故所以伸縮變換為即先使圓x2y21上的點的縱坐標不變，將圓上的點的橫坐標伸長到原來的3倍，得到橢圓y21，再將該橢圓上點的橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的2倍，得到橢圓1.伸縮變換后方程的求法平面上的曲線yf(x)在變換：的作用下的變換方程的求法是將代入yf(x)，得f，整理之后得到y(tǒng)h(x)，即為所求變換之后的方程見舉例說明提醒：應用伸縮變換時，要分清變換前的點的坐標(x，y)與變換后的坐標(x，y).若函數(shù)yf(x)的圖象在伸縮變換：的作用下得到曲線的方程為y3sin，求函數(shù)yf(x)的最小正周期解由題意，把變換公式代入曲線y3sin得3y3sin，整理得ysin，故f(x)sin.所以yf(x)的最小正周期為.題型 極坐標與直角坐標的互化(2018全國卷)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為yk|x|2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為22cos30.(1)求C2的直角坐標方程； (2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程解(1)由xcos，ysin，得C2的直角坐標方程為(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圓心為A(1,0)，半徑為2的圓由題設(shè)知，C1是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線，曲線C1的方程為y記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點當l1與C2只有一個公共點時，A到l1所在直線的距離為2，所以2，故k或k0.經(jīng)檢驗，當k0時，l1與C2沒有公共點；當k時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點當l2與C2只有一個公共點時，A到l2所在直線的距離為2，所以2，故k0或k.經(jīng)檢驗，當k0時，l1與C2沒有公共點；當k時，l2與C2沒有公共點. 綜上，所求C1的方程為y|x|2.條件探究把舉列說明中曲線C1的極坐標方程改為“(02)”，曲線C2的極坐標方程改為“22cos2sin30”，若C1與C2有且僅有兩個公共點，求的取值范圍解由xcos，ysin得曲線C2的直角坐標方程為x2y22x2y30，即(x1)2(y)21，由題意知，可設(shè)曲線C1的直角坐標方程為ykx，ktan，當曲線C1與曲線C2相切時，1，解得k，即tan，又02，所以.結(jié)合圖形可知，若C1與C2有且僅有兩個公共點，則.1極坐標方程與直角坐標方程的互化(1)直角坐標方程化為極坐標方程：將公式xcos及ysin直接代入直角坐標方程并化簡即可(2)極坐標方程化為直角坐標方程：通過變形，構(gòu)造出形如cos，sin，2的形式，再應用公式進行代換其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形技巧2極角的確定由tan確定角時，應根據(jù)點P所在象限取最小正角(1)當x0時，角才能由tan按上述方法確定(2)當x0時，tan沒有意義，這時可分三種情況處理：當x0，y0時，可取任何值；當x0，y0時，可取；當x0，y0時，可取. 已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為2，22cos2.(1)把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標方程解(1)由2知24，所以圓O1的直角坐標方程為x2y24.因為22cos2，所以222，所以圓O2的直角坐標方程為x2y22x2y20.(2)將兩圓的直角坐標方程相減，得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為xy1，化為極坐標方程為cossin1，即sin.題型 極坐標方程的應用角度1極徑幾何意義的應用1(2018日照一模)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為(R)(1)求曲線C的極坐標方程；(2)設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|AB|的值解(1)將方程消去參數(shù)得x2y24x120，曲線C的普通方程為x2y24x120，將x2y22，xcos代入上式可得24cos12，曲線C的極坐標方程為24cos12.(2)設(shè)A，B兩點的極坐標方程分別為，由消去得22120，根據(jù)題意可得1，2是方程22120的兩根，122，1212，|AB|12|2.角度2用極坐標解最值和取值范圍問題2(2018南平二模)在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的方程為y21.曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線C3的方程為yxtan，曲線C3與曲線C1，C2分別交于P，Q兩點(1)求曲線C1，C2的極坐標方程；(2)求|OP|2|OQ|2的取值范圍解(1)因為xcos，ysin，所以曲線C1的極坐標方程為2sin21，即2，由(為參數(shù))，消去，即得曲線C2的直角坐標方程為x2(y1)21；將xcos，ysin，代入化簡，可得曲線C2的極坐標方程為2sin.(2)曲線C3的極坐標方程為，由(1)得|OP|2；|OQ|24sin2，即|OP|2|OQ|2，因為0，所以0sin0)，點M的極坐標為(1，)(10)由題設(shè)知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的極坐標方程為4cos(0)因此C2的直角坐標方程為(x2)2y24(x0)(2)設(shè)點B的極坐標為(B，)(B0)由題設(shè)知|OA|2，B4cos，于是OAB的面積S|OA|BsinAOB4cos22.當時，S取得最大值2.所以O(shè)AB面積的最大值為2.