廈門市2018-2019學(xué)年度第一學(xué)期高二年級質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)(理科)試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知命題“”為真，“”為真，則下列說法正確的是（ ）A. 真真 B. 假真 C. 真假 D. 假假【答案】B【解析】【分析】根據(jù)邏輯或真假判斷的真值表， p是假命題，又“”為真命題，進而可得q是真命題【詳解】解：命題“ ”和命題“非”均為真命題，為假命題，為真命題，故選：B【點睛】本題考查的知識點是復(fù)合命題的真假判斷，熟練掌握復(fù)合命題真假判斷的真值表是解答的關(guān)鍵2.雙曲線的漸近線方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用雙曲線的方程直接求解漸近線方程即可【詳解】解：雙曲線即，其中a=2，b=1，故其漸近線方程是：故選：B【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，漸近線方程的求法，是基礎(chǔ)題3.記為等差數(shù)列的前項和，若，則的公差等于（ ）A. -2 B. 0 C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的前項和公式可得，解可得，又由，可得，由等差數(shù)列的通項公式分析可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列中，若，即，則，又由，則，則等差數(shù)列的公差；故選：D【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及前項和的性質(zhì)，注意等差數(shù)列通項公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題4.若實數(shù)，滿足約束條件則的最大值是（ ）A. -7 B. -1 C. 1 D. 3【答案】C【解析】【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求最大值【詳解】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分），由得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線的截距最大，此時最大由，解得，解得，代入目標(biāo)函數(shù)得即目標(biāo)函數(shù)的最大值為1故選：C【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法5.若，且，則下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【詳解】根據(jù)基本不等式，,又ab,;由ab，易知a+ba+a=2a,故.故選：A.【點睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于簡單題6.如圖，在平行六面體中，為的中點，設(shè)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的幾何運算可得結(jié)果【詳解】根據(jù)向量的三角形法則得到.故選：A.【點睛】本題考查空間向量以及線性運算，屬于基礎(chǔ)題.7.在中，則的面積是（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)正弦定理求出角，從而求出角，再根據(jù)三角形的面積公式進行求解即可【詳解】解：由，根據(jù)正弦定理得：，為三角形的內(nèi)角，或，或在中，由，或則面積或故選：C.【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角形的面積公式以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題8.已知，若是的必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)是的必要條件，列不等式方程確定實數(shù)的取值范圍【詳解】解：設(shè)滿足p的實數(shù)集合為M,滿足q的實數(shù)集合為N，是的必要條件 ，即解得.故選：D.【點睛】本題考查必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.9.已知，則的最小值是（ ）A. 4 B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】【分析】進行等式變換后，根據(jù)基本不等式求解.【詳解】由，根據(jù)基本不等式，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時有最小值9.故選：C.【點睛】本題主要考查基本不等式的運用屬于基礎(chǔ)題.10.記為數(shù)列的前項和，若，則的最大值為（ ）A. -1 B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】由，將已知項變形得=，同除以，可得出為等差數(shù)列，從而得出，再利用單調(diào)性即可得解.【詳解】解： =，等號兩側(cè)同除以，得到,又,是以11為首項，以-2為公差的等差數(shù)列.故 ，由單調(diào)性可知，當(dāng)n=6時，的最大值為1.故選：C.【點睛】本題考查了數(shù)列與的關(guān)系和運算能力，考查了函數(shù)單調(diào)性，屬于中檔題.11.如圖，在四棱錐中，平面，點是棱的中點，與平面交于點，設(shè),則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】將平面ABE延展,再利用三角形相似得出點F位置，從而得解.【詳解】解：過點D作垂直于平面ABCD的直線交AE延長線于點M，連接MP、MB，由題意知平面，PA=AD,且E為DP中點，所以四邊形MPAD為正方形，,M,P,B,C四點共面，MB與PC交與點F.,F為PC三等分點(靠近點C)又，.故選：C.【點睛】本題考查平面延展和三角形相似，屬于中檔題.12.光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出.如圖，一個光學(xué)裝置由有公共焦點，的橢圓與雙曲線構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點發(fā)出，依次經(jīng)與反射，又回到了點，歷時秒；若將裝置中的去掉，此光線從點發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點，歷時秒；若，則與的離心率之比為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，分別列出關(guān)系式再做差，得出橢圓雙曲線“復(fù)合”光學(xué)裝置中光線路程；然后計算單橢圓光學(xué)裝置中光線路程，兩者相比可得出橢圓長半軸和雙曲線實半軸的關(guān)系，即可得兩離心率的關(guān)系.【詳解】解：如圖，由雙曲線定義得： ，由橢圓定義得： ，-得：；所以橢圓雙曲線“復(fù)合”光學(xué)裝置中，光線從出發(fā)到回到左焦點走過的路程為對于單橢圓光學(xué)裝置，光線經(jīng)過2次反射后回到左焦點，路程為；由于兩次光速相同，路程比等于時間比，所以，所以.所以.故選：B.【點睛】本題考查對圓錐曲線的定義的掌握與應(yīng)用能力、識圖能力、閱讀及文字理解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.對任意，都有，則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)不等式轉(zhuǎn)化為方程，根據(jù)判別式求解.【詳解】根據(jù)題意，m需滿足方程=0無解，即， 故答案為：.【點睛】本題考查了一元二次不等式及其方程與判別式的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.14.如圖，從氣球上測得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為和，如果這時氣球的高是30米，則河流的寬度為_米.【答案】【解析】【分析】由題意畫出圖形，利用特殊角的三角函數(shù)，可得答案【詳解】解：由題意可知，故答案為：.【點睛】本題給出實際應(yīng)用問題，著重考查了三角函數(shù)的定義，屬于簡單題15.已知點，分別是軸、軸上的動點，且滿足.若點滿足，則點的軌跡方程是_.【答案】【解析】【分析】設(shè)點M,N,P三點坐標(biāo)，根據(jù)平面向量垂直特性，列出方程可得結(jié)果.【詳解】解：設(shè)點M坐標(biāo)（a,0），N坐標(biāo)（0，b），點P坐標(biāo)（x,y）,則=（-1，b），=（-a,b）， ，而=,=, ,代入可得.故答案為：.【點睛】本題考查了平面向量垂直的乘積和點的軌跡方程的求法，屬于簡單題.16.記為數(shù)列的前項和，若，則等于_.【答案】131【解析】【分析】根據(jù)計算得出，再依次計算出的值，遂得出的值.【詳解】解：根據(jù)，從而，.故答案為：131.【點睛】本題考查了數(shù)列遞推式的運用和運算能力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.在中，角所對的邊分別是，.（1）求角的大??；（2）是邊上的中線，若，求的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化簡已知等式可得：，由于，可得：，結(jié)合范圍，可求的值（2）由三角形面積公式可求，進而利用余弦定理可得，即可解得的值【詳解】解：（1）在中，由正弦定理得，即，.（2）在中，是的中線，在中，由余弦定理得.【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題18.記為等比數(shù)列的前項和，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得到的值，再利用得出q的值，進而得到的值，即得到數(shù)列的通項；（2）由（1）可得到，再利用錯位相減，可得解.【詳解】解：（1），即，數(shù)列的通項公式為.（2）由得，即，由-得， .【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項、錯位相減數(shù)列求和等知識，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，四邊形是矩形，且，（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）詳見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理，求得AC長度，結(jié)合FA,FC長度，從而證明FAAC，又由FABA,故FA平面ABCD; （2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出平面和平面的法向量，利用法向量夾角余弦值可得二面角余弦值.【詳解】解：（1），即，即.四邊形為矩形，.，.（2），兩兩互相垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，平面的一個法向量設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，則，二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考査直線與平面位罝關(guān)系，利用空間向量法求二面角，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，考査數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.20.設(shè)為坐標(biāo)原點，拋物線的焦點為，點在上，.（1）求的方程；（2）過點的直線與交于，兩點，若與圓相切，求的面積【答案】（1）（2）16【解析】【分析】（1）結(jié)合已知條件，根據(jù)拋物線定義列出方程可得解；（2）設(shè)出直線方程，與拋物線聯(lián)立，結(jié)合面積公式和韋達定理即可得解.【詳解】解：（1）由拋物線定義，點到準(zhǔn)線的距離點在拋物線上， 由解得，拋物線方程為.（2）設(shè)直線方程為，直線與圓相切，即由，得，.【點睛】本題主要考查拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線、圓的位置關(guān)系，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想，屬于基礎(chǔ)題.21.某公司計劃在辦公大廳建一面長為米的玻璃幕墻.先等距安裝根立柱，然后在相鄰的立柱之間安裝一塊與立柱等高的同種規(guī)格的玻璃.一根立柱的造價為6400元，一塊長為米的玻璃造價為元.假設(shè)所有立柱的粗細(xì)都忽略不計，且不考慮其他因素，記總造價為元（總造價=立柱造價+玻璃造價）.（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)時，怎樣設(shè)計能使總造價最低？【答案】（1）且；（2）安裝8根立柱時，總造價最小.【解析】【分析】（1）分析題意，建立函數(shù)關(guān)系模型，即可得出函數(shù)關(guān)系式；（2）由（1）將函數(shù)解析式變形，根據(jù)基本不等式，即可求出最值.【詳解】解：（1）依題意可知，所以，（2），且，.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，又，當(dāng)時，.所以，安裝8根立柱時，總造價最小.【點睛】本題主要考查函數(shù)、基本不等式等知識：考查運算求解能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識；考查函數(shù)與方程、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.22.已知橢圓的左焦點為，右頂點為，.（1）求的方程；（2）過點且與軸不重合的直線與交于，兩點，直線，分別與直線交于，兩點，且以為直徑的圓過點.（）求的方程；（）記，的面積分別為，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）（）；（）.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義，根據(jù)條件列出方程求解即可；（2）（）設(shè)M,N坐標(biāo)分邊為，直線的方程為，結(jié)合橢圓方程可得BM、BN方程，并得出點P、Q坐標(biāo)的表達式，根據(jù)圓過點，故向量，列方程可得m的值；（）由（），將，的面積，轉(zhuǎn)換為、的表達式，相比可得出的取值范圍.【詳解】解：（1）依題意得，即，解得，橢圓的方程為.（2）（）設(shè)，直線的方程為.由得，顯然，且，直線方程為，直線方程為，令，得，以為直徑的圓過點，解得或（舍去），的方程為.（）由（），.【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位罝關(guān)系、三角形面積公式等知識，考查運算求解能力、推理論證能力：考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.