1 第十九章第十九章 一次函數(shù)一次函數(shù) 19191 1 函 數(shù) 19191.11.1 變量與函數(shù) 第 1 1 課時(shí) 變量與常量 理解變量、常量的概念 重點(diǎn) 變量與常量的概念，變量之間的關(guān)系 難點(diǎn) 理解并掌握變量以及變量之間的關(guān)系 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 情境問(wèn)題：一輛汽車以 60 千米/時(shí)的速度行駛，行駛路程為 s 千米，行駛時(shí)間為 t 小 時(shí)請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)題意填寫下表： t/時(shí) 12345 s/千米 師：在以上過(guò)程中，有沒(méi)有變化的量？有沒(méi)有始終不變的量？ 生：變化的量是時(shí)間和路程，不變的量是速度 師：1 小時(shí)路程為 60 千米，2 小時(shí)路程為 260 千米，所以 t 小時(shí)路程為 60t 千 米，即 s60t.這個(gè)問(wèn)題反映了勻速行駛的汽車所行駛的路程隨時(shí)間變化的過(guò)程，在現(xiàn)實(shí) 生活中，有許多類似的問(wèn)題，在這些問(wèn)題中都有變化著的量和始終不變的量 二、講授新課 1每張電影票零售價(jià)為 10 元，如果早場(chǎng)售出 150 張，午場(chǎng)售出 205 張，晚場(chǎng)售出 310 張，三場(chǎng)電影的票房收入各是多少元？設(shè)一場(chǎng)電影售出 x 張票，如何用含 x 的式子表 示票房收入 y 元？ 生：早場(chǎng)收入為 150101500(元)，午場(chǎng)收入為 205102050(元)，晚場(chǎng)收入為 310103100(元)，當(dāng)售出的票數(shù)為 x 張時(shí)，收入 y10 x. 師：在這個(gè)過(guò)程中有沒(méi)有變化著的量與始終不變的量？ 生：有，售出的張數(shù)與票房收入是變化著的量，每張電影票的售價(jià)是始終不變的量 2活動(dòng)一：請(qǐng)大家動(dòng)手畫出一個(gè)面積為 10 cm2，20 cm2的圓各一個(gè) 生：必須先根據(jù)圓的面積公式算出半徑，再畫圓 師：那么它們的半徑各是多少呢？ 生：第一個(gè)圓的半徑為1.8 (cm)；第二個(gè)圓的半徑為2.5(cm) 10 3.14 20 3.14 師：如果圓的面積為 S，怎樣表示出半徑 r? 生：r. S 師：在這個(gè)過(guò)程中，變量與常量各是什么？ 生：這里變量是 S 和 r，常量是. 3活動(dòng)二：用 10 m長(zhǎng)的繩子圍成長(zhǎng)方形，改變長(zhǎng)方形的長(zhǎng)度，觀察長(zhǎng)方形面積的變 化，并記錄不同長(zhǎng)方形的長(zhǎng)度值，計(jì)算相應(yīng)的面積 生 1：當(dāng)長(zhǎng)為 4 m時(shí)，寬為 1 m，面積為 414(m2) 生 2：當(dāng)長(zhǎng)為 3 m時(shí)，寬為 2 m，面積為 326(m2) 師：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)度為 x m，如何求出它的面積 S? 生：當(dāng)長(zhǎng)為 x m時(shí)，它的寬是(5x) m，因此它的面積是 Sx(5x)m2. 師：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬以及面積是變量，繩子的總長(zhǎng)是常量 這些問(wèn)題反映了不同事物的變化過(guò)程，其中有些量的值是按照某種規(guī)律變化的，像這 種數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量，有些量的數(shù)值始終不變，像這種數(shù)值始終不變的量稱為常 量 2 三、鞏固練習(xí) 1購(gòu)買一些練習(xí)本，單價(jià) 0.5 元/本，總價(jià) y(元)隨練習(xí)本本數(shù) x 的變化而變化，指 出其中的常量與變量，并寫出關(guān)系式 【答案】y0.5x，其中 x，y 是變量，0.5 是常量 2一個(gè)三角形的底邊長(zhǎng) 10 cm，高 h 可以任意伸縮，寫出面積 S 隨 h 變化的關(guān)系式， 并指出其中的常量與變量 【答案】S 10h5h，其中，S，h 是變量，5 是常量 1 2 四、課堂小結(jié) 變量：在一個(gè)變化過(guò)程中數(shù)值發(fā)生變化的量 常量：在一個(gè)變化過(guò)程中數(shù)值始終保持不變的量 本節(jié)課從學(xué)生熟知的生活出發(fā)，抽象出函數(shù)中基本的兩個(gè)概念：常量與變量，然后通 過(guò)練習(xí)進(jìn)一步掌握像這樣取材于學(xué)生生活，結(jié)合學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué)，正是新課標(biāo) 所要求的 第 2 2 課時(shí) 函 數(shù) 理解函數(shù)的概念，準(zhǔn)確寫出函數(shù)的關(guān)系式 重點(diǎn) 函數(shù)的概念，函數(shù)解析式的求法 難點(diǎn) 函數(shù)概念的理解 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 師：上一節(jié)課中的每個(gè)問(wèn)題都涉及兩個(gè)變量，這兩個(gè)變量之間有什么聯(lián)系呢？當(dāng)其中 一個(gè)變量確定一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量是否也隨之確定呢？這將是我們這節(jié)課要研究的內(nèi) 容 二、講授新課 師：觀察問(wèn)題(1)中的表格，時(shí)間 t 和路程 s 是兩個(gè)變量，但當(dāng) t 取定一個(gè)值時(shí)，s 也 隨之確定一個(gè)值. t/時(shí) 12345 s/千米 60120180240300 生：是的，當(dāng) t1 時(shí)，s60；當(dāng) t2 時(shí)，s120；當(dāng) t5 時(shí)，s300. 師：?jiǎn)栴}(2)也是一樣的，當(dāng)早場(chǎng) x150 時(shí)，收入 y1500；當(dāng)午場(chǎng) x205 時(shí)， y2050；當(dāng)晚場(chǎng) x310 時(shí)，y3100.也就是說(shuō)售票張數(shù) x 與票房收入 y 是兩個(gè)變量，但 當(dāng) x 取定一個(gè)值時(shí)，票房收入 y 也就確定一個(gè)值 師：?jiǎn)栴}(3)中，當(dāng)圓的半徑 r10 cm時(shí)，S100 cm2，當(dāng) r20 cm時(shí)，S400 cm2等，也就是說(shuō) 生：也就是說(shuō)當(dāng)圓的半徑 r 取定一個(gè)值時(shí)，面積 S 也隨之確定，并且 Sr2. 師：?jiǎn)栴}(4)中，當(dāng)長(zhǎng)為 4 m時(shí)，面積為 4 m2；當(dāng)長(zhǎng)為 3 m時(shí)，面積 S 為 6 m2；當(dāng)長(zhǎng) x 為 2.5 m時(shí)，面積 S 為 6.25 m2，也就是說(shuō) 生：也就是說(shuō)當(dāng)長(zhǎng) x 取定一個(gè)值時(shí)，面積 S 也就隨之確定一個(gè)值 師：當(dāng)長(zhǎng)取定為 x m時(shí)，面積 S 等于多少呢？ 生：Sx(5x)5xx2. 師：像這樣，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量 x 與 y，并且對(duì)于 x 每一個(gè)確定的 值，y 都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，我們就說(shuō) x 是自變量，y 是 x 的函數(shù)前面的幾個(gè)問(wèn)題 中，哪個(gè)是自變量，哪個(gè)是函數(shù)呢？它們之間的關(guān)系如何用式子表示？ 生 1：?jiǎn)栴}(1)中，時(shí)間 t 是自變量，路程 s 是 t 的函數(shù)，s60t. 生 2：?jiǎn)栴}(2)中，售票數(shù)量 x 是自變量，收入 y 是 x 的函數(shù)，y10 x. 生 3：?jiǎn)栴}(3)中，圓的半徑 r 是自變量，面積 S 是 r 的函數(shù)，Sr2. 3 生 4：?jiǎn)栴}(4)中，長(zhǎng)方形的長(zhǎng) x 是自變量，面積 S 是 x 的函數(shù)，Sx(5x) 師：其實(shí)，現(xiàn)實(shí)生活中某些函數(shù)關(guān)系是用圖表的形式給出的，比如說(shuō)：心臟部位的生 物電流，y 是 x 的函數(shù)嗎？ 生：y 是 x 的函數(shù)，因?yàn)樵谛碾妶D里，對(duì)于 x 的每一個(gè)確定的值，y 都有唯一確定的值 和它對(duì)應(yīng) 師：很好！再比如說(shuō)下面是我國(guó)的人口統(tǒng)計(jì)表，人口數(shù)量 y 是年份 x 的函數(shù)嗎？ 中國(guó)人口數(shù)統(tǒng)計(jì)表 年份人口數(shù)/億 198410.34 198911.06 199411.76 199912.52 201013.71 生：是的，因?yàn)閷?duì)于表中每一個(gè)確定的年份，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的人口數(shù) 教師總結(jié)：(再一次敘述函數(shù)的定義)像這樣，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量 x 與 y，并且對(duì)于 x 每一個(gè)確定的值，y 都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，我們就說(shuō) x 是自變量， y 是 x 的函數(shù) 如果當(dāng) xa 時(shí)，yb，那么 b 叫做當(dāng)自變量 xa 時(shí)的函數(shù)值，例如在問(wèn)題(1)中當(dāng) t1 時(shí)的函數(shù)值 s60，當(dāng) t2 時(shí)的函數(shù)值 s120.在人口統(tǒng)計(jì)表中當(dāng) x1999 時(shí)，函數(shù) 值 y12.52 億 【例】教材第 73 頁(yè)例 1 師：關(guān)于自變量的取值范圍我們?cè)賮?lái)看兩個(gè)題目 求下列函數(shù)中自變量 x 的取值范圍： y2x25； y； 1 x4 y. x3 生 1：對(duì)于 y2x25，x 沒(méi)有任何限制，x 可取任意實(shí)數(shù) 生 2：對(duì)于 y，(x4)必須不等于 0 式子才有意義，因此 x4. 1 x4 生 3：對(duì)于 y，由于二次根式的被開方數(shù)大于等于 0，因此 x3. x3 三、鞏固練習(xí) 下列問(wèn)題中，哪些是自變量？哪些是自變量的函數(shù)？寫出用自變量表示函數(shù)的式子 1改變正方形的邊長(zhǎng) x，正方形的面積 S 隨之改變 【答案】Sx2，x 是自變量，S 是因變量 2秀水村的耕地面積為 106 m2，這個(gè)村人均占有耕地面積 y 隨這個(gè)村人數(shù) n 的變化而 變化 【答案】y，n 是自變量，y 是因變量 106 n 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課我們通過(guò)對(duì)問(wèn)題的思考、討論，認(rèn)識(shí)了自變量、函數(shù)及函數(shù)值的概念，并通過(guò) 兩個(gè)活動(dòng)，加深了對(duì)函數(shù)意義的理解，學(xué)會(huì)了確定函數(shù)關(guān)系式以及求自變量取值范圍的方 法，從而提高了運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力 本節(jié)課引入新課所設(shè)計(jì)的一些問(wèn)題都來(lái)自于學(xué)生生活，函數(shù)的概念也是在教師引導(dǎo)下 4 學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)的，這樣做能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，同時(shí)能讓學(xué)生更加熱愛生活，增 強(qiáng)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí) 19.1.219.1.2 函數(shù)的圖象 第 1 1 課時(shí) 函數(shù)的圖象(1 1) 準(zhǔn)確地運(yùn)用列表、描點(diǎn)、連線等步驟畫出函數(shù)的圖象 重點(diǎn) 函數(shù)圖象的畫法，觀察分析圖象的信息 難點(diǎn) 函數(shù)圖象的理解，概括圖象中的信息 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 下面是一張心電圖，其中橫坐標(biāo) x 表示時(shí)間，縱坐標(biāo) y 表示心臟部位的生物電流，變 量 y 隨 x 的變化而變化 師：這個(gè)問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系很難用式子表示，但是可以用圖象直觀地反映出來(lái)事實(shí) 上即使對(duì)能用函數(shù)關(guān)系式表示的函數(shù)，如果用圖形表示，則會(huì)使函數(shù)關(guān)系更清晰這就是 我們這節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容函數(shù)的圖象 二、講授新課 師：如何表示出正方形的面積 S 與邊長(zhǎng) x 的函數(shù)關(guān)系呢？自變量 x 的取值范圍又如何？ 生：正方形的面積 S 與邊長(zhǎng) x 的函數(shù)關(guān)系式為 Sx2，其中自變量的取值范圍是 x0. 師：我們?nèi)绾斡卯媹D的方法來(lái)表示 S 與 x 的關(guān)系呢？既然對(duì)于自變量 x 的每一個(gè)確定 的值，S 都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就列出其中的一部分： x00.511.522.533.54 S00.2512.2546.25912.2516 把其中 x 的值作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，S 的值作為縱坐標(biāo)，那么這些對(duì)應(yīng)值就在平面直角坐 標(biāo)系中對(duì)應(yīng) 9 個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)大家畫出這樣的 9 個(gè)點(diǎn) 學(xué)生畫出平面直角坐標(biāo)系并描出這樣的 9 個(gè)點(diǎn) 師：這個(gè)圖形上只有這 9 個(gè)點(diǎn)嗎？ 生：不是的，因?yàn)?x 的取值不止這 9 個(gè)，點(diǎn)也就不止 9 個(gè) 師：那么其他的點(diǎn)我們還可以像這樣一一地描出來(lái)嗎？ 生：不能，因?yàn)橛袩o(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn) 師：其他的點(diǎn)我們?cè)鯓赢嫵鰜?lái)呢？ 生： 師：其他的點(diǎn)我們不是一一描出的，而是根據(jù)這 9 個(gè)特殊點(diǎn)的位置來(lái)確定的，也就是 用平滑的曲線把這 9 個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序連接起來(lái) 5 教師一邊講一邊用平滑的曲線連接這些點(diǎn)，并要求學(xué)生跟著連線 師：這個(gè)圖形我們就稱作是函數(shù) Sx2的圖象由于 x0，所以原點(diǎn)不在圖象上，應(yīng) 用空心圓圈表示 教師總結(jié)：對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐 標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)的這些點(diǎn)組成的圖形就是這個(gè)函數(shù)的圖象 師：函數(shù)圖象為我們利用數(shù)形結(jié)合的思想研究函數(shù)提供了便利，另外，函數(shù)圖象也給 我們帶來(lái)許多信息，大家從下面的圖象中可以得到哪些信息？ 生 1：我知道這天的最高氣溫是 8，是中午 14 點(diǎn)時(shí)產(chǎn)生的；最低氣溫是3，是凌 晨 4 點(diǎn)產(chǎn)生的 師：請(qǐng)大家仔細(xì)觀察，看還能得到哪些信息？ 如果學(xué)生不能回答，提醒學(xué)生從氣溫的變化趨勢(shì)上考慮 生 2：我知道從 0 時(shí)至 4 時(shí)，氣溫呈下降狀態(tài)；從 4 時(shí)至 14 時(shí)，氣溫呈上升狀態(tài)；從 14 時(shí)至 24 時(shí)，氣溫又呈下降狀態(tài) 師：我們還可以從圖象中看出這一天任一時(shí)刻的氣溫大約是多少，另外長(zhǎng)期觀察這樣 的氣溫圖象，我們還能掌握氣溫的變化規(guī)律 三、例題講解 【例 1】教材第 76 頁(yè)例 2 【例 2】教材第 77 頁(yè)例 3 四、鞏固練習(xí) 用描點(diǎn)法畫出函數(shù) y (x0)的圖象 3 x 【答案】略 五、課堂小結(jié) 用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的步驟：第一步：列表，在自變量取值范圍內(nèi)選定一些值，求出 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；第二步：描點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量的值作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的 函數(shù)值作為縱坐標(biāo)，描出對(duì)應(yīng)各點(diǎn)；第三步：連線，按照自變量從小到大的順序把所描各 點(diǎn)用平滑曲線連接起來(lái) 本節(jié)課讓學(xué)生自己動(dòng)手一步一步地按照列表、描點(diǎn)、連線的步驟畫出函數(shù)的圖象，并 且在老師的詳細(xì)講解下理解了圖象的概念這種通過(guò)學(xué)生自己動(dòng)手來(lái)接受新知識(shí)的方法以 后還要加強(qiáng) 第 2 2 課時(shí) 函數(shù)的圖象(2 2) 6 進(jìn)一步理解并掌握函數(shù)的不同表示方法，會(huì)發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象所提供的信息 重點(diǎn) 從圖象中提取信息，利用圖象解決問(wèn)題 難點(diǎn) 利用函數(shù)的圖象解決問(wèn)題 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 師：我們?cè)谇懊鎺坠?jié)課已經(jīng)看到或親自動(dòng)手用列表格、寫式子和畫圖象的方法表示了 一些函數(shù)，這三種表示函數(shù)的方法分別稱為列表法、解析法和圖象法大家思考一下，從 前面的例子看，這三種表示函數(shù)的方法各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？在遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)又該如何選擇 這些方法？這就是我們這節(jié)課要研究的問(wèn)題 二、講授新課 師：從以前的活動(dòng)可以看出，函數(shù)的表示方法有三種：列表法、解析法和圖象法，下 面我們通過(guò)一個(gè)活動(dòng)來(lái)探究這三種方法的優(yōu)缺點(diǎn) 活動(dòng)：水庫(kù)的水位在最近 5 小時(shí)內(nèi)持續(xù)上漲，下表記錄了這 5 個(gè)小時(shí)的水位高度. t/時(shí) 012345 y/米 33.33.63.94.24.5 師：這是用什么方法來(lái)表示函數(shù)的？ 生：列表法 師：它比較直觀，如果我們要更準(zhǔn)確地了解這 5 個(gè)小時(shí)中水位高度 y(米)隨時(shí)間 t(時(shí)) 的關(guān)系，我們可以用什么方法？ 生：解析法 師：下面我們就來(lái)求 y 與 t 的函數(shù)關(guān)系式由于開始時(shí)水位高度為 3 米，以后每隔 1 小時(shí)水位升高 0.3 米，于是我們有 y0.3t3，由于這段時(shí)間是指 5 小時(shí)內(nèi)，因此 0t5.如果我們要想更形象、更直觀地了解這兩個(gè)變量間的關(guān)系，進(jìn)而預(yù)測(cè)水位，哪種 方法比較好呢？ 生：圖象法 師：好，下面我們就來(lái)看這個(gè)函數(shù)的圖象，如下圖所示 師：如果估計(jì)這種上漲規(guī)律還會(huì)持續(xù) 2 小時(shí)，那么利用哪種方法還可以預(yù)測(cè)出再過(guò) 2 小時(shí)以后的高度呢？ 生 1：利用函數(shù)解析式可以得到，當(dāng) t7 小時(shí)時(shí)，y0.3735.1(米) 生 2：利用圖象也可以預(yù)測(cè)出當(dāng) t7 小時(shí)時(shí)水位的高度 師：兩個(gè)同學(xué)講得都很好！利用解析式求 2 小時(shí)后的水位比較準(zhǔn)確，通過(guò)圖象估算比 較直接、方便剛 才這個(gè)活動(dòng)，我們主要了解的是函數(shù)的三種表示方法的優(yōu)缺點(diǎn)以及相互轉(zhuǎn)化具體說(shuō)， 列表法比較直觀地反映出函數(shù)中兩個(gè)變量的關(guān)系，但它不夠全面，也不如圖象法形象；解 析法能比較全面、準(zhǔn)確地表示出兩個(gè)變量的關(guān)系，但它不夠直觀形象；圖象法能形象、直 觀地反映出兩個(gè)變量的關(guān)系，但它不夠準(zhǔn)確也就是說(shuō)這三種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，在實(shí)際問(wèn) 題中我們要根據(jù)具體情況選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，有時(shí)為了全面地認(rèn)識(shí)問(wèn)題，需要同時(shí)使用幾種 方法 三、鞏固練習(xí) 1用列表法、解析法表示 n 邊形的內(nèi)角和 m 是邊數(shù) n 的函數(shù) 7 2用解析法與圖象法表示等邊三角形的周長(zhǎng) l 是邊長(zhǎng) a 的函數(shù) 四、課堂小結(jié) 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們認(rèn)識(shí)了函數(shù)的三種不同表示方法，學(xué)會(huì)根據(jù)具體情況選擇適 當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問(wèn)題，另外我們進(jìn)一步根據(jù)圖象發(fā)現(xiàn)其中所蘊(yùn)含的信息 本節(jié)課中函數(shù)的三種表示方法的優(yōu)缺點(diǎn)是學(xué)生在比較中自己發(fā)現(xiàn)的，爬山問(wèn)題中圖象 的信息也是學(xué)生通過(guò)交流、討論以及老師的適當(dāng)提醒發(fā)現(xiàn)的，像這樣讓學(xué)生在交流、探究 中學(xué)習(xí)知識(shí)的方法是值得提倡的 19.219.2 一次函數(shù) 19192.12.1 正比例函數(shù) 第 1 1 課時(shí) 正比例函數(shù)(1 1) 理解并掌握正比例函數(shù)的概念及圖象 重點(diǎn) 正比例函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì) 難點(diǎn) 正比例函數(shù)的圖象及性質(zhì) 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 問(wèn)題：2011 年開始運(yùn)營(yíng)的京滬高速鐵路全長(zhǎng) 1318 km.設(shè)列車的平均速度為 300 km/h. 考慮以下問(wèn)題： (1)乘京滬高鐵列車，從始發(fā)站北京南站到終點(diǎn)站上海虹橋站，約需多少小時(shí)？(結(jié)果 保留小數(shù)點(diǎn)后一位) (2)京滬高鐵列車的行程 y(單位：km)與運(yùn)行時(shí)間 t(單位：h)之間有何數(shù)量關(guān)系？ (3)京滬高鐵列車從北京南站出發(fā) 2.5 h后，是否已經(jīng)過(guò)了距始發(fā)站 1100 km的南京南 站？ 分析：(1)京滬高鐵列車全程運(yùn)行時(shí)間約需 13183004.4(h) (2)京滬高鐵列車的行程 y 是運(yùn)行時(shí)間 t 的函數(shù)，函數(shù)解析式為 y300t(0t4.4) (3)京滬高鐵列車從北京南站出發(fā) 2.5 h的行程，是當(dāng) t2.5 時(shí)函數(shù) y300t 的值， 即 y3002.5750(km) 這時(shí)列車尚未到達(dá)距始發(fā)站 1100 km的南京南站 師：這個(gè)函數(shù)中，t 是自變量，y 是 t 的倍數(shù)(300 倍)盡管實(shí)際情況可能會(huì)與此有一 些小的不同，但這個(gè)函數(shù)基本上反映了列車的行程與運(yùn)行時(shí)間的對(duì)應(yīng)規(guī)律像這樣的函數(shù) 就是我們今天所要講的函數(shù)正比例函數(shù) 二、講授新課 思考：下列問(wèn)題中的兩個(gè)變量可用怎樣的函數(shù)表示？ 師：圓的周長(zhǎng) l 隨半徑 r 的大小變化而變化，l 是 r 的函數(shù)嗎？ 生：l2r，l 是 r 的函數(shù) 師：鐵的密度為 7.8 g/cm3，鐵塊的質(zhì)量 m(g)隨它的體積 V(cm3)的變化而變化，鐵塊 的質(zhì)量 m 是體積 V 的函數(shù)嗎？ 生：m7.8V 師：每本練習(xí)本的厚度為 0.5 cm，一些練習(xí)本的總厚度 h(cm)隨本數(shù) n 的變化而變化 的函數(shù)關(guān)系是怎樣的？ 生：h0.5n. 師：冷凍一個(gè) 0的物體，使它每分鐘下降 2，物體的溫度 T()隨冷凍時(shí)間 t(分) 的變化而變化，那么它的函數(shù)關(guān)系式是怎樣的呢？ 生：T2t. 8 師：這些函數(shù)有什么共同特點(diǎn)呢？ 學(xué)生思考并回答，教師予以總結(jié) 師：上面這些函數(shù)與 y300 x 一樣，函數(shù)都是自變量的倍數(shù)，或者說(shuō)都是常數(shù)與自變 量的乘積，像這種函 數(shù)就是正比例函數(shù) 一般地，形如 ykx(k 是常數(shù)，k0)的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中 k 叫做比例系 數(shù) 師：ykx(k 是常數(shù)，k0)是正比例函數(shù)的一般形式，注意 k0 的條件下列函數(shù) 是正比例函數(shù)嗎？y ，y ，ykx，ykx2，yk2x(k0) x 3 3 x 生：是的，其他的都不是 三、例題講解 (1)若 y5x3m2是正比例函數(shù)，則 m_； (2)若 y(m1)xm2是正比例函數(shù)，則 m_. 解：(1)3m21，即 m1 時(shí)，它為正比例函數(shù)；(2)由題意可知解得 m21， m1 0，) m1. 四、課堂小結(jié) 1正比例函數(shù)的定義 2正比例函數(shù)的應(yīng)用 本節(jié)課從實(shí)際問(wèn)題中提出了正比例函數(shù)，讓學(xué)生自主的分析發(fā)現(xiàn)函數(shù)的定義和規(guī)律， 激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)生的歸納能力 第 2 2 課時(shí) 正比例函數(shù)(2 2) 會(huì)畫正比例函數(shù)的圖象 重點(diǎn) 一次函數(shù)圖象的畫法 難點(diǎn) 根據(jù)一次函數(shù)的圖象特征理解一次函數(shù)的性質(zhì) 一、復(fù)習(xí)引入 師：什么樣的函數(shù)是正比例函數(shù)？ 生：形如 ykx(k 是常數(shù)，k0)的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中 k 叫做比例系數(shù) 師：前面我們講函數(shù)圖象的畫法時(shí)，是通過(guò)把解析式中的 x，y 的值分別取出來(lái)，作為 橫、縱坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)、連線來(lái)得到函數(shù)圖象，那么對(duì)于正比例函數(shù)我們同樣可 以用列表、描點(diǎn)、連線的方法來(lái)畫出它的圖象 二、講授新課 操作：畫出正比例函數(shù) y2x，y2x 的圖象 師：由于 k0，所以 k0 或 k0，這兩個(gè)函數(shù)剛好一個(gè) k0，一個(gè) k0.顯然這里 的圖象和前面一樣是通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線完成的 第一個(gè)圖象老師帶學(xué)生畫，第二個(gè)圖象由學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視指導(dǎo) 1函數(shù) y2x 中自變量 x 可以是任意實(shí)數(shù)列表表示幾組對(duì)應(yīng)值： x 321 0123 y 642 0246 畫出圖象如圖(1) 9 2y2x 的自變量取值范圍可以是全體實(shí)數(shù)，列表表示幾組對(duì)應(yīng)值： x 321 0123 y6420 246 畫出圖象如圖(2) 師：比較這兩個(gè)圖象的相同點(diǎn)與不同點(diǎn) 學(xué)生討論以后教師再進(jìn)行總結(jié) 師生共同總結(jié)：兩圖象都是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線；函數(shù) y2x 的圖象從左到右上升， 經(jīng)過(guò)第一、第三象限；函數(shù) y2x 的圖象從左到右下降，經(jīng)過(guò)第二、第四象限 為了更好地發(fā)現(xiàn)并總結(jié)規(guī)律，師生一起在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù) y x 和 y x 的 1 2 1 2 圖象 列表如下： x 642 0246 y x 1 2 321 0123 y x 1 2 3210 123 圖象如圖所示： 【例】請(qǐng)同學(xué)們?cè)谕恢苯亲鴺?biāo)系中畫出函數(shù) y1.5x 和 y4x 的圖象函數(shù) y1.5x 中自變量 x 可為任意實(shí)數(shù)下表是 y 與 x 的幾組對(duì)應(yīng)值. x 321 0123 y4.531.50 1.534.5 如圖，在直角坐標(biāo)系中描出以表中的值為坐標(biāo)的點(diǎn)，將這些點(diǎn)連接起來(lái)，得到一條經(jīng) 過(guò)原點(diǎn)和第二、第四象限的直線，它就是函數(shù) y1.5x 的圖象 用同樣的方法，可以得到函數(shù) y4x 的圖象它也是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和第二、第四象 限的直線 10 分析后得出結(jié)論 師：一般地，正比例函數(shù) ykx(k 為常數(shù)，k0)的圖象是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，我們 稱它為直線 ykx.當(dāng) k0 時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、三象限，從左向右上升，即 y 隨 x 的增大 而增大；當(dāng) k0 時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第二、四象限，從左向右下降，即 y 隨 x 的增大反而減小 既然我們已經(jīng)知道正比例函數(shù)的圖象是一條直線，那么我們以后畫正比例函數(shù)的圖象 時(shí)，只需要描出兩點(diǎn)，然后過(guò)這兩點(diǎn)作一條直線即可比如說(shuō)，畫直線 y3x 只需先指出 兩點(diǎn)(0，0)、(1，3)，然后過(guò)這兩點(diǎn)作出直線即可 三、鞏固練習(xí) 用簡(jiǎn)單的方法畫出下列函數(shù)的圖象，并對(duì)照兩圖象說(shuō)出圖象與函數(shù)的性質(zhì) 1y x. 3 2 2y3x. 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課通過(guò)具體的正比例函數(shù)的圖象探索出正比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，這符合解決 問(wèn)題的一般途徑 本節(jié)課教師帶領(lǐng)學(xué)生畫正比例函數(shù)的圖象，又通過(guò)對(duì)函數(shù)圖象的觀察、總結(jié)，得到比 例系數(shù)與函數(shù)圖象間的關(guān)系 19.2.219.2.2 一次函數(shù) 第 1 1 課時(shí) 一次函數(shù)(1 1) 了解一次函數(shù)的一般形式 重點(diǎn) 一次函數(shù)的一般形式 難點(diǎn) 探索實(shí)際問(wèn)題中的一次函數(shù)關(guān)系 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 問(wèn)題：某登山隊(duì)大本營(yíng)所在地的氣溫是 5，海拔每升高 1 km氣溫下降 6，登山隊(duì) 員由大本營(yíng)向上登高 x km時(shí)，他們所在位置的氣溫是 y，試用解析式表示 y 與 x 的關(guān) 系 師：每升高 1 km氣溫下降 6，那么升高 x km，氣溫下降 6x，因此所在位置的氣 溫為 56x，即 y6x5.自變量是 x，右邊是自變量的一次式，像這樣的函數(shù)就是我們 今天所要學(xué)的一次函數(shù) 二、講授新課 思考：下列問(wèn)題中變量間的關(guān)系可用怎樣的函數(shù)表示？這些函數(shù)有哪些共同點(diǎn)？ 師：在 2025時(shí)蟋蟀每分鐘鳴叫的次數(shù) C 與 t()有關(guān)，即 C 的值約是 t 的 7 倍 與 35 的差這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式怎么寫？ 生：C 7t35. 師：一種計(jì)算成年人標(biāo)準(zhǔn)體重 G(kg)的方法是：以厘米為單位量出身高 h，再減去常數(shù) 105，所得差是 G 的值，即：Gh105. 某市的市內(nèi)電話的月收費(fèi)額 y(元)包括月租費(fèi) 22 元和撥打電話按 0.1 元/分收取，寫 出 y 與每月電話 x(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式 生：y0.1x22. 師：把一個(gè)長(zhǎng) 10 cm、寬 5 cm的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減少 x cm，寬不變，長(zhǎng)方形的面積 y(cm2)隨 x 的變化的關(guān)系式是什么？ 生：y 5(10 x)5x50. 師：上述這些函數(shù)有什么共同特點(diǎn)？比如說(shuō)右邊 生：右邊都是自變量的倍數(shù)與一個(gè)常數(shù)的和 師：對(duì)，上述這些函數(shù)的右邊都是關(guān)于自變量的一次式，像這樣的函數(shù)是一次函數(shù) 11 一般地，形如 ykxb(k，b 是常數(shù)，k0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)，當(dāng) b0 時(shí)， ykxb 即 ykx，所以說(shuō)正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù) 師：下面的函數(shù)是一次函數(shù)嗎？如果是一次函數(shù)，說(shuō)說(shuō)其中 k 和 b 的值分別是多少 yx6；y ；y ；y7x. 2 x x 8 生 1：yx6 是一次函數(shù)，其中 k1，b6. 生 2：y 不是一次函數(shù) 2 x 生 3：y 是一次函數(shù)，其中 k ，b0. x 8 1 8 生 4：y7x 是一次函數(shù)，其中 k1，b7. 師：值得注意的是 y 也是一次函數(shù)，它是當(dāng) b0 時(shí)的特殊情況 x 8 例題： (1)已知函數(shù) y(k2)x2k1，當(dāng) k 為何值時(shí)它是正比例函數(shù)？當(dāng) k 為何值時(shí)它是 一次函數(shù)？ 解決：當(dāng) 2k10，即 k 時(shí)，它為正比例函數(shù) 1 2 當(dāng) k20，即 k2 時(shí)，它為一次函數(shù) (2)已知 y 與 x3 成正比例，當(dāng) x4 時(shí)，y3，寫出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式并指出是什 么函數(shù) 解：因?yàn)?y 與 x3 成正比例，所以設(shè) yk(x3)由題意知當(dāng) x4 時(shí)，y3，代入 得 k3. 所以 y3(x3)，即 y3x9，y 是 x 的一次函數(shù) 三、鞏固練習(xí) 寫出下列函數(shù)關(guān)系式，并指出哪些是一次函數(shù)，其中哪些又屬于正比例函數(shù) 1面積為 10 cm2的三角形的底 a(cm)與這邊上的高 h(cm) 【答案】h，不是一次函數(shù) 20 a 2一邊長(zhǎng)為 8 cm的平行四邊形的周長(zhǎng) L(cm)與另一邊長(zhǎng) b(cm) 【答案】L162b，是一次函數(shù) 3食堂原有煤 120 噸，每天要用去 5 噸，x 天后還剩下煤 y 噸 【答案】y1205x，是一次函數(shù) 4汽車每小時(shí)行 40 千米，行駛的路程 s(千米)和時(shí)間 t(小時(shí)) 【答案】s40t，是一次函數(shù)，且是正比例函數(shù) 5圓的面積 y(平方厘米)與它的半徑 x(厘米)之間的關(guān)系 【答案】yx2，不是一次函數(shù) 6一棵樹現(xiàn)在高 50 厘米，每個(gè)月長(zhǎng)高 2 厘米，x 個(gè)月后這棵樹的高度為 y(厘米) 【答案】y502x，是一次函數(shù) 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課從實(shí)際出發(fā)得出一次函數(shù)的概念，并在實(shí)際問(wèn)題中根據(jù)簡(jiǎn)單信息寫出一次函數(shù) 的表達(dá)式，進(jìn)而解決問(wèn)題 本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的概念和一次函數(shù)的一般形式教學(xué)過(guò)程中充分調(diào)動(dòng)了學(xué) 生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中，在活動(dòng)的過(guò)程中，理解并掌握知識(shí)，同時(shí)也 培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力及參與意識(shí)，取得了良好的教學(xué)效果 第 2 2 課時(shí) 一次函數(shù)(2 2) 12 會(huì)畫一次函數(shù)的圖象 重點(diǎn) 一次函數(shù)圖象的畫法 難點(diǎn) 根據(jù)一次函數(shù)的圖象特征理解一次函數(shù)的性質(zhì) 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 師：正比例函數(shù)的一般形式是 ykx(k0)，它的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線一次 函數(shù)的一般形式是 ykxb(k0)，那么它的圖象是什么呢？這就是我們這節(jié)課所要學(xué)的 內(nèi)容 二、講授新課 活動(dòng)一 活動(dòng)內(nèi)容設(shè)計(jì)：畫出函數(shù) y6x 與 y6x5 的圖象，比較兩個(gè)函數(shù)的圖象，探究 它們的聯(lián)系并解釋原因 教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從圖象的形狀、傾斜程度以及與 y 軸的交點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的位置比 較兩個(gè)圖象，從而認(rèn)識(shí)兩個(gè)圖象的平移關(guān)系，進(jìn)而了解解析式中的 k，b 在圖象中的意義， 體會(huì)數(shù)形結(jié)合在實(shí)際中的應(yīng)用 學(xué)生活動(dòng)：在教師的引導(dǎo)下利用列表、描點(diǎn)、連線作出兩函數(shù)的圖象，然后根據(jù)教師 的引導(dǎo)從多方面比較兩個(gè)函數(shù)的圖象的相同點(diǎn)與不同點(diǎn) 生：函數(shù) y6x 與 y6x5 中，自變量 x 可以是任意實(shí)數(shù)，列表表示幾組對(duì)應(yīng)值， 如下表所示： x 21 012 y6x 1260 612 y6x5 1715 17 畫出函數(shù) y6x 與 y6x5 的圖象，如下圖所示： 結(jié)果：這兩個(gè)函數(shù)的圖象形狀都是_，并且傾斜程度_函數(shù) y6x 的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，函數(shù) y6x5 的圖象與 y 軸交于點(diǎn)_，即它可以看作由直線 y6x 向_平移_個(gè)單位長(zhǎng)度而得到 結(jié)論：一次函數(shù) ykxb 的圖象是一條直線，我們稱它為直線 ykxb，它可以看 作是由直線 ykx 平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度而得到的(當(dāng) b0 時(shí)，向上平移；當(dāng) b0 時(shí)，向下 平移) 既然一次函數(shù)的圖象是一條直線，所以今后畫一次函數(shù)的圖象時(shí)，只要取兩點(diǎn)，再過(guò) 這兩點(diǎn)畫直線即可 活動(dòng)二 活動(dòng)內(nèi)容設(shè)計(jì)：畫出函數(shù) yx1，yx1，y2x1，y2x1 的圖象由它 13 們聯(lián)想：一次函數(shù)解析式 ykxb(k，b 是常數(shù)，k0)中，k 的正負(fù)對(duì)函數(shù)圖象有什么影 響？ 目的：引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)圖象的特征入手，尋求變量數(shù)值的變化規(guī)律與解析式中 k 值的 聯(lián)系 圖象規(guī)律： 當(dāng) k0 時(shí)，直線 ykxb 由左至右上升； 當(dāng) k0 時(shí)，直線 ykxb 由左至右下降 函數(shù)的性質(zhì)： 當(dāng) k0 時(shí)，y 隨 x 的增大而增大； 當(dāng) k0 時(shí)，y 隨 x 的增大而減小 活動(dòng)三 在同一直角坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)的圖象，并歸納 ykxb(k，b 是常數(shù)，k0)中 b 對(duì)函數(shù)圖象的影響 1yx1，yx，yx1. 2y2x1，y2x，y2x1. 過(guò)程與結(jié)論： b 的值決定直線 ykxb 與 y 軸交點(diǎn)的位置 當(dāng) b0 時(shí)，交點(diǎn)在原點(diǎn)上方； 當(dāng) b0 時(shí)，交點(diǎn)即原點(diǎn)； 當(dāng) b0 時(shí)，交點(diǎn)在原點(diǎn)下方 三、鞏固練習(xí) 1直線 y2x3 與 x 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為_，與 y 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為_，圖 象經(jīng)過(guò)第_象限，y 隨 x 的增大而_ 【答案】( ，0) (0，3) 一、三、四 增大 3 2 2在同一直角坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)的圖象，并指出它們的共同之處 y x1，yx1，y2x1，yx1. 1 2 【答案】略 四、課堂小結(jié) 本節(jié)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的圖象特征以及與之對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的性質(zhì)，并學(xué)會(huì)了畫圖象的 簡(jiǎn)單方法，進(jìn)而利用數(shù)形結(jié)合的探究方法尋求出一次函數(shù)的圖象特征與解析式的聯(lián)系，這 使我們對(duì)一次函數(shù)知識(shí)的理解和掌握更透徹，也體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要 性 上節(jié)課學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的一般形式，本節(jié)課學(xué)習(xí)它的圖象，并讓學(xué)生觀察圖象，自己 探索、總結(jié)出一次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)中 k 值對(duì)函數(shù)圖象的影響，培養(yǎng)了學(xué)生觀察、 思考、歸納總結(jié)的能力，對(duì)他們合作交流能力的提高也有幫助 14 第 3 3 課時(shí) 一次函數(shù)(3 3) 會(huì)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式 重點(diǎn) 用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式 難點(diǎn) 靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 師：一次函數(shù)的一般形式 ykxb(k0)，如果知道了 k 和 b 的值，這個(gè)解析式就知 道了，那么還需要怎樣的條件才能求出 k，b 呢？ 已知一個(gè)一次函數(shù) ykxb(k0，b 為常數(shù))，我們可以將它改為一般形式，再分別 把 x，y 的對(duì)應(yīng)值代入，求出 k，b 就可以了 二、講授新課 【例 1】已知一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(3，5)與(4，9)，求當(dāng) x3 時(shí)函數(shù) y 的值 師：題目要求當(dāng) x3 時(shí)函數(shù) y 的值必須先求出什么？ 生：函數(shù)關(guān)系式 師：而求函數(shù)關(guān)系式我們像上面那樣解決即可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為 ykxb(k0)，把 (3，5)與(4，9)代入得解這個(gè)方程組得所以這個(gè)函數(shù)的關(guān)系 3kb5， 4kb9.) k2， b1.) 式為 y2x1.當(dāng) x3 時(shí)，y3217. 師：這個(gè)題目是先根據(jù)定義設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為 ykxb，再根據(jù)已知條件確定解 析式中未知數(shù) k 和 b，從而寫出具體式子，像這種求函數(shù)解析式的方法叫做待定系數(shù)法 【例 2】已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，寫出它的關(guān)系式 師：要求一次函數(shù)的關(guān)系式，可以事先設(shè)函數(shù)解析式為 ykxb(k0，b 為常數(shù))， 再要求具體的 k 和 b 必須知道“兩個(gè)條件”列出方程組才行這個(gè)題目知道兩個(gè)條件嗎？ 生：知道該圖象與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3) 師：這樣一來(lái)，我們就可以輕松求解 設(shè)所求的一次函數(shù)關(guān)系式為 ykxb(k0)，把點(diǎn)(2，0)，(0，3)的坐標(biāo)代入解析 式得解得所以所求的一次函數(shù)的關(guān)系式為 y x3. 2kb0， b3， ) k3 2， b3，) 3 2 師：剛才所講的是利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，這節(jié)課還有一個(gè)重要內(nèi)容就是 在實(shí)際問(wèn)題中根據(jù)題目意思求一次函數(shù)解析式 【例 3】教材第 94 頁(yè)例 5 三、鞏固練習(xí) 1已知一次函數(shù) ykx2，當(dāng) x5 時(shí) y 的值為 4，求 k 的值 【答案】k 2 5 2已知直線 ykxb 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(9，0)和點(diǎn)(24，20)，求 k，b 的值 【答案】k ，b12 4 3 15 3生物學(xué)家研究表明，某種蛇的長(zhǎng)度 y(cm)是其尾長(zhǎng) x(cm)的一次函數(shù)，當(dāng)蛇的尾長(zhǎng) 為 6 cm時(shí)，蛇的長(zhǎng)為 45.5 cm；當(dāng)蛇的尾長(zhǎng)為 14 cm時(shí)，蛇的長(zhǎng)為 105.5 cm.當(dāng)一條蛇的 尾長(zhǎng)為 10 cm時(shí)，這條蛇的長(zhǎng)度是多少？ 【答案】75.5 cm 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課，我們討論了一次函數(shù)解析式的求法求一次函數(shù)的解析式往往用待定系數(shù)法， 即根據(jù)題目中給出的兩個(gè)條件確定一次函數(shù)的解析式 ykxb(k0，b 為常數(shù))中兩個(gè)待 定系數(shù) k 和 b 的值；另外在實(shí)際問(wèn)題中我們往往根據(jù)題意求函數(shù)的解析式 本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了待定系數(shù)法及一次函數(shù)的應(yīng)用由前面的學(xué)習(xí)知道兩點(diǎn)確定一條直 線，已知兩點(diǎn)怎樣確定這條直線即怎樣求它的解析式，這節(jié)課帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)了待定系數(shù)法 這一有效工具，并應(yīng)用它解決了一些實(shí)際問(wèn)題 16 19.2.319.2.3 一次函數(shù)與方程、不等式 第 1 1 課時(shí) 一次函數(shù)與一元一次方程 理解并掌握一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系 重點(diǎn) 一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系的理解 難點(diǎn) 靈活運(yùn)用一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系解決問(wèn)題 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 前面我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)一次函數(shù)實(shí)際上是兩個(gè)變量之間符合一定關(guān)系的一種互相 對(duì)應(yīng)、互相依存它與我們七年級(jí)學(xué)過(guò)的一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程 組有著必然的聯(lián)系這節(jié)課開始，我們就來(lái)學(xué)習(xí)用函數(shù)的觀點(diǎn)去看待方程，并充分利用函 數(shù)圖象的直觀性形象地看待方程的求解問(wèn)題這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種很好的思想方法 二、講授新課 我們先來(lái)看下面的問(wèn)題： (1)解方程 2x200； (2)當(dāng)自變量 x 為何值時(shí)，函數(shù) y2x20 的值為零？ 提出問(wèn)題： 對(duì)于 2x200 和 y2x20，從形態(tài)上看，有什么相同和不同的地方？ 從問(wèn)題本質(zhì)上看，(1)和(2)有什么關(guān)系？ 作出直線 y2x20(建議課前作出，以免影響本節(jié)課主題)，看看(1)與(2)是怎樣 的一種關(guān)系？ 師生共同討論并讓學(xué)生在探究過(guò)程中理解兩個(gè)問(wèn)題的同一性 結(jié)論：1.“解一元一次方程 axb0”與“自變量 x 為何值時(shí)，一次函數(shù) yaxb 的值為 0”是同一問(wèn)題 2由于任何一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為 kxb0(k，b 為常數(shù)，k0)的形式，所以解 一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)一次函數(shù)值為 0 時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值從圖象上看，這 相當(dāng)于確定已知直線 ykxb 與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值 師：下面我們一起來(lái)看兩個(gè)問(wèn)題 1以下的一元一次方程問(wèn)題與一次函數(shù)問(wèn)題是同一個(gè)問(wèn)題. 序號(hào)一元一次方程問(wèn)題一次函數(shù)問(wèn)題 1 解方程 3x20 當(dāng) x 為何值時(shí)， y3x2 的值為 0？ 2 解方程 8x30 3 當(dāng) x 為何值時(shí)， y7x2 的值為 0？ 解：(略) 2根據(jù)下列圖象，你能說(shuō)出哪些一元一次方程的解？并直接寫出相應(yīng)方程的解？ 17 解：5x0 的解是 x0；x20 的解是 x2；3x60 的解是 x2；x10 的解是 x1. 三、例題講解 【例】一個(gè)物體現(xiàn)在的速度是 5 m/s，其速度每秒增加 2 m/s，再過(guò)幾秒它的速度為 17 m/s? (用兩種方法求解) 解法一：設(shè)再過(guò) x 秒物體的速度為 17 m/s. 由題意可知：2x517，解得：x6. 解法二：速度 y(m/s)是時(shí)間 x(s)的函數(shù)， 關(guān)系式為：y2x5. 當(dāng)函數(shù)值為 17 時(shí)，對(duì)應(yīng)的自變量 x 的值可通過(guò)解方程 2x517 得到 x6. 解法三：由 2x517 可變形得到：2x120. 從圖象上看，直線 y2x12 與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(6，0)，得 x6. 對(duì)于解法二：還可以拓展成：對(duì)于函數(shù) y2x5，當(dāng) y17 時(shí)，求 x 的值鼓勵(lì)學(xué)生 進(jìn)一步思考 注：例題可看成是一次函數(shù)與一元一次方程關(guān)系的一個(gè)直接應(yīng)用 四、鞏固練習(xí) 1根據(jù)下列圖象，你能寫出哪些一元一次方程的解？ 【答案】方程 x50 的解為 x2；方程 x30 的解為 x3. 5 2 2某登山隊(duì)大本營(yíng)所在地的氣溫為 15，海拔每升高 1 km氣溫下降 6，登山隊(duì)員 18 由大本營(yíng)向上登高多少km時(shí)，他們所在位置的氣溫是3？ 【答案】解：設(shè)登山隊(duì)員由大本營(yíng)所在地向上登高 x km時(shí)，他們所在位置的氣溫是 y.由題意可得 y156x， 令 y3，則 156x3，解得 x3. 故當(dāng)?shù)巧疥?duì)員由大本營(yíng)所在地向上登高 3 km時(shí)，他們所在位置的氣溫是3. 五、課堂小結(jié) 從數(shù)的角度看：求 axb0(a0)的解x 為何值時(shí)，yaxb 的值為 0? 從形的角度看：求 axb0(a0)的解確定直線 yaxb 與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 從數(shù)和形兩方面總結(jié)，幫助學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合的觀念 本節(jié)課從最基本的問(wèn)題“解方程 2x200”與“當(dāng)自變量 x 為何值時(shí)，函數(shù) y2x20 的值為零”是否是同一問(wèn)題入手，揭示了一元一次方程與一次函數(shù)之間的關(guān)系， 然后通過(guò)例題從多方面、多角度來(lái)理解這個(gè)關(guān)系，再通過(guò)練習(xí)進(jìn)一步掌握，應(yīng)該說(shuō)能收到 較好的效果 第 2 2 課時(shí) 一次函數(shù)與一元一次不等式 通過(guò)作函數(shù)圖象并觀察函數(shù)圖象，從中體會(huì)一元一次不等式與一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系 重點(diǎn) 一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系 難點(diǎn) 根據(jù)函數(shù)圖象觀察不等式的解集 一、提出問(wèn)題，引入新課 師：通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道“解一元一次方程 axb0”與“求當(dāng) x 為何 值時(shí)，yaxb 的值為 0”是同一個(gè)問(wèn)題，現(xiàn)在我們來(lái)看看： 1以下兩個(gè)問(wèn)題是不是同一個(gè)問(wèn)題？ (1)解不等式：2x40； (2)當(dāng) x 為何值時(shí)，函數(shù) y2x4 的值大于 0? 2如何利用圖象來(lái)說(shuō)明問(wèn)題(2)? 3 “解不等式 2x40”與怎樣的一次函數(shù)問(wèn)題是相同的？怎樣在圖象上加以說(shuō)明？ 二、講授新課 師：以上兩個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是同一問(wèn)題 從圖象上來(lái)看直線 y2x4 在 x 軸上方的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的 x 的取值范圍就是函數(shù) y2x4 的值大于 0 時(shí) x 的取值范圍，也就是不等式 2x40 的解集 師：請(qǐng)大家用同樣的方法談?wù)勀銈儗?duì)第 3 小題的看法和見解 生：“不等式 2x40 的解集”與“當(dāng) x 為何值時(shí)，函數(shù) y2x4 的值小于 0？” 是同一問(wèn)題，求不等式 2x40 的解集就是求直線 y2x4 在 x 軸下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的 取值范圍 師：回答正確！下面我們就通過(guò)一些練習(xí)來(lái)鞏固一下 根據(jù)下列一次函數(shù)的圖象，你能求出哪些不等式的解集并直接寫出相應(yīng)不等式的解集？ 解：(1)相關(guān)的不等式如：x30，x30，x30，x30. (2)由圖象可以得出： 19 x30 的解集是 x3；x30 的解集是 x3； x30 的解集是 x3；x30 的解集是 x3. 師：因此我們可以得出結(jié)論：“解不等式 axb0”可轉(zhuǎn)化為“求自變量 x 在什么范 圍內(nèi)，一次函數(shù) yaxb 的值大于 0”進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù) yaxb 的圖象在 x 軸上方時(shí) (或下方時(shí))x 的取值范圍 另外一部分我們一起說(shuō) 師生：“解不等式 axb0”可轉(zhuǎn)化為“求自變量 x 在什么范圍內(nèi)，一次函數(shù) yaxb 的值小于 0”進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求直線 yaxb 在 x 軸下方時(shí) x 的取值范圍 進(jìn)行引申：怎樣用畫圖象的方法解不等式 5x42x10? (讓學(xué)生充分討論，盡量提出多種方法) 生：原不等式可轉(zhuǎn)化為 3x60，此題就是求 3x60 的解集畫出直線 y3x6，找出直線上在 x 軸下方的點(diǎn)，這些點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的 x 的取值范圍就是不等式的解 集 教師出示畫好的圖象，讓學(xué)生求出解集 師：如果不將原不等式轉(zhuǎn)化，能否用圖象法解決呢？ 學(xué)生難以回答，教師進(jìn)一步引導(dǎo) 師：不等式兩邊都可以看成是一次函數(shù)，因而實(shí)際上是比較兩個(gè)一次函數(shù)在 x 取相同 值時(shí)誰(shuí)大的問(wèn)題 左邊對(duì)應(yīng)一次函數(shù) y5x4，右邊對(duì)應(yīng)一次函數(shù) y2x10，實(shí)際上就是說(shuō) x 取何值 時(shí)一次函數(shù) y5x4 的值小于一次函數(shù) y2x10 的值，也就是說(shuō)直線 y5x4 上的點(diǎn) 在直線 y2x10 上的點(diǎn)下方時(shí) x 的取值范圍 下面我們就畫出直線 y5x4 和直線 y2x10，可以看出它們的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2，也就是說(shuō)當(dāng) x2 時(shí)兩函數(shù)值 y 相同亦即兩點(diǎn)的高度相同，繼續(xù)觀察圖象，當(dāng) x2 時(shí)直 線 y5x4 上的點(diǎn)在直線 y2x10 上相應(yīng)點(diǎn)的下方，此時(shí)一次函數(shù) y5x4 的值小于 一次函數(shù) y2x10 的值，即不等式 5x42x10 的解集是 x2. 鞏固練習(xí)：請(qǐng)你在同一坐標(biāo)系內(nèi)，作出函數(shù) y3x4 和 yx3 的圖象，并通過(guò)觀 察圖象求不等式 3x4x3 的解集，與同伴交流 歸納：本節(jié)課從解具體一元一次方程不等式與當(dāng)自變量 x 為何值時(shí)一次函數(shù)的值為 0 這兩個(gè)問(wèn)題入手，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是同一個(gè)問(wèn)題，進(jìn)而得到解方程 kxb0 與求自 變量 x 為何值時(shí)，一次函數(shù) ykxb 值為 0 的關(guān)系，并通過(guò)活動(dòng)確認(rèn)了這個(gè)問(wèn)題在函數(shù)圖 象上的反映經(jīng)歷了活動(dòng)與練習(xí)后讓我們更熟練地掌握了這種方法雖然用函數(shù)解決方程 問(wèn)題未必簡(jiǎn)單，但這種數(shù)形結(jié)合思想在以后的學(xué)習(xí)中有很重要的作用 三、課堂小結(jié) 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)與一元一次不等式之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)了用圖象法解一元一 次不等式，我們感受到用函數(shù)的方法和用數(shù)形結(jié)合的方法解決問(wèn)題有一定的優(yōu)勢(shì)，這對(duì)繼 續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很重要. 本節(jié)課主要探究學(xué)習(xí)一次函數(shù)與一元一次不等式之間的關(guān)系，通過(guò)合作探究、問(wèn)題講 解，讓學(xué)生充分參與到學(xué)習(xí)的探究過(guò)程中，體現(xiàn)了學(xué)生的主體性，取得了良好的教學(xué)效 果 20 第 3 3 課時(shí) 一次函數(shù)與二元一次方程(組) 理解一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，會(huì)用圖象法解二元一次方程組 重點(diǎn) 二元一次方程組的解與兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解 難點(diǎn) 對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解及對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探究 一、回顧舊知，引入新課 我們知道，任何一個(gè)二元一次方程都可以化成 ykxb 的形式，也就是說(shuō)每個(gè)二元一 次方程都對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，于是它也就對(duì)應(yīng)一條直線任何一個(gè)二元一次方程組都可以 看成是兩個(gè)一次函數(shù)的組合，也就對(duì)應(yīng)兩條直線比如可化為 3x5y8， 2xy1 ) (1) y3 5x 8 5， y2x1. ) 對(duì)于(1)，根據(jù)方程組解的意義和函數(shù)的觀點(diǎn)，就是求當(dāng) x 取什么數(shù)值時(shí)，兩個(gè)一次函 數(shù)的 y 值相等？它反映在圖象上，就是求直線 y x 和直線 y2x1 的交點(diǎn)坐 3 5 8 5 標(biāo)這樣我們可以用畫圖象的方法求出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而解二元一次方程組 二、講授新課 想一想：根據(jù)下列圖象，你能說(shuō)出哪些方程組的解？這些解是什么？ (1) (2) (3) 注：此題忽略解方程組與畫圖象這些已會(huì)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生直觀感受本節(jié)課的主題 練一練：利用函數(shù)圖象解方程組： 2xy0， 3x2y7.) 老師分析：這兩個(gè)二元一次方程各對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，也就是各對(duì)應(yīng)一條直線如果 這兩條直線有交點(diǎn)，那么交點(diǎn)坐標(biāo)就是這個(gè)方程組的解 讓學(xué)生自己練習(xí)畫直線，再求出方程組的解 學(xué)生解：由 2xy0 可得 y2x；由 3x2y7 可得 y x . 3 2 7 2 在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出一次函數(shù) y2x 的圖象 l1和 y x 的圖象 l2，如圖所 3 2 7 2 示觀察圖象，得出 l1和 l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2) 所以方程組的解為 2xy0， 3x2y7) x1， y2.) 總結(jié) 1：兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)二元一次方程組的解 再想想：不通過(guò)畫圖象你能求出直線 y3x9 與直線 y2x7 的交點(diǎn)坐標(biāo)嗎？ 21 讓學(xué)生先思考再進(jìn)行討論 師：前面講過(guò)，兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解，如果我們能先求出方程組的解， 它不就是兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)嘛 學(xué)生悄然大悟，連連點(diǎn)頭 讓學(xué)生自己寫出求解過(guò)程 總結(jié) 2：二元一次方程組的解兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo) 【例】教材第 97 頁(yè)問(wèn)題 3 三、舉一反三 1利用函數(shù)圖象解方程組 xy1， 2xy5.) 【答案】 x2， y1 ) 2方程組的解為_，則直線 yx15 和 yx7 的交點(diǎn)坐標(biāo) xy15， xy7 ) 是_ 【答案】(11，4) x11， y4；) 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課通過(guò)分析探究得出結(jié)論：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是由這兩條直線所對(duì)應(yīng)的一次 函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解這主要有兩個(gè)應(yīng)用：一方面可以根據(jù)圖象的交 點(diǎn)坐標(biāo)求出方程組的解；另一方面先求出方程組的解，也就知道了兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)， 這進(jìn)一步體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想 本節(jié)課主要學(xué)習(xí)一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系通過(guò)學(xué)習(xí)探究，加強(qiáng)知識(shí)之間的 聯(lián)系，學(xué)會(huì)融會(huì)貫通，有助于系統(tǒng)地掌握所學(xué)知識(shí)，取得更好的教學(xué)效果 19.319.3 課題學(xué)習(xí) 選擇方案 第 1 1 課時(shí) 選擇方案(1 1) 鞏固一次函數(shù)知識(shí)，靈活運(yùn)用變量關(guān)系解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題 重點(diǎn) 根據(jù)實(shí)際情景中所包含的變量及對(duì)應(yīng)關(guān)系建立函數(shù)模型，并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí) 際問(wèn)題 難點(diǎn) 運(yùn)用一次函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題 一、提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境 做一件事情，有時(shí)有不同的實(shí)施方案比較這些方案，從中選擇最佳方案作為行動(dòng)計(jì) 劃，是非常必要的，在選擇方案時(shí)，往往需要從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行分析，涉及變量的問(wèn)題時(shí)常 用到函數(shù) 大家知道如何運(yùn)用一次函數(shù)的知識(shí)來(lái)解決關(guān)于“選擇最佳方案”的實(shí)際問(wèn)題嗎？好， 下面我們就一起來(lái)探討學(xué)習(xí)這方面的問(wèn)題 二、講授新課 活動(dòng) 怎樣選取上網(wǎng)收費(fèi)方式？ 下表給出A，B，C三種上寬帶網(wǎng)的收費(fèi)方式. 收費(fèi)方式月使用 費(fèi)/元包時(shí)上網(wǎng) 時(shí)間/h超時(shí)費(fèi)/ (元/min) 22 A30250.05 B50500.05 C120 不限時(shí) 選取哪種方式能節(jié)省上網(wǎng)費(fèi)？ 分析：在方式A，B中，上網(wǎng)時(shí)間是影響上網(wǎng)費(fèi)的變量；在方式C中，上網(wǎng)費(fèi)是常量 設(shè)月上網(wǎng)時(shí)間為 x h，則方案A，B的收費(fèi)金額 y1，y2都是 x 的函數(shù)要比較它們，需 在 x0 的條件下，考慮何時(shí)(1)y1y2，(2)y1y2，(3)y1y2.利用函數(shù)解析式，通過(guò)方程、 不等式或函數(shù)圖象能夠解答上述問(wèn)題在此基礎(chǔ)上，再用其中省錢的方式與方式C進(jìn)行比 較，則容易對(duì)收費(fèi)方式作出選擇 在方式A中，月使用費(fèi) 30 元與包時(shí)上網(wǎng)時(shí)間 25 h是常量考慮收費(fèi)金額時(shí)，要把上 網(wǎng)時(shí)間分為 25 h以內(nèi)和超過(guò) 25