第2講 利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題A組小題提速練一、選擇題1設(shè)函數(shù)f(x)在R上的導函數(shù)為f(x)，且2f(x)xf(x)>x2，下面的不等式在R上恒成立的是()Af(x)>0Bf(x)<0Cf(x)>x Df(x)<x解析：可令f(x)x2，則f(x)滿足條件，驗證各個選項，知B、C、D都不恒成立，故選A.答案：A2對于R上可導的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x1)·f(x)0，則有()Af(0)f(2)<2f(1)Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)>2f(1)Df(0)f(2)2f(1)解析：由題意得，當x1時，f(x)0，當x1時，f(x)0，f(x)的最小值為f(1)，即對任意實數(shù)x，都有f(x)f(1)，f(0)f(1)，f(2)f(1)，f(0)f(2)2f(1)，故選D.答案：D3設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x<0時，f(x)g(x)f(x)g(x)>0，且f(3)0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是()A(3,0)(3，)B(3,0)(0,3)C(，3)(3，)D(，3)(0,3)解析：設(shè)h(x)f(x)g(x)，又h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)>0知x<0時，h(x)為增函數(shù)，又f(x)，g(x)分別是奇函數(shù)和偶函數(shù)，h(x)為奇函數(shù)且在(0，)上為增函數(shù)，且h(3)0，所以f(x)g(x)<0的解集為(，3)(0,3)，故選D.答案：D4已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(x)是f(x)的導函數(shù)，且f(x)<，f(1)1，則不等式f(x)<的解集為()Ax|x<1 Bx|x>1Cx|x<1或x>1 Dx|1<x<1解析：f(x)<，f(x)<.令g(x)f(x)，g(1)，g(x)<g(1)g(x)f(x)<0，g(x)為減函數(shù)，x>1.答案：B5(2018·貴陽模擬)求曲線yx2與直線yx所圍成的封閉圖形的面積，其中正確的是()AS(x2x)dxBS(x2x)dxCS(y2y)dyDS(y2y)dy解析：依題意，在同一坐標系下畫出曲線yx2與直線yx的圖象(圖略)，注意到它們的交點坐標分別為(0,0)與(1,1)，結(jié)合圖形及定積分的幾何意義可知，相應的圖形的面積可用定積分表示為(x2x)dx，選B.答案：B6(2018·合肥模擬)在如圖所示的正方形中隨機投擲10 000個點，則落入陰影部分(曲線C的方程為x2y0)的點的個數(shù)的估計值為()A5 000B6 667C7 500 D7 854解析：S陰影S正方形x2dx1，所以有，解得n6 667，故選B.答案：B7函數(shù)f(x)x2ln x的最小值為()A. B1C0 D不存在解析：f(x)x，且x>0.令f(x)>0，得x>1；令f(x)<0，得0<x<1.f(x)在x1處取得最小值，且f(1)ln 1.答案：A8已知函數(shù)yf(x)是R上的可導函數(shù)，當x0時，有f(x)>0，則函數(shù)F(x)xf(x)的零點個數(shù)是()A0 B1C2 D3解析：當x0時，f(x)>0，當x>0時，xf(x)>0，則h(x)xf(x)在(0，)上為增函數(shù)，且h(0)0，h(x)xf(x)0在(0，)上恒成立，又>0，F(xiàn)(x)>0在(0，)上恒成立，即F(x)在(0，)上無零點當x<0時，xf(x)<0，h(x)xf(x)在(，0)上為減函數(shù)，且h(0)0，h(x)xf(x)>0在(，0)上恒成立，所以F(x)xf(x)在(,0)上為減函數(shù)，當x0時，xf(x)0，則F(x)<0，x時，0，F(xiàn)(x)xf(x)0，F(xiàn)(x)在(，0)上有唯一零點綜上所述，F(xiàn)(x)在(，0)(0，)上有唯一零點，故選B.答案：B9若x，y0，)，不等式4axexy2exy22恒成立，則實數(shù)a的最大值是()A. B1C2 D.解析：exy2exy22ex2(eyey)22(ex21)，當且僅當y0時等號成立由2(ex21)4ax，得2a.令g(x)，則g(x)，可得g(2)0，且在(2，)上，g(x)>0，在0,2上，g(x)<0，故g(x)的最小值為g(2)1，所以2a1，即a.故選D.答案：D10已知常數(shù)a，b，c都是實數(shù)，f(x)ax3bx2cx34的導函數(shù)為f(x)，f(x)0的解集為x|2x3，若f(x)的極小值等于115，則a的值是()A B.C2 D5解析：由題意知，f(x)3ax22bxc0的解集為2,3，且在x3處取得極小值115，故有解得a2.答案：C11設(shè)函數(shù)f(x)在2,2上的最大值為2，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B.C(，0) D.解析：設(shè)y2x33x21(2x0)，則y6x(x1)(2x0)，所以2x<1時y>0，1<x<0時y<0，所以y2x33x21在2,0上的最大值為2，所以函數(shù)yeax在(0,2上的最大值不超過2，當a>0時，yeax在(0,2上的最大值e2a2，所以0<aln 2，當a0時，y12，當a<0時，yeax在(0,2上的最大值小于1，所以實數(shù)a的取值范圍是.答案：D12定義在R上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x)，已知f(x1)是偶函數(shù)，且(x1)f(x)<0.若x1<x2，且x1x2>2，則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系是()Af(x1)<f(x2) Bf(x1)f(x2)Cf(x1)>f(x2) D不確定解析：由(x1)f(x)<0可知，當x>1時，f(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減當x<1時，f(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增因為函數(shù)f(x1)是偶函數(shù)，所以f(x1)f(1x)，f(x)f(2x)，即函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x1.所以，若1x1<x2，則f(x1)>f(x2)；若x1<1，則x2>2x1>1，此時有f(x2)<f(2x1)，又f(2x1)f(x1)，所以f(x1)>f(x2)綜上，必有f(x1)>f(x2)，選C.答案：C二、填空題13定積分dx_.解析：由y得x2y216(y>0)，所以dx表示以原點為圓心，半徑為4的圓的面積的，所以dx××424.答案：414已知函數(shù)f(x)x22axln x，若f(x在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：由題意知f(x)x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立又yx在上單調(diào)遞減，max，2a，即a.答案：15已知函數(shù)f(x)ln x，則函數(shù)g(x)f(x)f(x)在區(qū)間2，e上的最大值為_解析：因為f(x)ln x，所以f(x)，則g(x)f(x)f(x)ln x，函數(shù)g(x)的定義域為(0，)，g(x)>0在x(0，)上恒成立，所以函數(shù)g(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以g(x)在區(qū)間2，e上的最大值g(x)maxg(e)ln e1.答案：116已知yf(x)為R上的連續(xù)可導函數(shù)，且xf(x)f(x)>0，則函數(shù)g(x)xf(x)1(x>0)的零點個數(shù)為_解析：設(shè)F(x)xf(x)，則F(x)f(x)xf(x)>0在R上恒成立，且F(0)0，所以F(x)xf(x)>0在(0，)上恒成立，所以在(0，)上g(x)xf(x)1>1恒成立，則函數(shù)g(x)xf(x)1的零點個數(shù)為0.答案：0B組大題規(guī)范練1已知函數(shù)f(x).(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)求證：exln(x1)x2ln(x1)解析：(1)由已知得f(x)的定義域為x|x0，f(x)，設(shè)g(x)(x1)ex1，則g(x)xex，令g(x)0，得x0，g(x)在(，0)上是減函數(shù)，在(0，)上是增函數(shù)，g(x)g(0)0，f(x)>0，f(x)在(，0)和(0，)上都是增函數(shù)(2)證明：設(shè)h(x)xln(x1)，x>1，則h(x)1，令h(x)0，得x0，h(x)在(1,0)上是減函數(shù)，在(0，)上是增函數(shù)，h(x)h(0)0，即xln(x1)當x>0時，xln(x1)>0，f(x)在(0，)上是增函數(shù)，f(x)f(ln(x1)，即，(ex1)ln(x1)x2.當1<x<0時，0>xln(x1)，f(x)在(，0)上是增函數(shù)，f(x)f(ln(x1)，即，(ex1)ln(x1)x2.當x0時，(ex1)ln(x1)x20.由可知，對一切x>1，均有(ex1)ln(x1)x2，即exln(x1)x2ln(x1)2已知函數(shù)f(x)(aR)，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線與直線xy10垂直(1)試比較2 0162 017與2 0172 016的大小，并說明理由；(2)若函數(shù)g(x)f(x)k有兩個不同的零點x1，x2，證明：x1x2>e2.解析：(1)2 0162 017>2 0172 016.理由如下：依題意得，f(x)，因為函數(shù)f(x)在x1處有意義，所以a1.所以f(1)，又由過點(1，f(1)的切線與直線xy10垂直可得，f(1)1，即1，解得a0.此時f(x)，f(x)，令f(x)>0，即1ln x>0，解得0<x<e；令f(x)<0，即1ln x<0，解得x>e.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e，)所以f(2 016)>f(2 017)，即>，則2 017ln 2 016>2 016 ln 2 017，所以2 0162 017>2 0172 016.(2)證明：不妨設(shè)x1>x2>0，因為g(x1)g(x2)0，所以ln x1kx10，ln x2kx20.可得ln x1ln x2k(x1x2)，ln x1ln x2k(x1x2)，要證x1x2>e2，即證ln x1ln x2>2，也就是k(x1x2)>2，因為k，所以只需證>，即ln>，令t，則t>1，即證ln t>.令h(t)ln t(t>1)由h(t)>0，得函數(shù)h(t)在(1，)上是增函數(shù)，所以h(t)>h(1)0，即ln t>.所以x1x2>e2.3已知函數(shù)f(x)2ln xx22ax(a>0)(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2(x1<x2)，且f(x1)f(x2)2ln 2恒成立，求a的取值范圍解析：(1)由題意知，函數(shù)f(x)的定義域是(0，)，f(x)，令x2ax10，則a24，當0<a2時，0，f(x)0恒成立，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當a>2時，>0，方程x2ax10有兩個不同的實根，分別設(shè)為x3，x4，不妨令x3<x4，則x3，x4，此時0<x3<x4，因為當x(0，x3)時，f(x)>0，當x(x3，x4)時，f(x)<0，當x(x4，)時，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)由(1)得f(x)在(x1，x2)上單調(diào)遞減，x1x2a，x1·x21，則f(x1)f(x2)2ln(x1x2)(x1x22a)2ln2ln，令t，則0<t<1，f(x1)f(x2)2ln tt，令g(t)2ln tt(0<t<1)，則g(t)<0，故g(t)在(0,1)上單調(diào)遞減且g2ln 2，故g(t)f(x1)f(x2)2ln 2g，即0<t，而a2(x1x2)22t2，其中0<t，令h(t)t2，t，所以h(t)1<0在t上恒成立，故h(t)t2在上單調(diào)遞減，從而a2，故a的取值范圍是.4已知f(x)e2xln(xa)(1)當a1時，求f(x)的圖象在點(0,1)處的切線方程；當x0時，求證：f(x)(x1)2x.(2)若存在x00，)，使得f(x0)<2ln(x0a)x成立，求實數(shù)a的取值范圍解析：(1)當a1時，f(x)e2xln(x1)，f(x)2e2x，f(0)1，f(0)213，所以f(x)的圖象在點(0,1)處的切線方程為y3x1.證明：設(shè)F(x)e2xln(x1)(x1)2x(x0)，則F(x)2e2x2(x1)1，則F(x)4e2x22(e2x1)e2x>0，F(xiàn)(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以F(x)F(0)0，F(xiàn)(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以F(x)F(0)0.(2)原問題等價于x00，使得e2x0ln(x0a)x<0，設(shè)u(x)e2xln(xa)x2，則u(x)2e2x2x，u(x)4e2x2>0，u(x)在0，)上單調(diào)遞增，u(x)u(0)2，當a時，u(0)20，u(x)在0，)上單調(diào)遞增，u(x)minu(0)1ln a<0，a>e.當a<時，ln(xa)<ln，設(shè)h(x)xln(x0)，則h(x)1，令h(x)>0x>，令h(x)<00x<，h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，h(x)h0，x>ln.設(shè)g(x)e2xx2(x0)，則g(x)2e2x2x1，g(x)4e2x242>0，g(x)在0，)上單調(diào)遞增，g(x)>g(0)1>0，g(x)在0，)上單調(diào)遞增，g(x)>g(0)>0，e2xx2>x>ln>ln(xa)，當a<時，f(x)>2ln(xa)x2在x0，)上恒成立，不合題意綜上可得，a的取值范圍是(e，)11