課時作業(yè)24正弦定理、余弦定理一、選擇題1ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA，ca2，b3，則a(A)A2 B.C3 D.解析：由題意可得ca2，b3，cosA，由余弦定理，得cosA·，代入數(shù)據(jù)，得，解方程可得a2.2(2019·湖北黃岡質(zhì)檢)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若ab，A2B，則cosB(B)A. B.C. D.解析：由正弦定理，得sinAsinB，又A2B，所以sinAsin2B2sinBcosB，所以cosB.3(2019·成都診斷性檢測)已知銳角ABC的三個內(nèi)角分別為A，B，C，則“sinA>sinB”是“tanA>tanB”的(C)A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：在銳角ABC中，根據(jù)正弦定理，知sinA>sinBa>bA>B，而正切函數(shù)ytanx在(0，)上單調(diào)遞增，所以A>BtanA>tanB.故選C.4(2019·武漢調(diào)研)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若<cosA，則ABC為(A)A鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D等邊三角形解析：根據(jù)正弦定理得<cosA，即sinC<sinBcosA，ABC，sinCsin(AB)<sinBcosA，整理得sinAcosB<0，又三角形中sinA>0，cosB<0，<B<.ABC為鈍角三角形5(2018·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若ABC的面積為，則C(C)A. B.C. D.解析：根據(jù)題意及三角形的面積公式知absinC，所以sinCcosC，所以在ABC中，C.6(2019·河南洛陽高三統(tǒng)考)在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且a2c2acbc，則(B)A. B.C. D.解析：由a，b，c成等比數(shù)列得b2ac，則有a2c2b2bc，由余弦定理得cosA，故A，對于b2ac，由正弦定理得，sin2BsinAsinC·sinC，由正弦定理得，.故選B.二、填空題7在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若角A，B，C依次成等差數(shù)列，且a1，b，則SABC.解析：因為角A，B，C依次成等差數(shù)列，所以B60°.由正弦定理，得，解得sinA，因為0°<A<180°，所以A30°，此時C90°，所以SABCab.8(2019·福州四校聯(lián)考)在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足(ab)sin12，(ab)cos5，則c13.解析：(ab)sin12，(ab)cos5，(ab)2sin2144，(ab)2cos225，得，a2b22ab(cos2sin2)169，a2b22abcosCc2169，c13.9(2019·開封高三定位考試)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，btanBbtanA2ctanB，且a5，ABC的面積為2，則bc的值為7.解析：由正弦定理及btanBbtanA2ctanB，得sinB·sinB·2sinC·，即cosAsinBsinAcosB2sinCcosA，亦即sin(AB)2sinCcosA，故sinC2sinCcosA.因為sinC0，所以cosA，所以A.由面積公式，知SABCbcsinA2，所以bc8.由余弦定理，知a2b2c22bccosA(bc)23bc，代入可得bc7.三、解答題10(2019·惠州市調(diào)研考試)已知ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cosC(acosCccosA)b0.(1)求角C的大?。?2)若b2，c2，求ABC的面積解：(1)2cosC(acosCccosA)b0，由正弦定理可得2cosC(sinAcosCsinCcosA)sinB0，2cosCsin(AC)sinB0，即2cosCsinBsinB0，又0°<B<180°，sinB0，cosC，又0°<C<180°，C120°.(2)由余弦定理可得(2)2a2222×2acos120°a22a4，又a>0，解得a2，SABCabsinC，ABC的面積為.11(2019·重慶市質(zhì)量調(diào)研)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sincos.(1)求cosB的值；(2)若b2a2ac，求的值解：(1)將sincos兩邊同時平方得，1sinB，得sinB，故cosB±，又sincos>0，所以sin>cos，所以(，)，所以B(，)，故cosB.(2)由余弦定理得b2a2c22accosBa2ac，所以ac2acosBca，所以ca，故.12(2018·北京卷)若ABC的面積為(a2c2b2)，且C為鈍角，則B60°；的取值范圍是(2，)解析：ABC的面積SacsinB(a2c2b2)×2accosB，所以tanB，因為0°<B<180°，所以B60°.因為C為鈍角，所以0°<A<30°，所以0<tanA<，所以>2，故的取值范圍為(2，)13(2019·山西八校聯(lián)考)在ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且(ac)2b23ac.(1)求角B的大小；(2)若b2，且sinBsin(CA)2sin2A，求ABC的面積解：(1)由(ac)2b23ac，整理得a2c2b2ac，由余弦定理得cosB，0<B<，B.(2)在ABC中，ABC，即B(AC)，故sinBsin(AC)，由已知sinBsin(CA)2sin2A可得sin(AC)sin(CA)2sin2A，sinAcosCcosAsinCsinCcosAcosCsinA4sinAcosA，整理得cosAsinC2sinAcosA.若cosA0，則A，由b2，可得c，此時ABC的面積Sbc.若cosA0，則sinC2sinA，由正弦定理可知，c2a，代入a2c2b2ac，整理可得3a24，解得a，c，此時ABC的面積SacsinB.綜上所述，ABC的面積為.14(2019·南寧、柳州聯(lián)考)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bc1，b2ccosA0，則當角B取得最大值時，ABC的周長為(A)A2 B2C3 D3解析：解法1：由題意可得，sinB2sinCcosA0，即sin(AC)2sinCcosA0，得sinAcosC3sinCcosA，即tanA3tanC.又cosA<0，所以A為鈍角，于是tanC>0.從而tanBtan(AC)，由基本不等式，得3tanC22，當且僅當tanC時等號成立，此時角B取得最大值，且tanBtanC，tanA，即bc，A120°，又bc1，所以bc1，a，故ABC的周長為2.解法2：由已知b2ccosA0，得b2c·0，整理得2b2a2c2.由余弦定理，得cosB，當且僅當ac時等號成立，此時角B取得最大值，將ac代入2b2a2c2可得bc.又bc1，所以bc1，a，故ABC的周長為2.故選A.15(2019·河南信陽二模)已知a，b，c分別是ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，且滿足(abc)(sinBsinCsinA)bsinC.(1)求角A的大?。?2)設a，S為ABC的面積，求ScosBcosC的最大值解：(1)(abc)(sinBsinCsinA)bsinC，根據(jù)正弦定理，知(abc)(bca)bc，即b2c2a2bc.由余弦定理，得cosA.又A(0，)，所以A.(2)根據(jù)a，A及正弦定理可得2，b2sinB，c2sinC.SbcsinA×2sinB×2sinC×sinBsinC.ScosBcosCsinBsinCcosB·cosCcos(BC)故當即BC時，ScosB·cosC取得最大值.7