第6講 排列、組合、二項(xiàng)式定理一、選擇題1設(shè)i為虛數(shù)單位，則(xi)6的展開(kāi)式中含x4的項(xiàng)為()A15x4B15x4C20ix4 D20ix4解析：(xi)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r1Cx6rir(r0,1,2，6)，令r2，得含x4的項(xiàng)為Cx4i215x4，故選A.答案：A2用0,1，9這十個(gè)數(shù)字可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A243 B252C261 D279解析：0,1,2，9共能組成9×10×10900(個(gè))三位數(shù)，其中無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8648(個(gè))，所以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900648252(個(gè))答案：B3甲、乙兩人要在一排8個(gè)空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則有多少種坐法()A10 B16C20 D24解析：一排共有8個(gè)座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有6個(gè)空座因?yàn)橐竺咳俗笥揖锌兆?，所以?個(gè)空座的中間5個(gè)空中插入2個(gè)座位讓兩人就坐，即有A20種坐法答案：C4二項(xiàng)式9的展開(kāi)式中x的系數(shù)等于()A84 B24C6 D24解析：根據(jù)二項(xiàng)式定理可知，Tr1Cr99令9r1，得r6，所以x的系數(shù)為C6×9384，故選A.答案：A5小明試圖將一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒時(shí)只能取出3瓶或4瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有()A18種 B27種C37種 D212種解析：由題可知，取出酒瓶的方式有3類(lèi)，第一類(lèi)：取6次，每次取出4瓶，只有1種方式；第二類(lèi)：取8次，每次取出3瓶，只有1種方式；第三類(lèi)：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法為C，為35種共計(jì)37種取法故選C.答案：C6已知(1ax)(1x)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為5，則a()A4 B3C2 D1解析：(1x)5中含有x與x2的項(xiàng)為T(mén)2Cx5x，T3Cx210x2，所以x2的系數(shù)為105a5，所以a1，故選D.答案：D7在二項(xiàng)式(12x)n的展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則展開(kāi)式的中間項(xiàng)的系數(shù)為()A960 B960C1 120 D1 680解析：根據(jù)題意，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和也應(yīng)為128，所以在(12x)n的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，即2n256，n8，則(12x)8的展開(kāi)式的中間項(xiàng)為第5項(xiàng)，且T5C(2)4x41 120x4，即展開(kāi)式的中間項(xiàng)的系數(shù)為1 120，故選C.答案：C8若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12，則log2(a1a3a5a11)等于()A27 B28C7 D8解析：取x1得(1)4(13)8a0a1a2a11a12，取x3得(3)4(33)8a0a1a2a11a12，與兩式左、右兩邊分別相減得282(a1a3a5a11)，所以a1a3a5a1127，所以log2(a1a3a5a11)7.答案：C9從8名網(wǎng)絡(luò)歌手中選派4名同時(shí)去4個(gè)地區(qū)演出(每地1人)，其中甲和乙只能同去或同不去，甲和丙不同去，則不同的選派方案共有()A240種 B360種C480種 D600種解析：分兩步，第一步，先選4名網(wǎng)絡(luò)歌手，又分兩類(lèi)，第一類(lèi)，甲去，則乙一定去，丙一定不去，有C10種不同選法，第二類(lèi)，甲不去，則乙一定不去，丙可能去也可能不去，有C15種不同選法，所以不同的選法有101525(種)第二步，4名網(wǎng)絡(luò)歌手同時(shí)去4個(gè)地區(qū)演出，有A24種方案由分步乘法計(jì)數(shù)原理知不同的選派方案共有25×24600(種)答案：D10若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9·(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，則實(shí)數(shù)m的值為()A1或3 B1或3C1 D3解析：令x0，得a0a1a2a9(2m)9，令x2，得a0a1a2a3a9m9，所以(2m)9m939，即m22m3，解得m1或3.答案：A11某學(xué)校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠(yuǎn)地區(qū)的三所中學(xué)進(jìn)行教學(xué)交流，每所中學(xué)至少派一名教師，則不同的分配方法有()A80種 B90種C120種 D150種解析：有兩類(lèi)情況：其中一所學(xué)校3名教師，另兩所學(xué)校各一名教師的分法有CA60種；其中一所學(xué)校1名教師，另兩所學(xué)校各兩名教師的分法有C××A90種所以共有6090150種故選D.答案：D12兩對(duì)夫婦各帶一個(gè)小孩一起到動(dòng)物園游玩，購(gòu)票后排隊(duì)依次入園，為安全起見(jiàn)，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個(gè)小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)為()A48 B36C24 D12解析：分三步：先分派兩位爸爸，必須一首一尾，有A2種排法；兩個(gè)小孩一定要排在一起，將其看成一個(gè)元素，考慮其順序有A2種排法；將兩個(gè)小孩與兩位媽媽進(jìn)行全排列，有A6種排法則共有2×2×624種排法故選C.答案：C二、填空題13若4展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為54，且a>0，則a_.解析：依題意，二項(xiàng)式4的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr1C·()4r·rC·ar·x2r.令2r0得r2.因此，二項(xiàng)式4的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是T3C·a26a254，a29.又a>0，因此a3.答案：314若直線(xiàn)xay10與2xy50垂直，則二項(xiàng)式5的展開(kāi)式中x4的系數(shù)為_(kāi)解析：由兩條直線(xiàn)垂直，得1×2a×(1)0，得a2，所以二項(xiàng)式為5，其通項(xiàng)Tr1C(2x2)5r·r(1)r25rCx103r，令103r4，解得r2，所以二項(xiàng)式的展開(kāi)式中x4的系數(shù)為23C80.答案：8015現(xiàn)有5名教師要帶3個(gè)興趣小組外出學(xué)習(xí)考察，要求每個(gè)興趣小組的帶隊(duì)教師至多2人，但其中甲教師和乙教師均不能單獨(dú)帶隊(duì)，則不同的帶隊(duì)方案有_種(用數(shù)字作答)解析：第一類(lèi)，把甲、乙看作一個(gè)復(fù)合元素，另外3人分成兩組，再分配到3個(gè)小組中，有CA18種；第二類(lèi)，先把另外的3人分配到3個(gè)小組，再把甲、乙分配到其中2個(gè)小組，有AA36種，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得，共有361854種答案：5416從1,3,5,7,9中任取2個(gè)數(shù)，從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若將所有個(gè)位是5的四位數(shù)從小到大排成一列，則第100個(gè)數(shù)是_解析：形如“1××5”，中間所缺的兩數(shù)只能從0,2,4,6中選取，有A12個(gè)形如“2××5”，中間所缺的兩數(shù)是奇偶各一個(gè)，有CCA24個(gè)形如“3××5”，同有A12個(gè)形如“4××5”，同，也有CCA24個(gè)，形如“6××5”，也有CCA24個(gè)，以上5類(lèi)小于7 000的數(shù)共有96個(gè)故第97個(gè)數(shù)是7 025，第98個(gè)數(shù)是7 045，第99個(gè)數(shù)是7 065，第100個(gè)數(shù)是7 205.答案：7 2055