課下層級訓練(六十二)離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布A級基礎強化訓練1已知X的分布列X101P則在下列式子中E(X)；D(X)；P(X0)，正確的個數(shù)是()A0B1C2D3【答案】C由E(X)(1)×0×1×，知正確；由D(X)2×2×2×，知不正確；由分布列知正確2(2018·山東臨沂期末)在如圖所示的正方形中隨機投擲10 000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為()附：若XN(，2)，則P(<X)0.682 6，P(2<X2)0.954 4A2 386B2 718C3 413D4 772【答案】C由曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線可知題圖中陰影部分的面積為P(0<X1)×0.682 60.341 3，又題圖中正方形面積為1，故它們的比值為0.341 3，故落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為0.341 3×10 0003 413.3(2018· 全國卷)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，DX2.4，P(X4)<P(X6)，則p()A0.7B0.6C0.4D0.3【答案】B由題意可知，10位成員中使用移動支付的人數(shù)X服從二項分布，即XB(10，p)，所以DX10p(1p)2.4所以p0.4或0.6又因為P(X4)<P(X6)，所以Cp4(1p)6<Cp6(1p)4，所以p>0.5，所以p0.6.4(2019·福建廈門模擬)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，8，其中X5為標準A，X3為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，假定甲廠的產(chǎn)品都符合相應的執(zhí)行標準已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下表所示：X15678P0.4ab0.1且X1的數(shù)學期望E(X1)6，則a，b的值為_，_【答案】030.2因為E(X1)6，所以5×0.46a7b8×0.16，即6a7b3.2.又由X1的概率分布列得0.4ab0.11，即ab0.5.由解得5(2019·山東濟南模擬)在某項測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(0，2)，若在(，1)內(nèi)取值的概率為0.1，則在(0,1)內(nèi)取值的概率為_【答案】04服從正態(tài)分布N(0，2)，曲線的對稱軸是直線x0.P(1)0.1，P(1)0.1，在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.50.10.4.6(2019·東北三校聯(lián)考)一個袋子中裝有6個紅球和4個白球，假設每一個球被摸到的可能性是相等的從袋子中摸出2個球，其中白球的個數(shù)為，則的數(shù)學期望是_【答案】根據(jù)題意0,1,2，而P(0)，P(1)，P(2)所以E()0×1×2×.7從某校的一次學科知識競賽成績(百分制)中，隨機抽取了50名同學的成績，統(tǒng)計如下：成績分組30，40)40，50)50，60)60，70)70，80)80，90)90，100頻數(shù)3101215622(1)求這50名同學競賽成績的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)根據(jù)頻數(shù)分布表可以認為，本次學科知識競賽的成績Z服從正態(tài)分布N(，196)，其中近似為抽取的50名同學競賽成績的平均數(shù)利用該正態(tài)分布，求P(Z>74)；某班級共有20名同學參加此次學科知識競賽，記X表示這20名同學中成績超過74分的人數(shù)，利用的結(jié)果，求X的數(shù)學期望【答案】解(1)這50名同學競賽成績的平均數(shù)35×45×55×65×75×85×95×60(2)由(1)可知，ZN(60,142)，故P(Z>74)0.158 7由知，某位同學參加此次學科知識競賽的成績超過74分的概率為0.158 7，依題意可知，XB(20,0.158 7)，所以數(shù)學期望E(X)20×0.158 73.1748(2019·山東青島模擬)一個袋中裝有7個除顏色外完全相同的球，其中紅球4個，編號分別為1,2,3,4；藍球3個，編號分別為2,4,6，現(xiàn)從袋中任取3個球(假設取到任一球的可能性相同)(1)求取出的3個球中含有編號為2的球的概率；(2)記為取到的球中紅球的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望【答案】解(1)設A“取出的3個球中含有編號為2的球”，則P(A)(2)由題意得，可能取的值為0,1,2,3，則P(0)，P(1)，P(2)，P(3)所以的分布列為0123P所以E()0×1×2×3×B級能力提升訓練9為了確?！皟蓵逼陂g的安保工作，特舉行安保項目的選拔比賽活動，其中A，B兩個代表隊進行對抗賽，每隊三名隊員，A隊隊員是A1，A2，A3，B隊隊員是B1，B2，B3，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負概率如下表，現(xiàn)按表中對陣方式進行三場比賽，每場勝隊得1分，負隊得0分，設A隊、B隊最后所得總分分別為，且3.對陣隊員A隊隊員勝A隊隊員負A1對B1A2對B2A3對B3(1)求A隊最后所得總分為1的概率；(2)求的分布列，并用統(tǒng)計學的知識說明哪個隊實力較強【答案】解(1)設“A隊最后所得總分為1”為事件A0，P(A0)××××××(2)的所有可能取值為3,2,1,0，P(3)××，P(2)××××××，P(1)，P(0)××，的分布列為0123PE()0×1×2×3×3，E()E()3由于E()E()，故B隊的實力較強10(2019·廣東湛江模擬)為了提高城市空氣質(zhì)量，有效地防治大氣污染，企業(yè)紛紛向“低碳型”經(jīng)濟項目投資某企業(yè)現(xiàn)有100萬元資金可用于投資，如果投資“傳統(tǒng)型”經(jīng)濟項目，一年后可能獲利20%，可能損失10%，也可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為，；如果投資“低碳型”經(jīng)濟項目，一年后可能獲利30%，也可能損失20%，這兩種情況發(fā)生的概率分別為a和b(其中ab1)(1)如果把100萬元投資“傳統(tǒng)型”經(jīng)濟項目，用表示投資收益(投資收益回收資金投資資金)，求的概率分布列及數(shù)學期望E()；(2)a的取值在什么范圍之內(nèi)，才能保證這100萬元投資“低碳型”經(jīng)濟項目的投資收益期望值不低于投資“傳統(tǒng)型”經(jīng)濟項目的投資收益期望值？【答案】解(1)根據(jù)題意知，隨機變量的可能取值為20,0，10，則的分布列為20010P數(shù)學期望為E()20×0×(10)×10(2)設表示把100萬元投資“低碳型”經(jīng)濟項目的收益，則的分布列為3020Pab數(shù)學期望為E()30a20b50a20，依題意，得50a2010，解得a1.所以a的取值范圍是11(2018·天津卷)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查(1)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望；設A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率【答案】解(1)由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為322，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3P(Xk)(k0,1,2,3)所以，隨機變量X的分布列為X0123P隨機變量X的數(shù)學期望E(X)0×1×2×3×設事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則ABC，且B與C互斥由知P(B)P(X2)，P(C)P(X1)，故P(A)P(BC)P(X2)P(X1)所以事件A發(fā)生的概率為 6