第11講空間幾何體考情分析空間幾何體的命題常以三視圖為載體，以幾何體或者組合體的面積、體積等知識(shí)為主線進(jìn)行考查，難度中等，相對穩(wěn)定個(gè)別試題融入對函數(shù)與不等式的考查，難度較大熱點(diǎn)題型分析熱點(diǎn)1空間幾何體的三視圖1.一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖的長度一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣，即“長對正，高平齊，寬相等”2.由三視圖還原直觀圖的思路(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面；(2)根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對應(yīng)的棱的位置；(3)確定幾何體的直觀圖形狀3.多角度、多維度、多方位觀察長方體、三棱錐、四棱錐不同放置的投影，在頭腦中形成較為清晰的模型意象，提升空間想象能力1.(2018·全國卷) 某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A.2 B2 C3 D2答案B解析根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點(diǎn)處，所以所求的最短路徑的長度為2，故選B.2.將正三棱柱截去三個(gè)角(如圖1所示A，B，C分別是GHI三邊的中點(diǎn))得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖(或稱左視圖)為()答案A解析解題時(shí)在題圖2的右邊放扇墻(心中有墻)可得答案為A.1.三視圖與直觀圖相互轉(zhuǎn)化時(shí)，根據(jù)觀察視角的不同，實(shí)虛線的正確使用至關(guān)重要，它是決定幾何體形狀的關(guān)鍵因素2.解題時(shí)可以借助長(正)方體為框架，充分利用正(長)方體中棱與面的垂直關(guān)系進(jìn)行投影.熱點(diǎn)2空間幾何體的表面積與體積(高頻考點(diǎn))1.空間幾何體的常用公式(1)柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積公式S直棱柱側(cè)ch(c為底面周長，h為體高)；S圓柱側(cè)ch(c為底面周長，h為體高)；S正棱錐側(cè)ch(c為底面周長，h為斜高)；S圓錐側(cè)cl(c為底面周長，l為母線)；S正棱臺(tái)側(cè)(cc)h(c，c分別為上，下底面的周長，h為斜高)；S圓臺(tái)側(cè)(cc)l(c，c分別為上，下底面的周長，l為母線)(2)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式V柱Sh(S為底面面積，h為體高)；V錐Sh(S為底面面積，h為體高)；V臺(tái)(SS)h(S，S分別為上，下底面面積，h為體高)(不要求記憶)(3)球的表面積和體積公式S球4R2(R為球的半徑)；V球R3(R為球的半徑)2.求解幾何體的表面積及體積的技巧(1)求三棱錐的體積：等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上；(2)求不規(guī)則幾何體的體積：常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解；(3)求表面積：其關(guān)鍵思想是空間問題平面化 1(2017·全國卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)面是梯形，這些梯形的面積之和為()A.10 B12 C14 D16答案B解析根據(jù)三視圖，得到該幾何體的直觀圖如右圖所示，由圖可知，該幾何體的面AADC和面BBDC是兩個(gè)全等的梯形，因此所求的梯形面積和為2×(24)×2×12，故選B.2.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A8 B4C.84 D4答案A解析該幾何體為一個(gè)半圓柱中間挖去一個(gè)四面體，體積V×22×4××2×4×48.3.(2016·全國卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()A.1836 B5418C.90 D81答案B解析由三視圖可知，該幾何體是以邊長為3的正方形為底面的斜四棱柱(如圖所示)，所以該幾何體的表面積為S2×3×62×3×32×3×5418，故選B.幾何體的表面積與體積的考查，往往是結(jié)合三視圖進(jìn)行的易錯(cuò)點(diǎn)主要有兩個(gè)：(1)不能準(zhǔn)確將三視圖還原幾何體(特別是求面積或者棱長問題)；如第1題和第3題，特別是第3題，題中幾何體為斜四棱柱，俯視圖由上下底面的投影組合而成，因而容易使得還原出現(xiàn)偏差因此，借助長(正)方體準(zhǔn)確還原幾何體的直觀圖是有效的手段(2)應(yīng)用公式不熟練，獲取數(shù)據(jù)信息有誤導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)如第3題中，常誤用左視圖的高，作為幾何體左右側(cè)面的高，從而導(dǎo)致計(jì)算有誤因此求解此類問題時(shí)，一是由三視圖中的大小標(biāo)識(shí)確定該幾何體的各個(gè)度量；二是熟練掌握各類幾何體的表面積和體積公式求解.熱點(diǎn)3多面體與球的切、接問題通常利用球與多面體(棱柱、棱錐)，球與旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐)的內(nèi)接與外切等位置關(guān)系，考察兩個(gè)幾何體的相互聯(lián)系求解這類問題時(shí)，一般過球心及多面體中的接點(diǎn)、切點(diǎn)、球心或側(cè)棱等作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系也可以只畫內(nèi)接、外切的幾何體直觀圖，確定圓心的位置，弄清球的半徑(或直徑)與該幾何體已知量間的關(guān)系，列方程(組)求解(2019·漳州模擬)在直三棱柱A1B1C1ABC中，A1B13，B1C14，A1C15，AA12，則其外接球與內(nèi)切球的表面積的比值為()A. B. C. D29答案A解析如圖1，分別取AC，A1C1的中點(diǎn)G，H，連接GH，取GH的中點(diǎn)O，連接OA，由題意，得A1BB1CA1C，即A1B1C1為直角三角形，則點(diǎn)O為外接球的球心，OA為半徑，則外接球的半徑ROA；如圖2，作三棱柱的中截面，則中截面三角形的內(nèi)心是該三棱柱的內(nèi)切球的球心，中截面三角形的內(nèi)切圓的半徑r1，也是內(nèi)切球的半徑，因?yàn)镽r2，所以其外接球與內(nèi)切球的表面積的比值為.故選A.解決多面體與球的切、接問題時(shí)，利用幾何體與球的空間直觀圖分析問題很難求解，這時(shí)就需要根據(jù)圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，從熟悉的圓的性質(zhì)中找到球的性質(zhì)，從而找到解決問題的關(guān)鍵.熱點(diǎn)4交匯題型立體幾何內(nèi)容與平面解析幾何之間關(guān)系密切，也與函數(shù)、三角、不等式有著千絲萬縷的聯(lián)系近年高考對立體幾何的考察，會(huì)適度與上述內(nèi)容進(jìn)行融合，用代數(shù)的方法思考、解決空間幾何問題交匯點(diǎn)一空間幾何體與函數(shù)、方程及不等式典例1如圖，ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC平面ABC，AB4，EB2.設(shè)ACx，V(x)表示三棱錐BACE的體積，則函數(shù)V(x)的解析式為_，三棱錐BACE體積的最大值為_解析DC平面ABC，DCBE，BE平面ABC.在RtABC中，ACx，BC(0<x<4)，SABCAC·BCx·，V(x)V三棱錐EABCx·(0<x<4)x2(16x2)264，當(dāng)且僅當(dāng)x216x2，即x2時(shí)取等號，當(dāng)x2時(shí)，體積有最大值.答案V(x)x·(0<x<4)空間幾何體與函數(shù)、方程及不等式相交匯問題，常以考查某幾何量的最值為主要方式其解決的常用方法是，找到引起變化的幾何量(線段長或角度)，并建立起所求幾何量與變化量之間的函數(shù)關(guān)系，再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性或均值不等式求解.(2017·全國卷) 如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，DBC，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，F(xiàn)AB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐當(dāng)ABC的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為_答案4解析如圖，連接OD，交BC于點(diǎn)G，由題意，知ODBC，OGBC.設(shè)OGx，則BC2x，DG5x，三棱錐的高h(yuǎn)，SABC×2x×3x3x2，則三棱錐的體積VSABC·hx2··.令f(x)25x410x5，x，則f(x)100x350x4.令f(x)0得x2.當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，故當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得最大值80，則V×4.所以三棱錐體積的最大值為4 cm3.交匯點(diǎn)二空間幾何體與命題典例2(2019·東北三省四市高三第二次模擬)祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”它是中國古代一個(gè)涉及幾何體體積的問題意思是如果兩個(gè)等高的幾何體在同高處截得兩個(gè)幾何體的截面面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等設(shè)A，B為兩個(gè)等高的幾何體，p：A，B的體積不相等；q：A，B在同高處的截面面積不恒等根據(jù)祖暅原理可知，p是q的()A.充分不必要條件 B必要不充分條件 C.充要條件 D既不充分也不必要條件答案A空間幾何體與命題交匯的問題，常在充要條件處設(shè)置障礙解決此類問題的關(guān)鍵，在于明確命題的條件和結(jié)論互推的結(jié)果因其內(nèi)容主要與幾何體的基本概念相結(jié)合，因此解決過程中，一是要明確各基本定義、定理，正確的能進(jìn)行論證；二是利用具體圖形作分析，舉出相應(yīng)的反例.設(shè)平面與平面相交于直線m，直線a在平面內(nèi)，直線b在平面內(nèi)，且bm，則“ ”是“ab”的()A.充分不必要條件 B必要不充分條件C.充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析若，因?yàn)閙，b，bm，所以根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可得b，又a，所以ab；反過來，當(dāng)am時(shí)，因?yàn)閎m，一定有ba，但不能保證b，所以不能推出.故選A.真題自檢感悟1.(2019·全國卷)已知三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PAPBPC，ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，CEF90°，則球O的體積為()A.8 B4 C2 D.答案D解析設(shè)PAPBPC2a，則EFa，F(xiàn)C，EC23a2.在PEC中，cosPEC.在AEC中，cosAEC.PEC與AEC互補(bǔ)，34a21，a，故PAPBPC.又ABBCAC2，PAPBPC，外接球的直徑2R ，R，VR3×3.故選D.2.(2019·全國卷)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有_個(gè)面，其棱長為_答案261解析先求面數(shù)，有如下兩種方法解法一：由“半正多面體”的結(jié)構(gòu)特征及棱數(shù)為48可知，其上部分有9個(gè)面，中間部分有8個(gè)面，下部分有9個(gè)面，共有2×9826個(gè)面解法二：一般地，對于凸多面體，頂點(diǎn)數(shù)(V)面數(shù)(F)棱數(shù)(E)2(歐拉公式)由圖形知，棱數(shù)為48的半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)為24，故由VFE2，得面數(shù)F2EV2482426.再求棱長如圖，作中間部分的橫截面，由題意知該截面為各頂點(diǎn)都在邊長為1的正方形上的正八邊形ABCDEFGH，如圖，設(shè)其邊長為x，則正八邊形的邊長即為半正多面體的棱長連接AF，過H，G分別作HMAF，GNAF，垂足分別為M，N，則AMMHNGNFx.又AMMNNF1，即xxx1.解得x1，即半正多面體的棱長為1.3.(2017·全國卷)已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為_答案36解析如圖，連接OA，OB.由SAAC，SBBC，SC為球O的直徑，知OASC，OBSC.由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OASC，知OA平面SCB.設(shè)球O的半徑為r，則OAOBr，SC2r，三棱錐SABC的體積V×·OA，即9，r3，S球表4r236.專題作業(yè)一、選擇題1.下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是()ABCD答案D解析正方體的三個(gè)視圖均為正方形，因此不符合題意；圓錐的正視圖和側(cè)視圖為全等的等腰三角形，俯視圖為圓，因此滿足條件；三棱臺(tái)的正視圖為梯形，俯視圖為三角形，側(cè)視圖也為梯形，但其腰長與正視圖的腰長不等，故不符合題意；正四棱錐的正視圖和側(cè)視圖為全等的等腰三角形，俯視圖為正方形，所以滿足條件，故選D.2.某幾何體的三視圖，其正視圖、側(cè)視圖均是直徑為2的半圓，俯視圖是直徑為2的圓，則該幾何體的表面積為()A.3 B4 C5 D12答案A解析通過已知可得，本題的幾何體為半球，所以其表面積為半球面積加上一個(gè)大圓面積，即×4×12×123，故選A.3.體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A.12 B. C8 D4答案A解析由題意可知正方體的棱長為2，其體對角線為2即為球的直徑，所以球的表面積為4R2(2R)212，故選A.4.(2019·湖南郴州4月模擬)一只螞蟻從正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到頂點(diǎn)C1的位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻?zhàn)疃膛佬新肪€的正視圖的是()A. B C D答案D解析將正方體進(jìn)行展開(如下圖1所示)，從A走到C1的最短路線有圖中的a，b，c三個(gè)情況將其折疊回正方體(如下圖2所示)，路線為圖中位置，因此在正視圖中線路b滿足圖，線路c滿足圖，線路a沒有滿足條件的正視圖，故選D.5如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐AB1DC1的體積為()A.3 B.C.1 D.答案C解析如題圖，因?yàn)锳BC是正三角形，且D為BC中點(diǎn)，則ADBC.又因?yàn)锽B1平面ABC，AD平面ABC，故BB1AD，且BB1BCB，BB1，BC平面BCC1B1，所以AD平面BCC1B1，所以AD是三棱錐AB1DC1的高所以V三棱錐AB1DC11SB1DC1·AD××1.故選C.6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為()A.25 B26 C32 D36答案C解析由三視圖可知，該幾何體是以俯視圖的圖形為底面，一條側(cè)棱與底面垂直的三棱錐如圖，三棱錐ABCD即為該幾何體，且ABBD4，CD2，BC2，則BD2BC2CD2，即BCD90°，故底面外接圓的直徑2rBD4.易知AD為三棱錐ABCD的外接球的直徑設(shè)球的半徑為R，則由勾股定理得4R2AB24r232，故該幾何體的外接球的表面積為4R232.7.等腰直角三角形ABC中，A90°，該三角形分別繞AB，BC所在直線旋轉(zhuǎn)，則2個(gè)幾何體的體積之比為()A.1 B.1C.12 D21答案B解析依題意，得出兩個(gè)幾何體直觀圖如圖1和圖2所示，設(shè)AB1，則BC，可得圖1幾何體的體積V1×1××12，圖2幾何體的體積V22××××2，因此兩個(gè)幾何體的體積之比，故選B.8(2019·遼寧部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體模擬)在一個(gè)密閉透明的圓柱筒內(nèi)裝一定體積的水，將該圓柱筒分別豎直、水平、傾斜放置時(shí)，指出圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀不可能是()A.圓面 B矩形面C.梯形面 D橢圓面或部分橢圓面答案C解析將圓柱桶豎放，水面為圓面；將圓柱桶斜放，水面為橢圓面或部分橢圓面；將圓柱桶水平放置，水面為矩形面，所以圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀不可能是梯形面，故選C.9.已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA平面ABC，SA2，AB1，AC2，BAC60°，則球O的表面積為()A.4 B12 C16 D64答案C解析如圖三棱錐SABC，在ABC中，由余弦定理得，BC2AB2AC22AB·ACcos60°3，AC2AB2BC2，即ABBC.又SA平面ABC，SAAB，SABC，三棱錐SABC可補(bǔ)成分別以AB1，BC，SA2為長、寬、高的長方體，球O的直徑為4，故球O的表面積為4×2216.故選C.10.祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，其意思是：如果兩個(gè)等高的幾何體在同高處截得兩個(gè)幾何體的截面面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等現(xiàn)有以下四個(gè)幾何體：圖是從圓柱中挖去一個(gè)圓錐所得的幾何體；圖、圖、圖分別是圓錐、圓臺(tái)和半球，則滿足祖暅原理的兩個(gè)幾何體為()A B C D答案C解析由圖中所給數(shù)據(jù)，可得幾何體在同高處截得兩個(gè)幾何體的截面面積相等，故選C.11.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為()A. B16 C9 D.答案A解析由圖知，R2(4R)22，R2168RR22，R.S表4R24×，故選A.12.三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為2的球面上，且ABBCCA2，平面PAB平面ABC，則三棱錐PABC體積的最大值是()A.4 B3 C4 D3答案B解析依題意，三棱錐各頂點(diǎn)在半徑為2的球面上，且ABBCCA2，則ABC的截面為球大圓上的三角形，設(shè)圓心為O，AB的中點(diǎn)為N，則ON1.因?yàn)槠矫鍼AB平面ABC，所以三棱錐PABC的體積取最大值時(shí)，PNAB，PN平面ABC，PN，所以三棱錐的最大體積為××(2)2×3，故選B.二、填空題13如圖，三棱柱ABCABC的底面面積為S，高為h，則三棱錐ABBC的體積為_答案Sh解析三棱柱可以分割為體積相等的三個(gè)三棱錐，故三棱錐體積為棱柱體積的.14.(2019·天津高考)已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_答案解析由題意知圓柱的高恰為四棱錐的高的一半，圓柱的底面直徑恰為四棱錐的底面正方形對角線的一半因?yàn)樗睦忮F的底面正方形的邊長為，所以底面正方形對角線長為2，所以圓柱的底面半徑為.又因?yàn)樗睦忮F的側(cè)棱長均為，所以四棱錐的高為 2，所以圓柱的高為1.所以圓柱的體積V2·1.15.已知在三棱錐PABC中，VPABC，APC，BPC，PAAC，PBBC，且平面PAC平面PBC，那么三棱錐PABC外接球的體積為_答案解析根據(jù)題意三棱錐如圖，取PC中點(diǎn)D，連接AD，BD.因?yàn)锳PC，BPC，PAAC，PBBC，所以ADPDCDBD，因此D即為三棱錐外接球球心由直角三角形可得PC2r，PBr，BCr.又因?yàn)槠矫鍼AC平面PBC，ADPC，所以AD平面PCB，故VPABC·AD··PB·BCr3r2，所以外接球的體積為Vr3.16.(2019·全國卷)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型如圖，該模型為長方體ABCDA1B1C1D1挖去四棱錐OEFGH后所得的幾何體其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_g答案118.8解析由題知挖去的四棱錐的底面是一個(gè)菱形，對角線長分別為6 cm和4 cm，故V挖去的四棱錐××4×6×312(cm3)又V長方體6×6×4144(cm3)，所以模型的體積為V長方體V挖去的四棱錐14412132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9118.8(g).- 20 -