考點06 函數(shù)的奇偶性與周期性1下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()Af(x)Bf(x)exCf(x)cos x Df(x)exex【答案】D【解析】對于A，定義域不關于原點對稱，故不是；對于B, f(x)exf(x)，故不是；對于C，f(x)cos(x)cos xf(x)，故不是；對于D，f(x)exex(exex)f(x)，是奇函數(shù)，故選D.2設函數(shù)f(x)xsin x(xR)，則下列說法錯誤的是()Af(x)是奇函數(shù)Bf(x)在R上單調(diào)遞增 Cf(x)的值域為R Df(x)是周期函數(shù)【答案】D【解析】因為f(x)xsin(x)(xsin x)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，故A正確；因為f (x)1cos x0，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，故B正確；f(x)的值域為R，故C正確；f(x)不是周期函數(shù)，故D錯誤3對于函數(shù)f(x)asin xbx3cx1(a，b，cR)，選取a，b，c的一組值計算f(1)，f(1)，所得出的正確結果可能是()A2和1 B2和0C2和1 D2和2【答案】B【解析】設g(x)asin xbx3cx，顯然g(x)為定義域上的奇函數(shù)，所以g(1)g(1)0，所以f(1)f(1)g(1)g(1)22，只有B選項中兩個值的和為2.4已知函數(shù)f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那么ab的值是()ABCD【答案】B【解析】f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x)，b0.又a12a，a，ab.故選B.5已知yf(x)是偶函數(shù)，且當0x1時，f(x)sin x，而yf(x1)是奇函數(shù)，則af(3.5)，bf(7)，cf(12)的大小關系是()Acba BcabCacb Dabc【答案】B【解析】因為yf(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)，因為yf(x1)是奇函數(shù)，所以f(x)f(2x)，所以f(x)f(2x)，即f(x)f(x4)所以函數(shù)f(x)的周期為4，又因為當0x1時，f(x)sin x，所以函數(shù)在0，1上單調(diào)遞增，因為af(3.5)f(3.54)f(0.5)；bf(7)f(78)f(1)f(1)，cf(12)f(1212)f(0)，又因為f(x)在0，1上為增函數(shù)，所以f(0)f(0.5)f(1)，即cab.6已知函數(shù)f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，當x(2,0)時，f(x)2x2，則f(2 019)()A2B2C98D98【答案】B【解析】由f(x4)f(x)知，函數(shù)f(x)的周期為4，則f(2 019)f(504×43)f(3)，又f(3)f(1)，且f(1)2，f(2 019)2.7已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)x22x，若f(2a2)f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，1)(2，) B(1，2)C(2，1) D(，2)(1，)【答案】C【解析】f(x)是奇函數(shù)，當x0時，x0，f(x)(x)22x，f(x)x22x，f(x)x22x.作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖中實線所示，結合圖象可知f(x)是R上的增函數(shù)，由f(2a2)f(a)，得2a2a，解得2a1.8設e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，且當0<x<2時，f(x)ln x，則ef()的值為()A.BCD【答案】D【解析】因為函數(shù)以4為周期，所以ffffln ，所以ef()eln .故選D.9對任意的實數(shù)x都有f(x2)f(x)2f(1)，若yf(x1)的圖象關于x1對稱，且f(0)2，則f(2 019)f(2 020)()A0 B2C3 D4【答案】B【解析】yf(x1)的圖象關于x1對稱，則函數(shù)yf(x)的圖象關于x0對稱，即函數(shù)f(x)是偶函數(shù)令x1，則f(12)f(1)2f(1)，即f(1)f(1)2f(1)0，即f(1)0.則f(x2)f(x)2f(1)0，即f(x2)f(x)，即函數(shù)的周期是2，又f(0)2，則f(2 019)f(2 020)f(1)f(0)022，故選B.10已知偶函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x1)為奇函數(shù)，且f(2)3，則f(5)f(6)的值為()A3B2C2D3【答案】C【解析】依題意f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，且在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，所以f(2)f(2)0，結合圖象可知f(x)>0的解集為(，2)(0,2)故選C.11已知函數(shù)f(x)若af(a)f(a)>0，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1，)B(2，)C(，1)(1，)D(，2)(2，)【答案】B【解析】由題意，偶函數(shù)f(x)在0，)上是減函數(shù)，即不等式f(a)f(x)對任意x1,2恒成立，即不等式f(|a|)f(|x|)對任意x1,2恒成立，所以|a|x|對任意x1,2恒成立，所以|a|1，則1a1.故選B.12已知函數(shù)f(x)對任意xR，都有f(x6)f(x)0，yf(x1)的圖象關于點(1,0)對稱，且f(2)4，則f(2 014)()A0 B4C8 D16【答案】B【解析】由題意可知，函數(shù)f(x)對任意xR，都有f(x6)f(x)，f(x12)f (x6)6f(x6)f(x)，函數(shù)f(x)的周期T12.把yf(x1)的圖象向左平移1個單位得yf(x11)f(x)的圖象，關于點(0,0)對稱，因此函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，f(2 014)f(167×1210)f(10)f(1012)f(2)f(2)4.故選B.13已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x3)f(x)，在區(qū)間上是增函數(shù)，且函數(shù)yf(x3)為奇函數(shù)，則()Af(31)f(84)f(13)Bf(84)f(13)f(31)Cf(13)f(84)f(31)Df(31)f(13)f(84)【答案】A.【解析】根據(jù)題意，函數(shù)f(x)滿足f(x3)f(x)，則有f(x6)f(x3)f(x)，則函數(shù)f(x)為周期為6的周期函數(shù)若函數(shù)yf(x3)為奇函數(shù)，則f(x)的圖象關于點(3，0)成中心對稱，則有f(x)f(6x)，又由函數(shù)的周期為6，則有f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)又由函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)，f(84)f(14×60)f(0)，f(31)f(15×6)f(1)，f(13)f(12×6)f(1)，則有f(1)f(0)f(1)，即f(31)f(84)f(13)，故選A.14已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，且當0<x<1時，f(x)9x，則ff(2)_.【答案】3【解析】函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，ffff.又當0<x<1時，f(x)9x，f93.又f(2)f(0)0，ff(2)3.15定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在0，2上為增函數(shù)，若方程f(x)m(m0)在區(qū)間8，8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4的值為_【答案】8【解析】因為f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，由f(x4)f(x)可得f(x2)f(x6)f(x2)，因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(x2)f(x2)f(2x)，所以f(x)的圖象關于直線x2對稱，結合f(x)在0，2上為增函數(shù)，可得函數(shù)f(x)的大致圖象如圖，由圖看出，四個交點中的左邊兩個交點的橫坐標之和為2×(6)，另兩個交點的橫坐標之和為2×2，所以x1x2x3x48.16若函數(shù)f(x)ax2bx1是定義在1a,2a上的偶函數(shù)，則f(2ab)_.【答案】5【解析】函數(shù)f(x)ax2bx1是定義在1a,2a上的偶函數(shù)，1a2a0，即a1.f(x)f(x)，ax2bx1ax2bx1，b0，即f(x)x21.則f(2ab)f(2)5.17已知函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，且x>0時， f(x)1，則當x<0時， f(x)_.【答案】1 【解析】f(x)為奇函數(shù)，且x>0時， f(x)1，當x<0時，即x>0，有 f(x)f(x)(1)，即x<0時， f(x)(1)1.18已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)x22x.若f(2a2)f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是_【答案】(2,1) 【解析】f(x)是奇函數(shù)，當x0時， f(x)x22x.做出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，結合圖象可知f(x)是R上的增函數(shù)由f(2a2)f(a)，得2a2a，解得2a1.19已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求實數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍【答案】【解析】(1)設x<0，則x>0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，于是x<0時， f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上單調(diào)遞增，結合f(x)的圖象(如圖所示)知所以1a3，故實數(shù)a的取值范圍是(1,320已知函數(shù)f(x)的定義域為Dx|x0，且滿足對任意x1，x2D，有f(x1·x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結論；(3)如果f(4)1，f(x1)<2, 且f(x)在(0，)上是增函數(shù)，求x的取值范圍【答案】(1) 0 (2) f(x)為偶函數(shù) (3) (15,1)(1,17)【解析】(1)對于任意x1，x2D，有f(x1·x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)f(x)為偶函數(shù)證明：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)為偶函數(shù)(3)依題意有f(4×4)f(4)f(4)2，又由(2)知， f(x)是偶函數(shù)，f(x1)<2f(|x1|)<f(16)f(x)在(0，)上是增函數(shù)，0<|x1|<16，解得15<x<17且x1.x的取值范圍是(15,1)(1,17)21定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，f(x2)f(x)且f(x)在1，0上是增函數(shù)，給出下列幾個命題：f(x)是周期函數(shù)；f(x)的圖象關于x1對稱；f(x)在1，2上是減函數(shù)；f(2)f(0)，其中正確命題的序號是_(請把正確命題的序號全部寫出來)【答案】【解析】f(xy)f(x)f(y)對任意x，yR恒成立令xy0，所以f(0)0.令xy0，所以yx，所以f(0)f(x)f(x)所以f(x)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)因為f(x)在x1，0上為增函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)在0，1上為增函數(shù)由f(x2)f(x)f(x4)f(x2)f(x)，所以周期T4，即f(x)為周期函數(shù)f(x2)f(x)f(x2)f(x)又因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(2x)f(x)，所以函數(shù)關于x1對稱由f(x)在0，1上為增函數(shù)，又關于x1對稱，所以f(x)在1，2上為減函數(shù)由f(x2)f(x)，令x0得f(2)f(0)f(0)7