專題03三角函數圖像與性質一、本專題要特別小心：1.圖象的平移（把系數提到括號的前邊后左加右減）2. 圖象平移要注意未知數的系數為負的情況3. 圖象的橫坐標伸縮變換要注意是加倍還是變?yōu)閹追种畮?.五點作圖法的步驟 5.利用圖象求周期6.已知圖象求解析式二【學習目標】1.掌握正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象.2.會用“五點法”畫函數yAsin(x)的圖象，理解A，的物理意義.3.掌握函數yAsin(x)與ysin x圖象間的變換關系.4.會由函數yAsin(x)的圖象或圖象特征求函數的解析式.三【方法總結】1.五點法作圖時要注意五點的選取，一般令x分別取0，2，算出相應的x值，再列表、描點、作圖.2.函數圖象變換主要分平移與伸縮變換，要注意平移與伸縮的多少與方向，并要注意變換的順序.3.給出yAsin(x)的圖象，求它的解析式，由最高點或最低點求A值；常由尋找“五點法”中的第一個零點作為突破口，求值，由周期求值.四【題型方法規(guī)律總結】（一）與的求法例1.若，函數的圖像向右平移個單位長度后關于原點對稱，則的最小值為（ ）ABCD【答案】B【解析】函數的圖像向右平移個單位長度后，對應圖像的解析式為，因為的圖像關于原點對稱，所以，故，因，故的最小值為，故選B.練習1。已知函數，若是圖象的一條對稱軸，是圖象的一個對稱中心，則（ ）AB CD 【答案】C【解析】因為是圖象的一條對稱軸，所以，又因為是圖象的一個對稱中心，所以，得，所以可以表示為：，已知，所以是從1開始的奇數，對照選項，可以選C.練習2.函數（，）的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）ABCD【答案】A【解析】，則有 ，代入得 ，則有， ， ，又， 故答案選A練習3.已知函數，當時，的最小值為，若將函數的圖象向右平移個單位后所得函數圖象關于軸對稱，則的最小值為ABCD【答案】C【解析】由題可得，因為當時，的最小值為，所以函數的最小正周期，則，解得，所以，將函數的圖象向右平移個單位后，得到函數的圖象，因為函數的圖象關于軸對稱，所以，解得，因為，所以的最小值為故選C（二）由函數性質求解析式例2. 已知函數的圖象經過兩點， 在內有且只有兩個最值點，且最大值點大于最小值點，則（ ）ABCD 【答案】D【解析】根據題意可以畫出函數的圖像大致如下因為，由圖可知， 又因為，所以，所以，因為，由圖可知，解得，又因為，可得，所以當時，所以，故答案選D.練習1.已知函數的圖像過兩點在內有且只有兩個極值點，且極大值點小于極小值點，則（ ）AB CD 【答案】C【解析】由已知得，所以或.當時，所以.若時，在有一個極大值點，不符合題意；若時，在內極大值點為，小于極小值點，符合題意；當時，所以.若時，在有一個極小值點，不符合題意；若時，在極小值點和極大值點，不符合題意.綜上所述：應選C.（三）的圖象與性質例3. 已知函數，則下列結論中正確的個數是（）的圖象關于直線對稱；將的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象；是圖象的對稱中心；在上單調遞增A1B2C3D4【答案】A【解析】由題意，函數，中，由不為最值，則的圖象不關于直線對稱，故錯；中，將的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象，故對；中，由，可得不是圖象的對稱中心，故錯；中，由，解得，即增區(qū)間為， 由，解得，即減區(qū)間為，可得在上單調遞減，故錯故選：A練習1.已知函數，其圖象相鄰兩條對稱軸之間距離為，將函數的向右平移個單位長度后，得到關于軸對稱，則（ ）A的關于點對稱B的圖象關于點對稱C在單調遞增D在單調遞增【答案】C【解析】函數，其圖象相鄰兩條對稱軸之間距離為，.將函數的向右平移個單位長度后，可得的圖象，根據得到的圖象關于軸對稱，可得，.當時，故的圖象不關于點對稱，故A錯誤；當時，故的圖象關于直線對稱，不不關于點對稱，故B錯誤；在上，單調遞增，故C正確；在上，單調遞減，故D錯誤，故選：C練習2. 將函數的圖象向右平移個單位長度得到圖像，則下列判斷錯誤的是（ ）A函數的最小正周期是B圖像關于直線對稱C函數在區(qū)間上單調遞減D圖像關于點對稱【答案】C【解析】由題意，將函數的圖象向右平移個單位長度，可得，對于,函數的最小正周期為，所以該選項是正確的； 對于，令，則為最大值，函數圖象關于直線，對稱是正確的；對于中，則，則函數在區(qū)間上先減后增，不正確；對于中，令，則，圖象關于點對稱是正確的，故選：練習3把函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，若在上的值域為，則的值是（ ）A0BCD【答案】D【解析】把函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，又，則，當時，g(x)的最大值為4，若g(x)的最小值為-2，則分析得，所以.練習4.已知函數的部分圖像如圖所示，現將圖像上所有點向左平移個單位長度得到函數的圖像，則（ ）A在上是增函數B在上是增函數C在上是增函數D在上是增函數【答案】D【解析】由圖象得，則又， ， 當時，此時不單調，可知錯誤；當時，此時不單調，可知錯誤；當時，此時不單調，可知錯誤；當時，此時單調遞增，可知正確.本題正確選項：（四）的圖象與性質例4. 已知函數圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象若函數為奇函數，則函數在區(qū)間上的值域是（ ）ABCD【答案】A【解析】由相鄰兩條對稱軸之間的距離為，可知最小正周期為即： 向左平移個單位長度得： 為奇函數 ，即：，又 當時， 本題正確選項：練習1.已知函數的最小正周期為，若函數在上單調遞減，則的最大值是（ ）ABCD【答案】B【解析】，令，解得，則函數在上單調遞減，故的最大值是.故選B.練習2已知函數的最小正周期為，且對，恒成立，若函數在上單調遞減，則的最大值是（ ）ABCD【答案】B【解析】因為函數的最小正周期為，所以，又對任意的，都使得，所以函數在上取得最小值，則，即，所以，令，解得，則函數在上單調遞減，故的最大值是.練習3.已知函數的圖象的一條對稱軸為，滿足條件，則取得最小值時函數的最小正周期為( )ABCD【答案】D【解析】，即，即，則，則，又直線是函數圖象的一條對稱軸，則，的最小值為，此時函數的最小正周期為.故選D（五）的性質例5已知函數，則下列說法不正確的是（ ）A的最小正周期是B在上單調遞增C是奇函數D的對稱中心是【答案】A【解析】，最小正周期為；單調增區(qū)間為，即，故時，在上單調遞增；定義域關于原點對稱，故為奇函數；對稱中心橫坐標為，即，所以對稱中心為練習1. 已知函數的圖象與直線恰有三個公共點，這三個點的橫坐標從小到大依次為，則（ ）A-2B2C-1D1【答案】D【解析】由題意得，則，易知直線過定點，如圖，由對稱性可知，直線與三角函數圖象切于另外兩個點，則切線方程過點，即，則，.故選D.（六）三角函數與其它函數的綜合例6. 函數的零點的個數是 ( )A2B3C4D5【答案】D【解析】由得,在同一坐標系下畫出函數的圖像，如圖所示，從圖像上看，兩個函數有5個交點，所以原函數有5個零點.故選：D練習1.已知函數的定義域為，對任意的滿足.當時，不等式的解集為( )ABCD【答案】D【解析】由題意構造函數，則，函數在上為增函數，又，不等式的解集為故選D練習2.已知函數，則函數與的圖象在區(qū)間上的交點個數為（ ）ABCD【答案】C【解析】，因為是奇函數，圖像關于原點對稱，所以的圖像關于點對稱，同理可得的圖像也關于點對稱，因為當時，所以在上單調遞增，且，作出和在的圖像可以看出交點個數為5.（七）三角函數與數列綜合例7. 己知函數的零點構成一個公差為的等差數列，把函數的圖像沿軸向左平移個單位，得到函數的圖像，關于函數,下列說法正確的是（）A在上是增函數 B其圖像關于對稱C函數是奇函數 D在區(qū)間上的值域為-2，1【答案】D【解析】可變形為，因為的零點構成一個公差為的等差數列，所以的周期為，故，解得，所以，函數的圖像沿軸向左平移個單位后得到，選項A：，解得：，即函數的增區(qū)間為顯然，故選項A錯誤；選項B：令，解得：，即函數的對稱軸為，不論取何值，對稱軸都取不到，所以選項B錯誤；選項C：的定義域為R，因為，所以函數不是奇函數，故選項C錯誤；選項D：當時，故，根據余弦函數圖像可得，故選項D正確.故本題應選D.練習1.函數的圖象與其對稱軸在y軸右側的交點從左到右依次記為，在點列中存在三個不同的點，使得是等腰直角三角形將滿足上述條件的值從小到大組成的數列記為，則（ ）ABCD【答案】C【解析】由，得，由題意得，即，由是等腰直角三角形，得，即，得，同理是等腰直角三角形得，得.同理是等腰直角三角形得，得 則，故選C.練習2已知函數，若函數的所有零點依次記為，且，則=( )ABCD【答案】C【解析】函數，令得，即的對稱軸方程為.的最小正周期為.當時，可得，在上有31條對稱軸，根據正弦函數的性質可知：函數與的交點有31個，且交點關于對稱，關于對稱，即，將以上各式相加得： 則故選C.（八）三角方程例8.關于x的方程在上有解，則實數m的取值范圍為（ ）ABCD【答案】B【解析】由關于x的方程,在上有解，則函數的圖像與直線y=m在有交點，令t=,則 如圖,則，故選B.練習1.記函數,若曲線上存在點使得,則的取值范圍是（ ）AB CD 【答案】C【解析】，所以，若有解，等價于在上有解，即，也就有在上有解，設，則，由，得為增函數，由，得為減函數，即當時，函數取得極小值同時也取得最小值，則為最大，即，要使在上有解，只需，所以的取值范圍是，故本題選C.（九）三角函數性質綜合應用例9.已知函數的圖象與一條平行于軸的直線有兩個交點，其橫坐標分別為，則（ ）ABCD【答案】B【解析】函數的圖象，對稱軸方程：，又，對稱軸方程：，由圖可得與關于對稱，x1+x22，故選B練習1. 已知函數，動直線與的圖像分別交于點的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】因為為與圖像的交點所以根據輔助角公式，化簡可得因為 所以的取值范圍是 所以選D練習2.如圖是函數的部分圖象，將函數f（x）的圖象向右平移個單位長度得到g（x）的圖象，給出下列四個命題：函數f（x）的表達式為；g（x）的一條對稱軸的方程可以為；對于實數m，恒有；f（x）+g（x）的最大值為2其中正確的個數有（）A1個B2個C3個D4個【答案】B【解析】由圖象知，A2，即T，則，得2，由五點對應法得，則f（x）2sin（2x+），故正確，當x時，f（）2sin0，則函數關于x不對稱，故錯誤，將函數f（x）的圖象向右平移個單位長度得到g（x）的圖象，即g（x）2sin2（x）+2sin2x，當時，g（）2sin（）2為最小值，則是函數g（x）的一條對稱軸，故正確，f（x）+g（x）2sin（2x+）+2sin2x2sinxcos+2cos2xsin+2sin2x3sin2x+cos2x2sin（2x+），則f（x）+g（x）的最大值為2，故錯誤，故正確的是，故選：B練習3若在上是減函數，則的最大值是（ ）ABCD【答案】D【解析】，由輔助角公式可得： 令，解得：，則函數的單調減區(qū)間為，又在上是減函數，則，當時，函數的單調減區(qū)間為， ，解得：，故答案選D。練習4.已知函數，若，且，則的最小值為（ ）ABCD【答案】D【解析】由題得等于函數的零點的2倍，所以的最小值等于函數f(x)的絕對值最小的零點的2倍，令所以,所以所以絕對值最小的零點為，故的最小值為.故選：D 21