2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)30 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 理(含解析)新人教A版
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2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)30 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 理(含解析)新人教A版
課后限時(shí)集訓(xùn)(三十)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和(建議用時(shí):60分鐘)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1已知數(shù)列an滿足3an1an0,a2,則an的前10項(xiàng)和等于()A6(1310)B.(1310)C3(1310) D3(1310)C3an1an0,數(shù)列an是以為公比的等比數(shù)列,a2,a14.由等比數(shù)列的求和公式可得,S103(1310)故選C.2(2019·湘潭模擬)已知等比數(shù)列an中,a53,a4a745,則的值為()A3B5C9D25D設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則a4a7·a5q29q45,所以q5,q225.故選D.3(2019·太原模擬)已知等比數(shù)列an中,a2a5a88,S3a23a1,則a1()A. B C DB設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q1),因?yàn)镾3a1a2a3a23a1,所以q22.因?yàn)閍2a5a8a8,所以a52,即a1q42,所以4a12,所以a1,故選B.4已知數(shù)列an中,an4n5,等比數(shù)列bn的公比q滿足qanan1(n2)且b1a2,則|b1|b2|b3|bn|()A14n B4n1C. D.B由已知得b1a23,q4,bn(3)×(4)n1,|bn|3×4n1,即|bn|是以3為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列|b1|b2|bn|4n1.5(數(shù)學(xué)文化題)九章算術(shù)中有如下問題:“今有蒲生一日,長(zhǎng)三尺莞生一日,長(zhǎng)一尺蒲生日自半;莞生日自倍問幾何日而長(zhǎng)等?”意思是:蒲第一天長(zhǎng)3尺,以后逐日減半;莞第一天長(zhǎng)1尺,以后逐日增加一倍,若蒲、莞長(zhǎng)度相等,則所需時(shí)間約為()參考數(shù)據(jù):lg 20.301 0,lg 30.477 1,結(jié)果精確到0.1A2.2天 B2.4天 C2.6天 D2.8天C設(shè)蒲每天的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列an,其首項(xiàng)a13,公比為,其前n項(xiàng)和為An.設(shè)莞每天的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列bn,其首項(xiàng)b11,公比為2,其前n項(xiàng)和為Bn.則An,Bn.設(shè)蒲、莞長(zhǎng)度相等時(shí)所需時(shí)間約為x天,則,化簡(jiǎn)得2x7,計(jì)算得出2x6,2x1(舍去)所以x12.6.則估計(jì)2.6天后蒲、莞長(zhǎng)度相等故選C.二、填空題6(2019·湖南十校聯(lián)考)若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且5,則_.17法一:設(shè)數(shù)列an的公比為q,由已知得15,即1q25,所以q24,11q411617.法二:由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,S2,S4S2,S6S4,S8S6成等比數(shù)列,若設(shè)S2a,則S45a,由(S4S2)2S2·(S6S4)得S621a,同理得S885a,所以17.7在14與之間插入n個(gè)數(shù)組成等比數(shù)列,若各項(xiàng)之和為,則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_5設(shè)此等比數(shù)列為am,公比為q,則該數(shù)列共有n2項(xiàng)14,q1.由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,得,解得q,an214×n21,即n1,解得n3,該數(shù)列共有5項(xiàng)8在正項(xiàng)等比數(shù)列an中,已知a1a2a34,a4a5a612,an1anan1324,則n_.14設(shè)數(shù)列an的公比為q,由a1a2a34aq3與a4a5a612aq12,可得q93,an1anan1aq3n3324,因此q3n68134q36,所以3n636,即n14.三、解答題9(2018·陜西二模)已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且滿足Sn2ann4.(1)證明:Snn2為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)證明:當(dāng)n1時(shí),由Sn2ann4,得a13.S1124.當(dāng)n2時(shí),Sn2ann4可化為Sn2(SnSn1)n4.即Sn2Sn1n4,Snn22Sn1(n1)2Snn2是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)知,Snn22n1,Sn2n1n2.Tn(22232n1)(12n)2n2n2n24.10已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn2an3n(nN*)(1)求a1,a2,a3的值;(2)是否存在常數(shù),使得an為等比數(shù)列?若存在,求出的值和通項(xiàng)公式an,若不存在,請(qǐng)說明理由解(1)當(dāng)n1時(shí),S1a12a13,解得a13,當(dāng)n2時(shí),S2a1a22a26,解得a29,當(dāng)n3時(shí),S3a1a2a32a39,解得a321.(2)假設(shè)an是等比數(shù)列,則(a2)2(a1)(a3),即(9)2(3)(21),解得3.下面證明an3為等比數(shù)列:Sn2an3n,Sn12an13n3,an1Sn1Sn2an12an3,即2an3an1,2(an3)an13,2,存在3,使得數(shù)列an3是首項(xiàng)為a136,公比為2的等比數(shù)列an36×2n1,即an3(2n1)(nN*)B組能力提升1(2018·合肥一模)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若3Sn2an3n,則a2 018()A22 0181B32 0186C.2 018 D.2 018A因?yàn)閍1S1,所以3a13S12a13a13.當(dāng)n2時(shí),3Sn2an3n,3Sn12an13(n1),所以an2an13,即an12(an11),所以數(shù)列an1是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以an1(2)×(2)n1(2)n,則a2 01822 0181.2已知數(shù)列an滿足a1a2a3an2n2(nN*),且對(duì)任意nN*都有 t,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為_D依題意得,當(dāng)n2時(shí),an2n2(n1)222n1,又a12122×11,因此an22n1,數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和等于,因此實(shí)數(shù)t的取值范圍是.3已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,S3,S9,S6成等差數(shù)列,a2a54,則a8_.2因?yàn)镾3,S9,S6成等差數(shù)列,所以公比q1,整理得2q61q3,所以q3,故a2·4,解得a28,故a88×2.4已知數(shù)列an滿足a15,a25,an1an6an1(n2)(1)求證:an12an是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解(1)證明:an1an6an1(n2),an12an3an6an13(an2an1)(n2)a15,a25,a22a115,an2an10(n2),3(n2),數(shù)列an12an是以15為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列(2)由(1)得an12an15×3n15×3n,則an12an5×3n,an13n12(an3n)又a132,an3n0,an3n是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列an3n2×(2)n1,即an2×(2)n13n.- 5 -