第2課時不等式選講考情分析本部分主要考查絕對值不等式的解法，求含絕對值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對值不等式中參數(shù)的取值范圍，不等式的證明等結合函數(shù)的圖象和性質、恒成立問題及基本不等式、絕對值不等式的應用成為命題的熱點熱點題型分析熱點1含絕對值不等式的解法含絕對值不等式的解法：(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<a；(2)|f(x)|<a(a>0)a<f(x)<a；(3)對形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用絕對值不等式的幾何意義求解已知函數(shù)f(x)|2x4|xa|.(1)當a<2時，f(x)的最小值為1，求實數(shù)a的值；(2)當f(x)|xa4|時，求x的取值范圍解(1)當a<2時，函數(shù)f(x)|2x4|xa|可知，當x2時，f(x)取得最小值，最小值為f(2)a21，解得a3.(2)f(x)|2x4|xa|(2x4)(xa)|xa4|，當且僅當(2x4)(xa)0時，等號成立，所以若f(x)|xa4|，則當a<2時，x的取值范圍是x|ax2；當a2時，x的取值范圍是x|x2；當a>2時，x的取值范圍是x|2xa形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三種解法：(1)分段討論法：利用絕對值號內式子對應方程的根，將數(shù)軸分為(，a，(a，b)，b，)(此處設a<b)三個部分，在每個部分上去掉絕對值符號分別列出對應的不等式組求解，然后取各個不等式組的并集；(2)幾何法：利用|xa|xb|>c的幾何意義：數(shù)軸上到點x1a和x2b的距離之和大于c的全體實數(shù)；(3)圖象法：作出函數(shù)y1|xa|xb|和y2c的圖象，結合圖象求解(2019·太原模擬)已知函數(shù)f(x)|xm|2x1|.(1)當m1時，求不等式f(x)2的解集；(2)若f(x)|2x1|的解集包含，求m的取值范圍解(1)當m1時，f(x)|x1|2x1|，當x1時，f(x)3x22，所以1x；當<x<1時，f(x)x2，所以<x<1；當x時，f(x)23x2，所以0x， (2)由題意可知f(x)|2x1|在上恒成立，當x時，f(x)|xm|2x1|xm|2x1|2x1|2x1，所以|xm|2，即2xm2，則2xm2x，且(2x)max，(2x)min0，因此，m的取值范圍為.熱點2含絕對值不等式的恒成立(存在性)問題1兩個定理定理1：如果a，b是實數(shù)，則|ab|a|b|，當且僅當ab0時，等號成立；定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當且僅當(ab)(bc)0時，等號成立2恒成立問題f(x)>a恒成立f(x)a無解f(x)min>a；f(x)<a恒成立f(x)a無解f(x)max<a.3存在性問題f(x)>a有解f(x)max>a；f(x)<a有解f(x)min<a.(2018·全國卷)設函數(shù)f(x)5|xa|x2|.(1)當a1時，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范圍解(1)當a1時，f(x)所以f(x)0的解集為x|2x3(2)f(x)1等價于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且當x2時等號成立故f(x)1等價于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2，所以a的取值范圍是(，62，)解含參數(shù)絕對值不等式問題的兩種常用方法：(1)將參數(shù)分類討論，將其轉化為分段函數(shù)求解；(2)借助絕對值的幾何意義，先求出f(x)的最值或值域，然后再根據(jù)題目要求，求解參數(shù)的取值范圍(2017·全國卷)已知函數(shù)f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范圍解(1)f(x)當x1時，f(x)1無解；當1x2時，由f(x)1，得2x11，解得1x2；當x2時，由f(x)1，解得x2.所以f(x)1的解集為x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，且當x時，|x1|x2|x2x，故m的取值范圍為.熱點3不等式證明1絕對值不等式的性質：|a|b|a±b|a|b|；2基本不等式定理1：設a，bR，則a2b22ab，當且僅當ab時，等號成立；定理2：如果a>0，b>0，則，當且僅當ab時，等號成立；定理3：如果a>0，b>0，c>0，則，當且僅當abc時，等號成立；定理4：如果a1，a2，an為n個正數(shù)，則 ，當且僅當a1a2an時，等號成立(2019·全國卷)已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc1.證明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.證明(1)因為a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.當且僅當abc1時，等號成立所以a2b2c2.(2)因為a，b，c為正數(shù)，且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)33 3(ab)(bc)(ca)3×(2)×(2)×(2)24.當且僅當abc1時，等號成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.證明不等式常用的方法：(1)比較法作差比較法：a>bab>0，a<bab<0；作商比較法：a>b>0>1且a>0，b>0.(2)分析法從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結為一個已成立的不等式(已知條件或定理等)(3)綜合法從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關性質或定理，經(jīng)過推理論證，推導出所要證明的不等式成立，即“由因導果”的方法(4)反證法的步驟第一步：作出與所證不等式相反的假設；第二步：從條件和假設出發(fā)，應用正確的推理方法，推出矛盾的結論，否定假設，從而證明原不等式成立(2017·全國卷)已知a>0，b>0，a3b32.證明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.證明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因為(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.專題作業(yè)1已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當a2時，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)設a>1，且當x時，f(x)g(x)，求a的取值范圍解(1)當a2時，不等式f(x)<g(x)轉化為|2x1|2x2|x3<0.設函數(shù)y|2x1|2x2|x3其圖象如圖所示由圖象可知，當且僅當x(0,2)時，y<0.所以原不等式的解集為(0,2)(2)因為a>1，則<，所以f(x)|2x1|2xa|當x時，f(x)a1，即a1x3在x上恒成立，所以a13，解得a.所以a的取值范圍是.2(2019·全國卷)設x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，證明：a3或a1.解(1)因為(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，所以由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，當且僅當x，y，z時等號成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值為.(2)證明：因為(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)·(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，所以由已知得(x2)2(y1)2(za)2，當且僅當x，y，z時等號成立所以(x2)2(y1)2(za)2的最小值為.由題設知，解得a3或a1.3(2019·河北省衡水模擬)已知函數(shù)f(x)|2x1|x1|.(1)解不等式f(x)3；(2)若函數(shù)g(x)|2x2018a|2x2019|，若對于任意的x1R，都存在x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)依題意，得f(x)由f(x)3，得或或解得1x1.即不等式f(x)3的解集為x|1x1(2)由(1)知，f(x)minf，g(x)|2x2018a|2x2019|2x2018a2x2019|a1|，則|a1|，解得a，即實數(shù)a的取值范圍為.4(2019·南昌一模)已知函數(shù)f(x)|2x3a2|.(1)當a0時，求不等式f(x)|x2|3的解集；(2)若對于任意實數(shù)x，不等式|2x1|f(x)<2a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)當a0時，不等式可化為|2x|x2|3，得或或解得x或x1，所以當a0時，不等式f(x)|x2|3的解集為1，)(2)對于任意實數(shù)x，不等式|2x1|f(x)<2a恒成立，即|2x1|2x3a2|<2a恒成立因為|2x1|2x3a2|2x12x3a2|3a21|，所以要使原不等式恒成立，只需|3a21|<2a.當a<0時，無解；當0a時，13a2<2a，解得<a；當a>時，3a21<2a，解得<a<1.所以實數(shù)a的取值范圍是.- 8 -