課時(shí)規(guī)范練23解三角形基礎(chǔ)鞏固組1.(2018山西呂梁一模,4)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=,c=3,cos A=,則b=()A.3B.1C.1或3D.無(wú)解2.在ABC中,已知acos A=bcos B,則ABC的形狀是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.(2018湖南長(zhǎng)郡中學(xué)四模,11)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,則角C=()A.B.C.D.4.在ABC中,B=,BC邊上的高等于BC,則cos A=()A.B.C.-D.-5.(2018湖南長(zhǎng)郡中學(xué)五模,11)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且=-,則角A的最大值為()A.B.C.D.6.(2018河北衡水中學(xué)三模,14)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足asin B=bcos A,則sin B-cos C的最大值是. 7.(2018北京,文14)若ABC的面積為(a2+c2-b2),且C為鈍角,則B=;的取值范圍是. 8.如圖所示,長(zhǎng)為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上,另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上,石堤的傾斜角為,則坡度值tan =.9.(2018河北唐山一模,16)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若SABC=,則的最大值是. 10.在ABC中,A=60°,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面積.綜合提升組11.(2018河北衡水中學(xué)考前仿真,11)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=5,ABC的面積SABC=,且b2+c2-a2=accos C+c2cos A,則sin B+sin C=()A.3B.C.D.312.(2018河北衡水中學(xué)月考,12)已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且(a2+b2-c2)·(acos B+bcos A)=abc,若a+b=2,則c的取值范圍為()A.(0,2)B.1,2)C.D.(1,213.(2018河北衡水中學(xué)九模,14)如圖,為了測(cè)量河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)之間的距離,觀察者找到一個(gè)點(diǎn)C,從點(diǎn)C可以觀察到點(diǎn)A、B;找到一個(gè)點(diǎn)D,從點(diǎn)D可以觀察到點(diǎn)A、C;找到一個(gè)點(diǎn)E,從點(diǎn)E可以觀察到點(diǎn)B、C;并測(cè)量得到一些數(shù)據(jù):CD=2,CE=2,D=45°,ACD=105°,ACB=48.19°,BCE=75°,E=60°,則A、B兩點(diǎn)之間的距離為.其中cos 48.19°取近似值 14.(2018湖南長(zhǎng)郡中學(xué)三模,17)在ABC中,B=,BC=2,(1)若AC=3,求AB的長(zhǎng);(2)若點(diǎn)D在邊AB上,AD=DC,DEAC,E為垂足,ED=,求角A的值.創(chuàng)新應(yīng)用組15.(2018江蘇,13)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,ABC=120°,ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c的最小值為. 16.已知島A南偏西38°方向,距島A 3 n mile的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向島北偏西22°方向行駛,問緝私艇朝何方向以多大速度行駛,恰好用0.5 h能截住該走私船?參考答案課時(shí)規(guī)范練23解三角形1.C由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即b2-4b+3=0,解得b=1或b=3.故選C.2.Dacos A=bcos B,sin Acos A=sin Bcos B,sin 2A=sin 2B,A=B,或2A+2B=180°,即A+B=90°,ABC為等腰三角形或直角三角形.故選D.3.Bsin B+sin A(sin C-cos C)=0,sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=0cos Asin C+sin Asin C=0cos A+sin A=0A=,由正弦定理得=sin C=,CC=,選B.4.C(方法一)設(shè)BC邊上的高為AD,則BC=3AD.結(jié)合題意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD,AB=AD.由余弦定理,得cosBAC=-.故選C.(方法二)如圖,在ABC中,AD為BC邊上的高,由題意知BAD=.設(shè)DAC=,則BAC=+.BC=3AD,BD=AD.DC=2AD,AC=AD.sin =,cos =.cosBAC=cos=cos cos-sin sin=(cos -sin )=×=-,故選C.5.A由題意結(jié)合正弦定理得=-,所以tan C=-3tan B,因此B,C中有一鈍角,角A必為銳角,tan A=-tan(B+C)=-=>0,tan B>0,tan A=0<A,即角A的最大值為,選A.6.1由asin B=bcos A,得sin Asin B=sin Bcos A,tan A=1.所以在ABC中,A=.sin B-cos C=sin-cos C=sin C,C,所以sin Cmax=1.7.(2,+)由題意,得SABC=(a2+c2-b2)= acsin B,即=sin B,cos B=sin B,tan B=.B=.A+C=,C=-A>,0<A<.由正弦定理,得=+.0<A<,tan A.>+,即(2,+).8.在ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且+ACB=.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cosACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(-),解得cos =,則sin =,所以tan =.9.2SABC= (a2+b2-2abcos C)= absin C,a2+b2=2ab(sin C+cos C).+=2(sin C+cos C)=2sin2,當(dāng)且僅當(dāng)C=時(shí)取等號(hào).10.解 (1)在ABC中,因?yàn)锳=60°,c=a,所以由正弦定理得sin C=×=.(2)因?yàn)閍=7,所以c=×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面積S=bcsin A=×8×3×=6.11.C(方法一)b2+c2-a2=accos C+c2cos A,cos A=,cos A=,A=.SABC=bcsin A=,bc=25.a2=b2+c2-2bccos A,b2+c2=a2+bc=50,則(b+c)2=100,b+c=10,b=c=5,ABC為等邊三角形,sin B+sin C=.(方法二)b2+c2-a2=accos C+c2cos A,b2+c2-a2=ac·+c2·=bc,cos A=,A=.SABC=bcsin A=,bc=25.a2=b2+c2-2bccos A,b2+c2=a2+bc=50,則(b+c)2=100,b+c=10,b=c=5,ABC為等邊三角形,sin B+sin C=.12.B由題意可得:×=,且cos C=,=1,據(jù)此可得:cos C=,即=,a2+b2-c2=ab,據(jù)此有:c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=4-3ab4-3=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立;三角形滿足兩邊之和大于第三邊,則c<a+b=2,綜上可得:c的取值范圍為1,2).13.依題意知,在ACD中,A=30°,由正弦定理得AC=2.在BCE中,CBE=45°,由正弦定理得BC=3.在ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosACB=10,AB=.14.解 (1)設(shè)AB=x,則由余弦定理有AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,即32=x2+22-2x·2cos,解得x=+1,所以AB=+1.(2)因?yàn)镋D=,所以AD=DC=.在BCD中,由正弦定理可得:=,因?yàn)锽DC=2A,所以=.所以cos A=,所以A=.15.9由題意可知,SABC=SABD+SBCD.由角平分線的性質(zhì)和三角形面積公式得acsin 120°=a×1×sin 60°+c×1×sin 60°,化簡(jiǎn)得ac=a+c, +=1.因此4a+c=(4a+c)=5+5+2=9,當(dāng)且僅當(dāng)c=2a=3時(shí)取等號(hào),故4a+c的最小值為9.16.解 設(shè)緝私艇在C處截住走私船,D為島A正南方向上的一點(diǎn),緝私艇的速度為x n mile/h,則BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依題意,BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sinABC=,所以ABC=38°.又BAD=38°,所以BCAD.故緝私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行駛,恰好用0.5 h截住該走私船.10