第67講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1橢圓mx2ny21與直線y1x交于M，N兩點(diǎn)，原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)的連線的斜率為，則的值是(A)A. B.C2 D. 消去y，得(mn)x22nxn10，所以MN的中點(diǎn)為(，1)依題意，即.2已知雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是(C)A(1,2 B(1,2)C2，) D(2，) 因?yàn)檫^點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率，所以，所以離心率e24，所以e2，即e2，)3已知直線yx2與圓x2y24x30及拋物線y28x依次交于A，B，C，D四點(diǎn)，則|AB|CD|等于(D)A10 B12C14 D16 由題可知直線yx2過圓心(2,0)，拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)由，得x212x40.設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1x212，x1x24，所以|AD|16，故|AB|CD|AD|BC|16214.4(2016·石家莊市一模)過點(diǎn)A(0,1)作直線，與雙曲線x21有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則符合條件的直線的條數(shù)為(C)A0 B2C4 D無數(shù) 直線x0顯然不滿足，設(shè)直線方程為ykx1(k0)，由得(9k2)x22kx100，分兩種情況討論：當(dāng)9k20時(shí)，即k±3時(shí)，令 4k240(9k2)0，解得k±，符合條件；當(dāng)9k20時(shí)，即k±3時(shí)，直線和雙曲線的漸近線平行，也滿足條件所以共有四條直線5拋物線y24x與直線2xym0相交所得的弦長(zhǎng)為3，則m的值為4. 將直線方程代入拋物線方程整理得y22y2m0，所以|AB|y1y2|3，所以m4.6(2016·湖北孝感模擬)若點(diǎn)(3，1)是拋物線y22px(p>0)的一條弦的中點(diǎn)，且這條弦所在直線的斜率為2，則p的值是_2_ 設(shè)以點(diǎn)(3，1)為中點(diǎn)的弦所在的直線交拋物線y22px(p>0)于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則由得yy2p(x1x2)，則，由題意知，kAB2，且y1y22.故kAB2.所以p2.7若拋物線yx22xm與直線y2x相交于不同的兩點(diǎn)A、B.(1)求m的取值范圍；(2)求弦長(zhǎng)AB；(3)求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo) 兩曲線組成的方程組代入得x24xm0， (1)因?yàn)橹本€與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以>0，即424(m)>0，所以m>4.(2)當(dāng)m>4時(shí)，方程有兩實(shí)根x1，x2，由韋達(dá)定理x1x24，x1·x2m，所以|AB|x1x2|·2.(3)設(shè)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則x2，y2·4.所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)8(2018·石家莊二模)傾斜角為的直線經(jīng)過橢圓1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且2，則該橢圓的離心率為(B)A. B.C. D. 由題意可設(shè)直線方程yxc，則消去x，整理得(b2a2)y22b2cyb40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則又2，所以(cx1，y1)2(x2c，y2)，所以y12y2.所以所以，所以e.9平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x1的距離相等若機(jī)器人接觸不到過點(diǎn)P(1，0)且斜率為k的直線，則k的取值范圍是(，1)(1，). 依題意可知機(jī)器人運(yùn)行的軌跡方程為y24x.設(shè)直線l：yk(x1)，聯(lián)立消去y得k2x2(2k24)xk20，由(2k24)24k40，得k21，解得k1或k1.10(2016·全國(guó)卷)已知橢圓E：1的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MANA.(1)當(dāng)t4，|AM|AN|時(shí)，求AMN的面積；(2)當(dāng)2|AM|AN|時(shí)，求k的取值范圍 設(shè)M(x1，y1)，則由題意知y1>0.(1)當(dāng)t4時(shí)，E的方程為1，A(2,0)由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線AM的傾斜角為.因此直線AM的方程為yx2.將xy2代入1得7y212y0.解得y0或y，所以y1.因此AMN的面積SAMN2×××.(2)由題意t>3，k>0，A(，0)將直線AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22·tk2xt2k23t0.由x1·()得x1，故|AM|x1 |.由題設(shè)，直線AN的方程為y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即(k32)t3k(2k1)當(dāng)k時(shí)上式不成立，因此t.t>3等價(jià)于<0，即<0.由此得或解得<k<2.因此k的取值范圍是(，2)5