2020版高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓11 圓錐曲線中的綜合問題 文
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2020版高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓11 圓錐曲線中的綜合問題 文
專題限時集訓(十一)圓錐曲線中的綜合問題(建議用時:40分鐘)1(2019·西安模擬)已知拋物線E:y22px(p0)的焦點為F,x軸上方的點A(2,m)在拋物線E上,且|AF|,直線l與拋物線E交于M,N兩點(點M,N與A不重合),設直線AM,AN的斜率分別為k1,k2.(1)求拋物線E的方程;(2)當k1k22時,求證:直線l恒過定點,并求出該定點的坐標解(1)由拋物線的定義得|AF|2,得p1,所以,拋物線E的方程為y22x.(2)證明:如圖所示,易知直線l的斜率存在且不等于零,設直線l的方程為ykxb,聯(lián)立直線l與拋物線E的方程得k2x2(2kb2)xb20,設M(x1,y1),N(x2,y2),A(2,2),由根與系數(shù)的關系得x1x2,x1x2,k1k22,化簡得出(b1)(b2k2)0,b1或b22k.當b1時,ykx1,過定點(0,1);當b22k時,ykx22kk(x2)2,過定點(2,2),舍去,故直線l恒過定點(0,1)2(2019·馬鞍山二模)已知橢圓C:1(ab0)的右焦點為F,點M在橢圓C上且MF垂直于x軸(1)求橢圓C的方程;(2)設P為橢圓C上的動點,直線PM與x4交于點N,求證:點N到直線PF的距離為定值,并求出這個定值解(1)由題意可得解得a24,b23,故橢圓C的方程為1.(2)證明:設點P的坐標為(x0,y0),由M,可得直線PM的方程為y(x1),將x4,代入可得y,故點N,F(xiàn)(1,0),直線PF的方程為y(x1),即y0x(1x0)yy00.點N到直線PF的距離為3,故N到直線PF的距離為定值,定值為3.3(2019·全國卷)已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:1(ab0)的兩個焦點,P為C上的點,O為坐標原點(1)若POF2為等邊三角形,求C的離心率;(2)如果存在點P,使得PF1PF2,且F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍解(1)連接PF1(圖略)由POF2為等邊三角形可知在F1PF2中,F(xiàn)1PF290°,|PF2|c,|PF1|c,于是2a|PF1|PF2|(1)c,故C的離心率為e1.(2)由題意可知,滿足條件的點P(x,y)存在當且僅當|y|·2c16,·1,1,即c|y|16,x2y2c2,1.由及a2b2c2得y2.又由知y2,故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2),所以c2b2,從而a2b2c22b232,故a4.當b4,a4時,存在滿足條件的點P.所以b4,a的取值范圍為4,)4已知橢圓M:1(a0)的一個焦點為F(1,0),左、右頂點分別為A,B,經過點F的直線l與橢圓M交于C,D兩點(1)求橢圓M的方程;(2)一題多解記ABD與ABC的面積分別為S1和S2,求|S1S2|的最大值解(1)因為F(1,0)為橢圓M的焦點,所以c1,又b,所以a2,所以橢圓M的方程為1.(2)法一:當直線l的斜率不存在時,直線方程為x1,此時ABD與ABC的面積相等,即|S1S2|0.當直線l的斜率存在時,設C(x1,y1),D(x2,y2),直線l的方程為yk(x1)(k0),與橢圓M的方程聯(lián)立,消去y,得(34k2)x28k2x4k2120,0恒成立,且x1x2,x1x2.此時|S1S2|2|y2|y1|2|y1y2|2|k(x11)k(x21)|2|k(x1x2)2k|(當且僅當k±時,取等號),所以|S1S2|的最大值為.法二:設C(x1,y1),D(x2,y2),直線l的方程為xmy1,與橢圓M的方程聯(lián)立,消去x,得(3m24)y26my90,0恒成立,且y1y2,故|S1S2|2|y2|y1|2|y1y2|,當且僅當m±時取等號,所以|S1S2|的最大值為.- 4 -