專題限時集訓(十一)圓錐曲線中的綜合問題(建議用時：40分鐘)1(2019·西安模擬)已知拋物線E：y22px(p0)的焦點為F，x軸上方的點A(2，m)在拋物線E上，且|AF|，直線l與拋物線E交于M，N兩點(點M，N與A不重合)，設直線AM，AN的斜率分別為k1，k2.(1)求拋物線E的方程；(2)當k1k22時，求證：直線l恒過定點，并求出該定點的坐標解(1)由拋物線的定義得|AF|2，得p1，所以，拋物線E的方程為y22x.(2)證明：如圖所示，易知直線l的斜率存在且不等于零，設直線l的方程為ykxb，聯(lián)立直線l與拋物線E的方程得k2x2(2kb2)xb20，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(2,2)，由根與系數(shù)的關系得x1x2，x1x2，k1k22，化簡得出(b1)(b2k2)0，b1或b22k.當b1時，ykx1，過定點(0，1)；當b22k時，ykx22kk(x2)2，過定點(2,2)，舍去，故直線l恒過定點(0，1)2(2019·馬鞍山二模)已知橢圓C：1(ab0)的右焦點為F，點M在橢圓C上且MF垂直于x軸(1)求橢圓C的方程；(2)設P為橢圓C上的動點，直線PM與x4交于點N，求證：點N到直線PF的距離為定值，并求出這個定值解(1)由題意可得解得a24，b23，故橢圓C的方程為1.(2)證明：設點P的坐標為(x0，y0)，由M，可得直線PM的方程為y(x1)，將x4，代入可得y，故點N，F(xiàn)(1,0)，直線PF的方程為y(x1)，即y0x(1x0)yy00.點N到直線PF的距離為3，故N到直線PF的距離為定值，定值為3.3(2019·全國卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的兩個焦點，P為C上的點，O為坐標原點(1)若POF2為等邊三角形，求C的離心率；(2)如果存在點P，使得PF1PF2，且F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍解(1)連接PF1(圖略)由POF2為等邊三角形可知在F1PF2中，F(xiàn)1PF290°，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的離心率為e1.(2)由題意可知，滿足條件的點P(x，y)存在當且僅當|y|·2c16，·1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2得y2.又由知y2，故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，從而a2b2c22b232，故a4.當b4，a4時，存在滿足條件的點P.所以b4，a的取值范圍為4，)4已知橢圓M：1(a0)的一個焦點為F(1,0)，左、右頂點分別為A，B，經過點F的直線l與橢圓M交于C，D兩點(1)求橢圓M的方程；(2)一題多解記ABD與ABC的面積分別為S1和S2，求|S1S2|的最大值解(1)因為F(1,0)為橢圓M的焦點，所以c1，又b，所以a2，所以橢圓M的方程為1.(2)法一：當直線l的斜率不存在時，直線方程為x1，此時ABD與ABC的面積相等，即|S1S2|0.當直線l的斜率存在時，設C(x1，y1)，D(x2，y2)，直線l的方程為yk(x1)(k0)，與橢圓M的方程聯(lián)立，消去y，得(34k2)x28k2x4k2120，0恒成立，且x1x2，x1x2.此時|S1S2|2|y2|y1|2|y1y2|2|k(x11)k(x21)|2|k(x1x2)2k|(當且僅當k±時，取等號)，所以|S1S2|的最大值為.法二：設C(x1，y1)，D(x2，y2)，直線l的方程為xmy1，與橢圓M的方程聯(lián)立，消去x，得(3m24)y26my90，0恒成立，且y1y2，故|S1S2|2|y2|y1|2|y1y2|，當且僅當m±時取等號，所以|S1S2|的最大值為.- 4 -