專題限時(shí)集訓(xùn)(十二)　函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與方程 (建議用時(shí)：40分鐘) 1．已知函數(shù)f(x)＝則f(f(－2))＝(　　) A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1 A　[因?yàn)閒(x)＝ 所以f(－2)＝－(－2)＝2， 所以f(f(－2))＝f(2)＝22＝4.] 2．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇3,6]，則函數(shù)y＝的定義域?yàn)?　　) A. B. C. D. B　[要使函數(shù)y＝有意義， 需滿足即 解得≤x＜2.] 3．[一題多解]設(shè)函數(shù)f(x)＝x3(ax＋m·a－x)(x∈R，a＞0且a≠1)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 A　[法一：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3(ax＋m·a－x)(x∈R，a＞0且a≠1)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)對(duì)任意的x∈R恒成立，所以－x3(a－x＋m·ax)＝x3(ax＋m·a－x)，即x3(1＋m)(ax＋a－x)＝0對(duì)任意的x∈R恒成立，所以1＋m＝0，即m＝－1. 法二：因?yàn)閒(x)＝x3(ax＋m·a－x)是偶函數(shù)，所以g(x)＝ax＋m·a－x是奇函數(shù)，且g(x)在x＝0處有意義，所以g(0)＝0，即1＋m＝0，所以m＝－1.] 4．(2019·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ex－1，則當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝(　　) A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1 D　[當(dāng)x<0時(shí)，－x>0， ∵當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1. 又∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1. 故選D.] 5．已知奇函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，且a＝－f，b＝f(log39.1)，c＝f(20.8)，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b B　[∵f(x)是奇函數(shù)， ∴a＝－f＝f＝f(log310)．又∵log310＞log39.1＞log39＝2＞20.8，且f(x)在R上單調(diào)遞減， ∴f(log310)＜f(log39.1)＜f(20.8)， 即c＞b＞a，故選B.] 6．[易錯(cuò)題]已知函數(shù)f(x)在(－1,1)上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，則滿足f(1－x)＋f(3x－2)＜0的x的取值范圍是(　　) A. B. C. D. B　[由已知得f(3x－2)＜f(x－1)， ∴解得＜x＜1，故選B.] 7．(2019·洛陽(yáng)模擬)函數(shù)f(x)＝的圖象大致為(　　) A　[由題意知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除C、D，又f＝＜0，故排除選項(xiàng)B.] 8．(2019·唐山模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則f(31)＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 C　[由f(x＋1)＝f(1－x)及f(－x)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[1－(x＋1)]＝f(－x)＝－f(x)，則f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，∴f(31)＝f(4×8－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1，故選C.] 9．在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，若函數(shù)f(x)的圖象恰好經(jīng)過(guò)n(n∈N*)個(gè)整點(diǎn)，則稱函數(shù)f(x)為n階整點(diǎn)函數(shù)．給出下列函數(shù)：①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝x；④φ(x)＝ln x. 其中是一階整點(diǎn)函數(shù)的是(　　) A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．④ C　[對(duì)于函數(shù)f(x)＝sin 2x，它的圖象(圖略)只經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)(0,0)，所以它是一階整點(diǎn)函數(shù)，排除D； 對(duì)于函數(shù)g(x)＝x3，它的圖象(圖略)經(jīng)過(guò)整點(diǎn)(0,0)，(1,1)，…，所以它不是一階整點(diǎn)函數(shù)，排除A； 對(duì)于函數(shù)h(x)＝x，它的圖象(圖略)經(jīng)過(guò)整點(diǎn)(0,1)，(－1,3)，…，所以它不是一階整點(diǎn)函數(shù)，排除B.] 10．[易錯(cuò)題]如圖，把圓周長(zhǎng)為1的圓的圓心C放在y軸上，頂點(diǎn)A(0,1)，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A開(kāi)始逆時(shí)針繞圓運(yùn)動(dòng)一周，記＝x，直線AM與x軸交于點(diǎn)N(t,0)，則函數(shù)t＝f(x)的圖象大致為(　　) D　[當(dāng)x由0→時(shí)，t從－∞→0，且單調(diào)遞增，當(dāng)x由→1時(shí)，t從0→＋∞，且單調(diào)遞增，所以排除A，B，C，故選D.] 11．若f(x)＝ex－ae－x為奇函數(shù)，則滿足f(x－1)＞－e2的x的取值范圍是(　　) A．(－2，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(3，＋∞) B　[由f(x)＝ex－ae－x為奇函數(shù)，得f(－x)＝－f(x)，即e－x－aex＝ae－x－ex，得a＝1，所以f(x)＝ex－e－x，則f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(x－1)＞－e2＝f(－2)，所以x－1＞－2，解得x＞－1，故選B.] 12．[易錯(cuò)題]已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)對(duì)任意的x都滿足f(x＋1)＝－f(x)，且當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f(x)＝x，則函數(shù)g(x)＝f(x)－ln|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B　[依題意，可知函數(shù)g(x)＝f(x)－ln|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝ln|x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)． 設(shè)－1≤x＜0，則0≤x＋1＜1， 此時(shí)有f(x)＝－f(x＋1)＝－(x＋1)， 又由f(x＋1)＝－f(x)， 得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)， 即函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)． 而y＝ln|x|＝在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝ln|x|的圖象如圖所示，由圖可知，兩圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)g(x)＝f(x)－ln|x|有3個(gè)零點(diǎn)，故選B. ] 13．已知函數(shù)f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，則f(－a)＝________. －4　[由已知得f(a)＝a＋－1＝2，即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.] 14．已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－3,2)對(duì)稱，則函數(shù)h(x)＝f(x＋1)－3的圖象的對(duì)稱中心為_(kāi)_______． (－4，－1)　[函數(shù)h(x)＝f(x＋1)－3的圖象是由函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到的，又f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－3,2)對(duì)稱，所以函數(shù)h(x)的圖象的對(duì)稱中心為(－4，－1)．] 15．(2019·深圳模擬)已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x＋1)為奇函數(shù)，當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f(x)＝x2，則f＝________. －　[因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù)，y＝f(x＋1)為奇函數(shù)， 所以f(x＋1)＝－f(－x＋1)， 所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，即f(x)的周期T＝4， 因?yàn)?≤x＜1時(shí)，f(x)＝x2，所以f＝f＝f＝f＝f＝－f＝－.] 16．若函數(shù)f(x)＝有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． (0,1]　[當(dāng)x＞0時(shí)，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1. 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)＝2x－a有一個(gè)零點(diǎn)，令f(x)＝0，得a＝2x， 因?yàn)?＜2x≤20＝1，以0＜a≤1.] 題號(hào) 內(nèi)容 押題依據(jù) 1 函數(shù)圖象的應(yīng)用 函數(shù)圖象是近年來(lái)高考命題的熱點(diǎn)，既能體現(xiàn)考生的識(shí)圖能力，又能體現(xiàn)對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力．本題是一道以生活實(shí)際為背景的問(wèn)題，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，試題情境新穎，符合高考命題思路 2 函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的考查是高考命題的熱點(diǎn)，在近幾年的高考中多次出現(xiàn)，本題的亮點(diǎn)是應(yīng)用x＋1＜ex確定單調(diào)性，這是命制此題的亮點(diǎn)，打破以往的常規(guī) 【押題1】　某市建造了一個(gè)如圖所示的公園，圖形是由一個(gè)半徑為2的圓和兩個(gè)半徑為1的半圓組成的，它們的圓心分別是O，O1，O2，某運(yùn)動(dòng)員P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓弧按A→O→B→C→A→D→B的路線運(yùn)動(dòng)(其中A，O，O1，O2，B五點(diǎn)共線)，記運(yùn)動(dòng)員P運(yùn)動(dòng)的路程為x，設(shè)y＝||2，y與x的函數(shù)關(guān)系為y＝f(x)，則y＝f(x)的大致圖象是(　　) A　[當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，y＝1. 當(dāng)x∈(π，2π)時(shí)，＝－，設(shè)與的夾角為θ，||＝1，||＝2，易知θ＝x－π，所以y＝||2＝(－)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x，x∈(π，2π)，所以函數(shù)f(x)在(π，2π)上單調(diào)遞增，且在該區(qū)間上f(x)的圖象是曲線，排除C，D. 當(dāng)x∈[2π，4π)時(shí)，因?yàn)椋剑?，設(shè)與的夾角為α，||＝2，||＝1，易知α＝2π－x，所以y＝||2＝(－)2＝5－4cos α＝5－4cos x，x∈[2π，4π)，所以函數(shù)f(x)在[2π，4π)上單調(diào)遞減，且在該區(qū)間上f(x)的圖象是曲線，排除B.故選A.] 【押題2】　已知函數(shù)f(x)＝aln x－2x，若不等式f(x＋1)＞ax－2ex在(0，＋∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)≤2　 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)≤0 D．0≤a≤2 A　[f(ex)＝ax－2ex，所以f(x＋1)＞ax－2ex在(0，＋∞)上恒成立等價(jià)于f(x＋1)＞f(ex)在(0，＋∞)上恒成立． 因?yàn)閤∈(0，＋∞)時(shí)，1＜x＋1＜ex， 所以只需f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，即x＞1時(shí)，f′(x)≤0恒成立，即x＞1時(shí)，≤2恒成立． 所以a≤2x，所以a≤2.故選A. ] - 6 -