2020版高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓9 直線與圓 文
專題限時集訓(九)直線與圓專題通關練(建議用時:30分鐘)1(2019·長春模擬)過點P(0,1)的直線l與圓(x1)2(y1)21相交于A,B兩點,若|AB|,則該直線的斜率為()A±1B±C±D±2A由題意,設直線l的方程為ykx1,因為圓(x1)2(y1)21的圓心為(1,1),半徑為r1,又弦長|AB|,所以圓心到直線的距離為d.所以有,解得k±1.2已知圓M:x2y22ay0(a0)截直線xy0所得線段的長度是2,則圓M與圓N:(x1)2(y1)21的位置關系是()A內(nèi)切 B相交C外切 D相離B圓M:x2y22ay0(a0)可化為x2(ya)2a2,由題意,M(0,a)到直線xy0的距離d,所以a22,解得a2.所以圓M:x2(y2)24,所以兩圓的圓心距為,半徑和為3,半徑差為1,故兩圓相交3(2019·江陰模擬)點P是直線xy20上的動點,點Q是圓x2y21上的動點,則線段PQ長的最小值為()A.1 B1 C.1 D2A根據(jù)題意,圓x2y21的圓心為(0,0),半徑r1,圓心(0,0)到直線xy20的距離d,則線段PQ長的最小值為1,故選A.4一題多解在平面直角坐標系中,O為坐標原點,直線xky10與圓C:x2y24相交于A,B兩點,若點M在圓C上,則實數(shù)k的值為()A2 B1 C0 D1C法一:設A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k21)y22ky30,則4k212(k21)0,y1y2,x1x2k(y1y2)2,因為,故M,又點M在圓C上,故4,解得k0.法二:由直線與圓相交于A,B兩點,且點M在圓C上,得圓心C(0,0)到直線xky10的距離為半徑的一半,為1,即d1,解得k0.5(2019·惠州模擬)已知直線4x3y10被圓C:(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦長為4,且P為圓C上任意一點,點A為定點(2,0),則|PA|的最大值為()A. B5C2 D.D根據(jù)題意,圓C:(x3)2(ym)213的圓心C為(3,m),半徑r,若直線4x3y10被圓C:(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦長為4,則圓心到直線的距離d1,則有1,解可得:m2或m(舍),則m2.點A為定點(2,0),則|AC|,則|PA|的最大值為|AC|r.故選D.6過點C(3,4)作圓x2y25的兩條切線,切點分別為A,B,則點C到直線AB的距離為_4以OC為直徑的圓的方程為2(y2)22,AB為圓C與圓O:x2y25的公共弦,所以AB的方程為x2y25,化簡得3x4y50,所以點C到直線AB的距離d4.7已知直線l:ax3y120與圓M:x2y24y0相交于A,B兩點,且AMB,則實數(shù)a_.±直線l的方程可變形為yax4,所以直線l過定點(0,4),且該點在圓M上圓的方程可變形為x2(y2)24,所以圓心為M(0,2),半徑為2.如圖,因為AMB,所以AMB是等邊三角形,且邊長為2,高為,即圓心M到直線l的距離為,所以,解得a±.8已知圓O:x2y24上到直線l:xya的距離等于1的點至少有2個,則實數(shù)a的取值范圍為_(3,3)由圓的方程可知圓心為(0,0),半徑為2.因為圓O上到直線l的距離等于1的點至少有2個,所以圓心到直線l的距離dr121,即d3,解得a(3,3)能力提升練(建議用時:15分鐘)9(2019·武漢模擬)已知圓C經(jīng)過點A(0,0),B(7,7),圓心在直線yx上(1)求圓C的標準方程;(2)若直線l與圓C相切且與x,y軸截距相等,求直線l的方程解(1)根據(jù)題意,設圓C的圓心為(a,b),半徑為r,則其標準方程為(xa)2(yb)2r2,因為圓C經(jīng)過點A(0,0),B(7,7),圓心在直線yx上,則有解得則圓C的標準方程為(x3)2(y4)225.(2)若直線l與圓C相切且與x,y軸截距相等,分2種情況討論:直線l經(jīng)過原點,設直線l的方程為ykx,則有5,解得k,此時直線l的方程為yx;直線l不經(jīng)過原點,設直線l的方程為xym0,則有5,解得m75或75,此時直線l的方程為xy570或xy570.綜上可得:直線l的方程為yx或xy570或xy570.10(2019·南昌模擬)如圖,已知圓O的圓心在坐標原點,點M(,1)是圓O上的一點(1)求圓O的方程;(2)若過點P(0,1)的動直線l與圓O相交于A,B兩點在平面直角坐標系xOy內(nèi),是否存在與點P不同的定點Q,使得恒成立?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由解(1)點M(,1)是圓O上的一點,可得圓O的半徑為2,則圓O的方程為x2y24.(2)若直線l的斜率為0,可得直線方程為y1,A(,1),B(,1),由|PA|PB|,可得|QA|QB|,即Q在y軸上,設Q(0,m),若過點P(0,1)的動直線l的斜率不存在,設直線方程為x0,則A(0,2),B(0,2),由可得,解得m1或4,由Q與P不重合,可得Q(0,4),下證斜率存在且不為0的直線與圓的交點,也滿足成立若直線的斜率存在且不為0,可設直線方程為ykx1,聯(lián)立圓x2y24,可得(1k2)x22kx30,設A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1x2,x1x2,由kQAkQB2k32k3·2k3·0,可得QA和QB關于y軸對稱,即成立綜上可得,存在定點Q,點Q的坐標為(0,4).題號內(nèi)容押題依據(jù)1圓與圓的位置關系、圓的切線高考對圓與圓的位置關系及切線的考查屬于冷考點內(nèi)容,多年沒直接考查,今年考查的可能性較大,本題以兩圓的位置關系為背景,借助平面幾何的基礎知識,考查了數(shù)形結(jié)合思想,考查了考生的數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng)2圓的方程、軌跡方程、直線與圓的位置關系、平面向量、直線與橢圓的位置關系圓與橢圓的綜合問題,是近幾年高考的一個熱點本題以圓為背景,綜合考查橢圓的定義及標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系,考查邏輯推理和數(shù)學運算核心素養(yǎng),綜合性強【押題1】若O1:(x1)2(y2)21與O2:(xa)2(y2)24(aR)相交于A,B兩點,且兩圓在點A處的切線互相垂直,則線段AB的長度是_由兩圓在點A處的切線互相垂直,可知兩切線分別過另一圓的圓心,即AO1AO2.連接O1O2(圖略),在RtAO1O2中,AO11,AO22,AO1AO2,所以O1O2,所以AO1O2斜邊上的高h,所以AB2h.所以線段AB的長度是.【押題2】已知圓(x1)2y216的圓心為M,點P是圓M上的動點,點N(1,0),點G在線段MP上,且滿足()()(1)求點G的軌跡C的方程;(2)過點D(0,2)的直線l與曲線C交于A,B兩點,若以AB為直徑的圓恰好過原點O,求直線l的方程解(1)因為()(),所以()·()0,即220,所以|,所以|GM|GN|GM|GP|MP|42|MN|,所以點G在以M,N為焦點,長軸長為4的橢圓上可設橢圓方程為1(ab0),則2a4,2c2,即a2,c1,則b23,所以點G的軌跡C的方程為1.(2)由題意知,直線l的斜率必存在,設直線l的方程為ykx2,由消去y可得(34k2)x216kx40,由0得k2.(*)設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,x1x2,因為以AB為直徑的圓恰好過原點O,所以OAOB,即·0,則有x1x2y1y20,所以x1x2(kx12)(kx22)0,(1k2)x1x22k(x1x2)40,得40,即4(1k2)32k24(34k2)0,解得k2,滿足(*)式,所以k±.故直線l的方程為y±x2.- 6 -