專題限時集訓(九)直線與圓專題通關練(建議用時：30分鐘)1(2019·長春模擬)過點P(0,1)的直線l與圓(x1)2(y1)21相交于A，B兩點，若|AB|，則該直線的斜率為()A±1B±C±D±2A由題意，設直線l的方程為ykx1，因為圓(x1)2(y1)21的圓心為(1,1)，半徑為r1，又弦長|AB|，所以圓心到直線的距離為d.所以有，解得k±1.2已知圓M：x2y22ay0(a0)截直線xy0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關系是()A內(nèi)切 B相交C外切 D相離B圓M：x2y22ay0(a0)可化為x2(ya)2a2，由題意，M(0，a)到直線xy0的距離d，所以a22，解得a2.所以圓M：x2(y2)24，所以兩圓的圓心距為，半徑和為3，半徑差為1，故兩圓相交3(2019·江陰模擬)點P是直線xy20上的動點，點Q是圓x2y21上的動點，則線段PQ長的最小值為()A.1 B1 C.1 D2A根據(jù)題意，圓x2y21的圓心為(0,0)，半徑r1，圓心(0,0)到直線xy20的距離d，則線段PQ長的最小值為1，故選A.4一題多解在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線xky10與圓C：x2y24相交于A，B兩點，若點M在圓C上，則實數(shù)k的值為()A2 B1 C0 D1C法一：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)y22ky30，則4k212(k21)0，y1y2，x1x2k(y1y2)2，因為，故M，又點M在圓C上，故4，解得k0.法二：由直線與圓相交于A，B兩點，且點M在圓C上，得圓心C(0,0)到直線xky10的距離為半徑的一半，為1，即d1，解得k0.5(2019·惠州模擬)已知直線4x3y10被圓C：(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦長為4，且P為圓C上任意一點，點A為定點(2,0)，則|PA|的最大值為()A. B5C2 D.D根據(jù)題意，圓C：(x3)2(ym)213的圓心C為(3，m)，半徑r，若直線4x3y10被圓C：(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦長為4，則圓心到直線的距離d1，則有1，解可得：m2或m(舍)，則m2.點A為定點(2,0)，則|AC|，則|PA|的最大值為|AC|r.故選D.6過點C(3,4)作圓x2y25的兩條切線，切點分別為A，B，則點C到直線AB的距離為_4以OC為直徑的圓的方程為2(y2)22，AB為圓C與圓O：x2y25的公共弦，所以AB的方程為x2y25，化簡得3x4y50，所以點C到直線AB的距離d4.7已知直線l：ax3y120與圓M：x2y24y0相交于A，B兩點，且AMB，則實數(shù)a_.±直線l的方程可變形為yax4，所以直線l過定點(0,4)，且該點在圓M上圓的方程可變形為x2(y2)24，所以圓心為M(0,2)，半徑為2.如圖，因為AMB，所以AMB是等邊三角形，且邊長為2，高為，即圓心M到直線l的距離為，所以，解得a±.8已知圓O：x2y24上到直線l：xya的距離等于1的點至少有2個，則實數(shù)a的取值范圍為_(3，3)由圓的方程可知圓心為(0,0)，半徑為2.因為圓O上到直線l的距離等于1的點至少有2個，所以圓心到直線l的距離dr121，即d3，解得a(3，3)能力提升練(建議用時：15分鐘)9(2019·武漢模擬)已知圓C經(jīng)過點A(0,0)，B(7,7)，圓心在直線yx上(1)求圓C的標準方程；(2)若直線l與圓C相切且與x，y軸截距相等，求直線l的方程解(1)根據(jù)題意，設圓C的圓心為(a，b)，半徑為r，則其標準方程為(xa)2(yb)2r2，因為圓C經(jīng)過點A(0,0)，B(7,7)，圓心在直線yx上，則有解得則圓C的標準方程為(x3)2(y4)225.(2)若直線l與圓C相切且與x，y軸截距相等，分2種情況討論：直線l經(jīng)過原點，設直線l的方程為ykx，則有5，解得k，此時直線l的方程為yx；直線l不經(jīng)過原點，設直線l的方程為xym0，則有5，解得m75或75，此時直線l的方程為xy570或xy570.綜上可得：直線l的方程為yx或xy570或xy570.10(2019·南昌模擬)如圖，已知圓O的圓心在坐標原點，點M(，1)是圓O上的一點(1)求圓O的方程；(2)若過點P(0,1)的動直線l與圓O相交于A，B兩點在平面直角坐標系xOy內(nèi)，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由解(1)點M(，1)是圓O上的一點，可得圓O的半徑為2，則圓O的方程為x2y24.(2)若直線l的斜率為0，可得直線方程為y1，A(，1)，B(，1)，由|PA|PB|，可得|QA|QB|，即Q在y軸上，設Q(0，m)，若過點P(0,1)的動直線l的斜率不存在，設直線方程為x0，則A(0,2)，B(0，2)，由可得，解得m1或4，由Q與P不重合，可得Q(0,4)，下證斜率存在且不為0的直線與圓的交點，也滿足成立若直線的斜率存在且不為0，可設直線方程為ykx1，聯(lián)立圓x2y24，可得(1k2)x22kx30，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1x2，x1x2，由kQAkQB2k32k3·2k3·0，可得QA和QB關于y軸對稱，即成立綜上可得，存在定點Q，點Q的坐標為(0,4).題號內(nèi)容押題依據(jù)1圓與圓的位置關系、圓的切線高考對圓與圓的位置關系及切線的考查屬于冷考點內(nèi)容，多年沒直接考查，今年考查的可能性較大，本題以兩圓的位置關系為背景，借助平面幾何的基礎知識，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了考生的數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng)2圓的方程、軌跡方程、直線與圓的位置關系、平面向量、直線與橢圓的位置關系圓與橢圓的綜合問題，是近幾年高考的一個熱點本題以圓為背景，綜合考查橢圓的定義及標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系，考查邏輯推理和數(shù)學運算核心素養(yǎng)，綜合性強【押題1】若O1：(x1)2(y2)21與O2：(xa)2(y2)24(aR)相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是_由兩圓在點A處的切線互相垂直，可知兩切線分別過另一圓的圓心，即AO1AO2.連接O1O2(圖略)，在RtAO1O2中，AO11，AO22，AO1AO2，所以O1O2，所以AO1O2斜邊上的高h，所以AB2h.所以線段AB的長度是.【押題2】已知圓(x1)2y216的圓心為M，點P是圓M上的動點，點N(1,0)，點G在線段MP上，且滿足()()(1)求點G的軌跡C的方程；(2)過點D(0,2)的直線l與曲線C交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓恰好過原點O，求直線l的方程解(1)因為()()，所以()·()0，即220，所以|，所以|GM|GN|GM|GP|MP|42|MN|，所以點G在以M，N為焦點，長軸長為4的橢圓上可設橢圓方程為1(ab0)，則2a4,2c2，即a2，c1，則b23，所以點G的軌跡C的方程為1.(2)由題意知，直線l的斜率必存在，設直線l的方程為ykx2，由消去y可得(34k2)x216kx40，由0得k2.(*)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，因為以AB為直徑的圓恰好過原點O，所以OAOB，即·0，則有x1x2y1y20，所以x1x2(kx12)(kx22)0，(1k2)x1x22k(x1x2)40，得40，即4(1k2)32k24(34k2)0，解得k2，滿足(*)式，所以k±.故直線l的方程為y±x2.- 6 -