第4講 直線、平面平行的判定與性質(zhì)1在空間內(nèi)，下列命題正確的是()A平行直線的平行投影重合B平行于同一直線的兩個平面平行C垂直于同一平面的兩個平面平行D垂直于同一平面的兩條直線平行解析：選D.對于A，平行直線的平行投影也可能互相平行，或為兩個點，故A錯誤；對于B，平行于同一直線的兩個平面也可能相交，故B錯誤；對于C，垂直于同一平面的兩個平面也可能相交，故C錯誤；而D為直線和平面垂直的性質(zhì)定理，正確2平面平面的一個充分條件是()A存在一條直線a，a，aB存在一條直線a，a，aC存在兩條平行直線a，b，a，b，a，bD存在兩條異面直線a，b，a，b，a，b解析：選D.若l，al，a，a，a，a，故排除A.若l，a，al，則a，故排除B.若l，a，al，b，bl，則a，b，故排除C.3已知m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題中正確的是()A若，則B若mn，m，n，則C若mn，m，n，則D若mn，m，則n解析：選C.對于A，若，則或與相交；對于B，若mn，m，n，則或與相交；易知C正確；對于D，若mn，m，則n或n在平面內(nèi)故選C.4.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點，且AEEBAFFD14，又H，G分別為BC，CD的中點，則()ABD平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形BEF平面BCD，且四邊形EFGH是梯形CHG平面ABD，且四邊形EFGH是菱形DEH平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形解析：選B.由AEEBAFFD14知EF綊BD，又EF平面BCD，所以EF平面BCD.又H，G分別為BC，CD的中點，所以HG綊BD，所以EFHG且EFHG.所以四邊形EFGH是梯形5.在三棱錐S­ABC中，ABC是邊長為6的正三角形，SASBSC12，平面DEFH分別與AB、BC、SC、SA交于D、E、F、H，且它們分別是AB、BC、SC、SA的中點，那么四邊形DEFH的面積為()A18B18 C36D36解析：選A.因為D、E、F、H分別是AB、BC、SC、SA的中點，所以DEAC，F(xiàn)HAC，DHSB，EFSB，則四邊形DEFH是平行四邊形，且HDSB6，DEAC3.如圖，取AC的中點O，連接OB、SO，因為SASC12，ABBC6，所以ACSO，ACOB，又SOOBO，所以AO平面SOB，所以AOSB，則HDDE，即四邊形DEFH是矩形，所以四邊形DEFH的面積S6×318，故選A.6設(shè)m，l表示直線，表示平面，若m，則“l(fā)”是“l(fā)m”的_條件(填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”)解析：m，l不能推出lm；m，lm也不能推出l，所以是既不充分也不必要條件答案：既不充分也不必要7.如圖，正方體ABCD­A1B1C1D1中，AB2，點E為AD的中點，點F在CD上若EF平面AB1C，則線段EF的長度等于_解析：因為EF平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD平面AB1CAC，所以EFAC，所以F為DC的中點故EFAC.答案：8在棱長為2的正方體ABCD­A1B1C1D1中，P是A1B1的中點，過點A1作與截面PBC1平行的截面，所得截面的面積是_解析：如圖，取AB，C1D1的中點E，F(xiàn)，連接A1E，A1F，EF，則平面A1EF平面BPC1.在A1EF中，A1FA1E，EF2，SA1EF×2×，從而所得截面面積為2SA1EF2.答案：29.如圖，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點，求證：(1)直線EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.證明：(1)如圖，連接SB，因為E、G分別是BC、SC的中點，所以EGSB.又因為SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，所以直線EG平面BDD1B1.(2)連接SD，因為F、G分別是DC、SC的中點，所以FGSD.又因為SD平面BDD1B1，F(xiàn)G平面BDD1B1，所以FG平面BDD1B1，又EG平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，EGFGG，所以平面EFG平面BDD1B1.10(2019·云南省11校跨區(qū)調(diào)研)如圖所示，在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，PA2，ABC90°，AB，BC1，AD2，ACD60°，E為CD的中點(1)求證：BC平面PAE；(2)求點A到平面PCD的距離解：(1)證明：因為AB，BC1，ABC90°，所以AC2，BCA60°.在ACD中，因為AD2，AC2，ACD60°，所以AD2AC2CD22AC·CD·cosACD，所以CD4，所以AC2AD2CD2，所以ACD是直角三角形，又E為CD中點，所以AECDCE，因為ACD60°，所以ACE為等邊三角形，所以CAE60°BCA，所以BCAE，又AE平面PAE，BC平面PAE，所以BC平面PAE.(2)設(shè)點A到平面PCD的距離為d，根據(jù)題意可得，PC2，PDCD4，所以SPCD2，因為VP­ACDVA­PCD，所以·SACD·PA·SPCD·d，所以××2×2×2×2d，所以d，所以點A到平面PCD的距離為.1如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD­A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個命題：沒有水的部分始終呈棱柱形；水面EFGH所在四邊形的面積為定值；棱A1D1始終與水面所在平面平行；當(dāng)容器傾斜如圖所示時，BE·BF是定值其中正確的個數(shù)是()A1B2C3D4解析：選C.由題圖，顯然是正確的，是錯的；對于因為A1D1BC，BCFG，所以A1D1FG且A1D1平面EFGH，所以A1D1平面EFGH(水面)所以是正確的；因為水是定量的(定體積V)所以SBEF·BCV，即BE·BF·BCV.所以BE·BF(定值)，即是正確的，故選C.2(2019·安徽安慶模擬)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，M、N、Q分別是棱D1C1、A1D1、BC的中點，點P在BD1上且BPBD1.則以下四個說法：MN平面APC；C1Q平面APC；A、P、M三點共線；平面MNQ平面APC.其中說法正確的是_解析：連接MN，AC，則MNAC，連接AM、CN，易得AM、CN交于點P，即MN面APC，所以MN面APC是錯誤的；由知M、N在平面APC上，由題易知ANC1Q，所以C1Q面APC是正確的；由知A，P，M三點共線是正確的；由知MN面APC，又MN面MNQ，所以面MNQ面APC是錯誤的答案：3(2019·福建泉州質(zhì)檢)在如圖所示的多面體中，DE平面ABCD，AFDE，ADBC，ABCD，ABC60°，BC2AD4DE4.(1)在AC上求作點P，使PE平面ABF，請寫出作法并說明理由；(2)求三棱錐A­CDE的高解：(1)取BC的中點G，連接DG，交AC于點P，連接EG，EP.此時P為所求作的點(如圖所示)下面給出證明：因為BC2AD，G為BC的中點，所以BGAD.又因為BCAD，所以四邊形BGDA是平行四邊形，故DGAB，即DPAB.又AB平面ABF，DP平面ABF，所以DP平面ABF.因為AFDE，AF平面ABF，DE平面ABF，所以DE平面ABF.又因為DP平面PDE，DE平面PDE，PDDED，所以平面PDE平面ABF，因為PE平面PDE，所以PE平面ABF.(2)在等腰梯形ABCD中，因為ABC60°，BC2AD4，所以可求得梯形的高為，從而ACD的面積為×2×.因為DE平面ABCD，所以DE是三棱錐E­ACD的高設(shè)三棱錐A­CDE的高為h.由VA­CDEVE­ACD，可得×SCDE×hSACD×DE，即×2×1×h×1，解得h.故三棱錐A­CDE的高為.4如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點求證：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.證明：(1)如圖所示，設(shè)DF與GN交于點O，連接AE，則AE必過點O，連接MO，則MO為ABE的中位線，所以BEMO.因為BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DEGN.因為DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.因為M為AB的中點，所以MN為ABD的中位線，所以BDMN.因為BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG.因為DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE平面MNG.7