課后限時集訓(十六)(建議用時：60分鐘)A組基礎達標一、選擇題1方程x36x29x100的實根個數是( )A3 B2C1 D0C設f(x)x36x29x10，f(x)3x212x93(x1)(x3)，由此可知函數的極大值為f(1)60，極小值為f(3)100，所以方程x36x29x100的實根個數為1.2若存在正數x使2x(xa)1成立，則實數a的取值范圍是( )A(，) B(2，)C(0，) D(1，)D2x(xa)1，ax.令f(x)x，f(x)12xln 20.f(x)在(0，)上單調遞增，f(x)f(0)011，實數a的取值范圍為(1，)3某銀行準備設一種新的定期存款業(yè)務，經預測，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數為k(k>0)，貸款的利率為4.8%，假設銀行吸收的存款能全部放貸出去若存款利率為x(x(0,0.048)，則銀行獲得最大收益的存款利率為 ( )A3.2% B2.4%C4% D3.6%A設y表示收益，則存款量是kx2，貸款收益為0.048kx2，存款利息為kx3，則y0.048kx2kx3，x(0，0.048)，y0.096kx3kx23kx(0.032x)令y0得x0.032，且當x(0,0.032)時y0，當x(0.032,0.048)時y0，因此收益y在x0.032時取得最大值，故選A.4已知yf(x)為R上的連續(xù)可導函數，且xf(x)f(x)0，則函數g(x)xf(x)1(x0)的零點個數為( )A0 B1C0或1 D無數個A因為g(x)xf(x)1(x0)，g(x)xf(x)f(x)0，所以g(x)在(0，)上單調遞增，因為g(0)1，yf(x)為R上的連續(xù)可導函數，所以g(x)為(0，)上的連續(xù)可導函數，g(x)g(0)1，所以g(x)在(0，)上無零點5若不等式2xln xx2ax3對x(0，)恒成立，則實數a的取值范圍是( )A(，0) B(，4C(0，) D4，)B由題意知a2ln xx對x(0，)恒成立，令g(x)2ln xx，則g(x)1，由g(x)0得x1或x3(舍)，且x(0,1)時，g(x)0，x(1，)時，g(x)0.因此g(x)ming(1)4.所以a4，故選B.二、填空題6已知函數f(x)x，g(x)2xa，若x1，x22,3，使得f(x1)g(x2)，則實數a的取值范圍是_(，1當x時，f(x)10，f(x)minf(1)5.當x2,3時，g(x)2xa是增函數，g(x)min4a.由題意知54a，即a1.7若函數f(x)2x39x212xa恰好有兩個不同的零點，則a_.4或5f(x)6x218x12，令f(x)0得x1或x2，又當x1或x2時，f(x)0，當1x2時，f(x)0.因此x1和x2分別是函數f(x)的極大值點和極小值點由題意知f(1)0或f(2)0，即5a0或4a0.解得a4或a5.8某商場從生產廠家以每件20元購進一批商品，若該商品零售價為p元，銷量Q(單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關系：Q8 300170pp2，則該商品零售價定為_元時利潤最大，利潤的最大值為_元3023 000設該商品的利潤為y元，由題意知，yQ(p20)p3150p211 700p166 000，則y3p2300p11 700，令y0得p30或p130(舍)，當p(0,30)時，y0，當p(30，)時，y0，因此當p30時，y有最大值，ymax23 000.三、解答題9已知函數f(x)exaxa(aR且a0)(1)若f(0)2，求實數a的值，并求此時f(x)在2,1上的最小值；(2)若函數f(x)不存在零點，求實數a的取值范圍解(1)由f(0)1a2，得a1.易知f(x)在2,0)上單調遞減，在(0,1上單調遞增，所以當x0時，f(x)在2,1上取得最小值2.(2)f(x)exa，由于ex0，當a0時，f(x)0，f(x)是增函數，當x1時，f(x)exa(x1)0.當x0時，取x，則f1a1a0.所以函數f(x)存在零點，不滿足題意當a0時，f(x)exa，令f(x)0，得xln(a)在(，ln(a)上，f(x)0，f(x)單調遞減，在(ln(a)，)上，f(x)0，f(x)單調遞增，所以當xln(a)時，f(x)取最小值函數f(x)不存在零點，等價于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0.綜上所述，所求實數a的取值范圍是(e2,0)10已知函數f(x)(aR)(1)求函數f(x)的單調區(qū)間；(2)若x1，)，不等式f(x)1恒成立，求實數a的取值范圍解(1)f(x)，當a時，x22x2a0，故f(x)0，函數f(x)在(，)上單調遞增，當a時，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(，)，無單調遞減區(qū)間當a時，令x22x2a0x11，x21，列表x(，1)(1，1)(1，)f(x)f(x)由表可知，當a時，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(，1)和(1，)，單調遞減區(qū)間為(1，1)(2)f(x)112ax2ex，由條件2ax2ex，對x1成立令g(x)x2ex，h(x)g(x)2xex，h(x)2ex，當x1，)時，h(x)2ex2e0，h(x)g(x)2xex在1，)上單調遞減，h(x)2xex2e0，即g(x)0，g(x)x2ex在1，)上單調遞減，g(x)x2exg(1)1e，故f(x)1在1，)上恒成立，只需2ag(x)max1e，a，即實數a的取值范圍是.B組能力提升1做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27，且用料最省，則圓柱的底面半徑為( )A3 B4C6 D5A設圓柱的底面半徑為R，母線長為l，則VR2l27，l，要使用料最省，只需使圓柱的側面積與下底面面積之和S最小由題意，SR22RlR22·.S2R，令S0，得R3，則當R3時，S最小故選A.2若0x1x21，則( )Aex2ex1ln x2ln x1Bex2ex1ln x2ln x1Cx2ex1x1ex2 Dx2ex1x1ex2C令f(x)，則f(x).當0x1時，f(x)0，即f(x)在(0,1)上單調遞減，因為0x1x21，所以f(x2)f(x1)，即，所以x2ex1x1ex2，故選C.3若函數f(x)1(a<0)沒有零點，則實數a的取值范圍為_(e2,0)f(x)(a0)當x2時，f(x)0；當x2時，f(x)0，當x2時，f(x)有極小值f(2)1.若使函數f(x)沒有零點，當且僅當f(2)10.解之得a>e2，因此e2<a<0.4(2017·全國卷)已知函數f(x)ln xax2(2a1)x.(1)討論f(x)的單調性；(2)當a<0時，證明f(x)2.解(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)2ax2a1.若a0，則當x(0，)時，f(x)>0，故f(x)在(0，)上單調遞增若a<0，則當x時，f(x)>0；當x時，f(x)<0.故f(x)在上單調遞增，在上單調遞減(2)證明：由(1)知，當a<0時，f(x)在x處取得最大值，最大值為fln1.所以f(x)2等價于ln12，即ln10.設g(x)ln xx1，則g(x)1.當x(0,1)時，g(x)>0；當x(1，)時，g(x)<0，所以g(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，)上單調遞減故當x1時，g(x)取得最大值，最大值為g(1)0.所以當x>0時，g(x)0.從而當a<0時，ln10，即f(x)2.- 7 -