第3節(jié)定積分與微積分基本定理最新考綱1.了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念，幾何意義；2.了解微積分基本定理的含義.知 識 梳 理1.定積分的概念與幾何意義(1)定積分的定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點將區(qū)間a，b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點i(i1，2，n)，作和式f(i)x f(i)，當(dāng)n時，上述和式無限接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dx在f(x)dx中，a，b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式.(2)定積分的幾何意義f(x)f(x)dx的幾何意義f(x)0表示由直線xa，xb，y0及曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積f(x)0表示由直線xa，xb，y0及曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)f(x)在a，b上有正有負(fù)表示位于x軸上方的曲邊梯形的面積減去位于x軸下方的曲邊梯形的面積2.定積分的性質(zhì)(1)kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù)).(2)f1(x)±f2(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb).3.微積分基本定理一般地，如果f(x)是在區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a).這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茨公式.可以把F(b)F(a)記為F(x)，即f(x)dxF(x)F(b)F(a).微點提醒函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，a上連續(xù)，則有(1)若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)dx2f(x)dx.(2)若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)dx0.基 礎(chǔ) 自 測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“×”)(1)設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，則f(x)dxf(t)dt.()(2)曲線yx2與yx所圍成的面積是(x2x)dx.()(3)若f(x)dx<0，那么由yf(x)，xa，xb以及x軸所圍成的圖形一定在x軸下方.()(4)定積分f(x)dx一定等于由xa，xb，y0及曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積.()(5)加速度對時間的積分是路程.()解析(2)yx2與yx所圍成的面積是(xx2)dx.(3)若f(x)dx<0，那么由yf(x)，xa，xb以及x軸所圍成的圖形在x軸下方的面積比在x軸上方的面積大.(4)定積分f(x)dx等于由xa，xb，y0及曲線yf(x)所圍成圖形的面積的代數(shù)和.(5)加速度對時間的積分是速度，速度對時間的積分才是路程.答案(1)(2)×(3)×(4)×(5)×2.(選修22P50A5改編)定積分|x|dx()A.1 B.2 C.3 D.4解析|x|dx(x)dxxdx2xdxx21.答案A3.(選修22P60A6改編)已知質(zhì)點的速度v10t，則從t0到tt0質(zhì)點所經(jīng)過的路程是()A.10t B.5t C.t D.t解析Svdt5t.答案B4.(2018·青島月考)直線y4x與曲線yx3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積S，正確的是()A.S(4xx3)dx B.S(x34x)dxC.Sdy D.Sdy解析兩函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)是(0，0)，(2，8)，故對x積分時，積分上限是2、下限是0，由于在0，2上，4xx3，故直線y4x與曲線yx3所圍成的封閉圖形的面積S(4xx3)dx.答案A5.(2019·安陽模擬)若ax2dx，bx3dx，csin xdx，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.a<c<b B.a<b<cC.c<b<a D.c<a<b解析由微積分基本定理ax2dx，bx3dx4，csin xdx(cos x)1cos 2<2，則c<a<b.答案D6.(2019·昆明診斷)若x2dx9，則常數(shù)a的值為_.解析x2dxx3a39，a327，a3.答案3考點一定積分的計算【例1】 (1)(cos x1)dx_.(2)|x22x|dx_.解析(1)(cos x1)dx(sin xx).(2)|x22x|dx(x22x)dx(2xx2)dx448.答案(1)(2)8規(guī)律方法運用微積分基本定理求定積分時要注意以下幾點：(1)對被積函數(shù)要先化簡，再求積分；(2)若被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”，先分段積分再求和；(3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要先去掉絕對值符號再求積分.【訓(xùn)練1】 (1)設(shè)f(x)則f(x)dx等于()A. B. C. D.不存在(2)定積分(x2sin x)dx_.解析(1)如圖，f(x)dxx2dx(2x)dxx3.(2)(x2sin x)dxx2dxsin xdx2x2dx2·.答案(1)C(2)考點二定積分的幾何意義多維探究角度1利用定積分的幾何意義計算定積分【例21】 (1)計算：(2x)dx_.(2)若 dx，則m_.解析(1)由定積分的幾何意義知， dx表示以原點為圓心，以1為半徑的圓的面積的，所以 dx，又2xdxx21，所以(2x)dx1.(2)根據(jù)定積分的幾何意義 dx表示圓(x1)2y21和直線x2，xm和y0圍成的圖形的面積，又 dx為四分之一圓的面積，結(jié)合圖形知m1.答案(1)1(2)1角度2利用定積分計算平面圖形的面積【例22】 (一題多解)由拋物線y22x與直線yx4圍成的平面圖形的面積為_.解析如圖所示，解方程組得兩交點為(2，2)，(8，4).法一選取橫坐標(biāo)x為積分變量，則圖中陰影部分的面積S可看作兩部分面積之和，即S2dx(x4)dx18.法二選取縱坐標(biāo)y為積分變量，則圖中陰影部分的面積Sdy18.答案18規(guī)律方法1.運用定積分的幾何意義求定積分，當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)不易找到時常用此方法求定積分.2.利用定積分求曲邊梯形面積的基本步驟：畫草圖、解方程得積分上、下限，把面積表示為已知函數(shù)的定積分(注意：兩曲線的上、下位置關(guān)系，分段表示的面積之間的關(guān)系).【訓(xùn)練2】 (1)計算： dx_.(2)已知曲線yx2與直線ykx(k>0)所圍成的曲邊圖形的面積為，則k_.解析(1)由定積分的幾何意義知， dx表示圓(x1)2y24和x1，x3，y0圍成的圖形的面積， dx××4.(2)由得或則曲線yx2與直線ykx(k>0)所圍成的曲邊梯形的面積為(kxx2)dxk3，則k38，k2.答案(1)(2)2考點三定積分在物理中的應(yīng)用【例3】 (1)物體A以v3t21(m/s)的速度在一直線l上運動，物體B在直線l上，且在物體A的正前方5 m處，同時以v10t(m/s)的速度與A同向運動，出發(fā)后，物體A追上物體B所用的時間t(s)為()A.3 B.4 C.5 D.6(2)設(shè)變力F(x)作用在質(zhì)點M上，使M沿x軸正向從x1運動到x10，已知F(x)x21且方向和x軸正向相同，則變力F(x)對質(zhì)點M所做的功為_ J(x的單位：m，力的單位：N).解析(1)因為物體A在t秒內(nèi)行駛的路程為(3t21)dt，物體B在t秒內(nèi)行駛的路程為10tdt.所以(3t2110t)dt(t3t5t2)t3t5t25.整理得(t5)(t21)0，解得t5.(2)變力F(x)x21使質(zhì)點M沿x軸正向從x1運動到x10所做的功為WF(x)dx(x21)dx342(J).答案(1)C(2)342規(guī)律方法定積分在物理中的兩個應(yīng)用(1)變速直線運動的位移：如果變速直線運動物體的速度為vv(t)，那么從時刻ta到tb所經(jīng)過的位移sv(t)dt.(2)變力做功：一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同方向從xa移動到xb時，力F(x)所做的功是WF(x)dx.【訓(xùn)練3】 一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)73t(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止.在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是()A.125ln 5 B.825ln C.425ln 5 D.450ln 2解析令v(t)0，得t4或t(舍去)，汽車行駛距離sdt282425ln 5425ln 5(m).答案C思維升華1.定積分是一個數(shù)值(極限值)，它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無關(guān).2.f(x)dx、|f(x)|dx與|f(x)dx|在幾何意義上有不同的含義，由于被積函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上可正可負(fù)，也就是它的圖象可以在x軸上方、也可以在x軸下方、還可以在x軸的上下兩側(cè)，所以f(x)dx表示由x軸、函數(shù)f(x)的曲線及直線xa，xb(ab)之間各部分面積的代數(shù)和；而|f(x)|是非負(fù)的，所以|f(x)|dx表示在區(qū)間a，b上所有以|f(x)|為曲邊的正曲邊梯形的面積；而|f(x)dx|則是f(x)dx的絕對值，三者的值一般情況下是不相同的.易錯防范1.若定積分的被積函數(shù)是分段函數(shù)，應(yīng)分段積分然后求和.2.若積分式子中有幾個不同的參數(shù)，則必須先分清誰是被積變量.3.定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負(fù)，而定積分的結(jié)果可以為負(fù).基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：35分鐘)一、選擇題1.(2019·西安調(diào)研)定積分(2xex)dx的值為()A.e2 B.e1C.e D.e1解析(2xex)dx(x2ex)1e11e.答案C2.已知dx，則m的值為()A. B. C. D.1解析由微積分基本定理得dx(ln xmx)m1me，結(jié)合題意得m1me，解得m.答案B3.(2019·鄭州模擬)汽車以v(3t2) m/s做變速運動時，在第1 s至第2 s之間的1 s內(nèi)經(jīng)過的路程是()A. m B.6 m C. m D.7 m解析s(3t2)dt×4410(m).答案A4.sin2dx等于()A.0 B.C. D.1解析sin2dxdx.答案B5.定積分|x1|dx等于()A.1 B.1 C.0 D.2解析|x1|dx|x1|dx|x1|dx(1x)dx(x1)dx1.答案A6.如圖，指數(shù)函數(shù)的圖象過點E(2，9)，則圖中陰影部分的面積等于()A. B.8C. D.9解析設(shè)指數(shù)函數(shù)為yax(a>0且a1)，因為其過點E(2，9)，所以a29，解得a3，所以圖中陰影部分的面積S3xdx.答案A7.若f(x)ff(1)1，則a的值為()A.1 B.2 C.1 D.2解析因為f(1)lg 10，f(0)3t2dtt3a3，所以由ff(1)1，得a31，a1.答案A8.由yx2，y，y1所圍成的圖形的面積為()A. B. C.2 D.1解析如圖所示，陰影部分的面積為S222.答案A二、填空題9.已知f(x)為偶函數(shù)且f(x)dx8，則f(x)dx_.解析原式f(x)dxf(x)dx，因為原函數(shù)為偶函數(shù)，所以在y軸兩側(cè)的圖象對稱，所以對應(yīng)面積相等，即8×216.答案1610.如圖所示，函數(shù)yx22x1與y1相交形成一個閉合圖形(圖中的陰影部分)，則該閉合圖形的面積是_.解析由解得x10，x22.S(x22x11)dx(x22x)dx4.答案11.(2019·濟(jì)南模擬)設(shè)a>0，若曲線y與直線xa，y0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a_.解析封閉圖形如圖所示，則dxxa0a2，解得a.答案12.(2019·廣州調(diào)研)設(shè)f(x)則f(x)dx的值為_.解析f(x)dxdx(x21)dx×12.答案能力提升題組(建議用時：15分鐘)13.(一題多解)若S1x2dx，S2dx，S3exdx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為()A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3C.S2<S3<S1 D.S3<S2<S1解析法一S1x3，S2ln xln 2<ln e1，S3exe2e2.722.74.59，所以S2<S1<S3.法二S1，S2，S3分別表示曲線yx2，y，yex與直線x1，x2及x軸圍成的圖形的面積，通過作圖易知S2<S1<S3.答案B14.若f(x)x22f(x)dx，則f(x)dx()A.1 B. C. D.1解析由題意知f(x)x22f(x)dx，設(shè)mf(x)dx，則f(x)x22m，f(x)dx(x22m)dx2mm，解得m.答案B15.一物體在力F(x)(單位：N)的作用下沿與力F相同的方向，從x0處運動到x4(單位：m)處，則力F(x)做的功為_ J.解析由題意知，力F(x)所做的功為WF(x)dx5dx(3x4)dx5×21036(J).答案3616.(2019·長春模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線yx與直線x1及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐，圓錐的體積V圓錐x2dxx3.據(jù)此類比：將曲線y2 ln x與直線y1及x軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體，該旋轉(zhuǎn)體的體積V_.解析類比已知結(jié)論，將曲線y2ln x與直線y1及x軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)為一定積分，被積函數(shù)為(e)2ey，積分變量為y，積分區(qū)間為0，1，即Veydyey(e1).答案(e1)12