第6節(jié)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)最新考綱1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用；2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn)，會(huì)畫(huà)底數(shù)為2，10，的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象；3.體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型；4.了解指數(shù)函數(shù)yax(a>0，且a1)與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，且a1)互為反函數(shù).知 識(shí) 梳 理1.對(duì)數(shù)的概念如果axN(a>0，且a1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：alogaNN；logaabb(a>0，且a1).(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logamMnlogaM(m，nR，且m0).(3)換底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1).3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)ylogax(a0，且a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，).(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，)值域：R當(dāng)x1時(shí)，y0，即過(guò)定點(diǎn)(1，0)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，)上是增函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a>0，且a1)與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，且a1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱(chēng).微點(diǎn)提醒1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論(1)logab；(2)logambnlogab.其中a>0，且a1，b>0，且b1，m，nR.2.在第一象限內(nèi)，不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.3.對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，且a1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1，0)，且過(guò)點(diǎn)(a，1)，函數(shù)圖象只在第一、四象限.基 礎(chǔ) 自 測(cè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×”)(1)log2x22log2x.()(2)函數(shù)ylog2(x1)是對(duì)數(shù)函數(shù).()(3)函數(shù)yln與yln(1x)ln(1x)的定義域相同.()(4)當(dāng)x>1時(shí)，若logax>logbx，則a<b.()解析(1)log2x22log2|x|，故(1)錯(cuò).(2)形如ylogax(a0，且a1)為對(duì)數(shù)函數(shù)，故(2)錯(cuò).(4)當(dāng)x1時(shí)，logaxlogbx，但a與b的大小不確定，故(4)錯(cuò).答案(1)×(2)×(3)(4)×2.(必修1P73T3改編)已知a2，blog2，clog，則()A.a>b>c B.a>c>bC.c>b>a D.c>a>b解析0<a<1，b<0，cloglog23>1.c>a>b.答案D3.(必修1P74A7改編)函數(shù)y的定義域是_.解析由log(2x1)0，得0<2x11.<x1.函數(shù)y的定義域是.答案4.(2018·嘉興調(diào)研)計(jì)算log29×log342log510log50.25()A.0 B.2 C.4 D.6解析原式2log23×(2log32)log5(102×0.25)4log525426.答案D5.(2019·武漢月考)已知函數(shù)yloga(xc)(a，c為常數(shù)，其中a>0，且a1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是()A.a>1，c>1B.a>1，0<c<1C.0<a<1，c>1D.0<a<1，0<c<1解析由題圖可知，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以0<a<1.又當(dāng)x0時(shí)，y>0，即logac>0，所以0<c<1.答案D6.(2018·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)log2(x2a).若f(3)1，則a_.解析由f(3)1得log2(32a)1，所以9a2，解得a7.答案7考點(diǎn)一對(duì)數(shù)的運(yùn)算【例1】 (1)計(jì)算：÷100_.(2)計(jì)算：_.解析(1)原式(lg 22lg 52)×100lg×10lg 102×102×1020.(2)原式1.答案(1)20(2)1規(guī)律方法1.在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.2.先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.3.abNblogaN(a>0，且a1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.【訓(xùn)練1】 (1)若lg 2，lg(2x1)，lg(2x5)成等差數(shù)列，則x的值等于()A.1 B.0或 C. D.log23(2)(2019·成都七中檢測(cè))已知a>b>1，若logablogba，abba，則a_，b_.解析(1)由題意知lg 2lg(2x5)2lg(2x1)，2(2x5)(2x1)2，(2x)290，2x3，xlog23.(2)設(shè)logb at，則t>1，因?yàn)閠，所以t2，則ab2.又abba，所以b2bbb2，即2bb2，又a>b>1，解得b2，a4.答案(1)D(2)42考點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2】 (1)(2019·濰坊一模)若函數(shù)f(x)axax(a>0且a1)在R上為減函數(shù)，則函數(shù)yloga(|x|1)的圖象可以是()(2)當(dāng)x(1，2)時(shí)，不等式(x1)2<logax恒成立，則a的取值范圍是()A.(0，1) B.(1，2)C.(1，2 D.解析(1)由f(x)在R上是減函數(shù)，知0<a<1.又yloga(|x|1)是偶函數(shù)，定義域是(，1)(1，).當(dāng)x>1時(shí)，yloga(x1)的圖象由ylogax的圖象向右平移一個(gè)單位得到.因此選項(xiàng)D正確.(2)由題意，易知a>1.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y(x1)2，x(1，2)及ylogax的圖象.若ylogax過(guò)點(diǎn)(2，1)，得loga21，所以a2.根據(jù)題意，函數(shù)ylogax，x(1，2)的圖象恒在y(x1)2，x(1，2)的上方.結(jié)合圖象，a的取值范圍是(1，2.答案(1)D(2)C規(guī)律方法1.在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).2.一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【訓(xùn)練2】 (1)已知函數(shù)f(x)loga(2xb1)(a>0，a1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關(guān)系是()A.0<a1<b<1B.0<b<a1<1C.0<b1<a<1D.0<a1<b1<1(2)(2019·日照調(diào)研)已知函數(shù)f(x)若方程f(x)a0恰有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.解析(1)由函數(shù)圖象可知，f(x)在R上單調(diào)遞增，又y2xb1在R上單調(diào)遞增，故a>1.函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，logab)，由函數(shù)圖象可知1<logab<0，即logaa1<logab<loga1，所以，a1<b<1.綜上有0<a1<b<1.(2)作出函數(shù)yf(x)的圖象(如圖所示).方程f(x)a0恰有一個(gè)實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)yf(x)的圖象與直線ya恰有一個(gè)公共點(diǎn)，故a0或a2，即a的取值范圍是02，).答案(1)A(2)02，)考點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用多維探究角度1對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【例31】 (2017·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ln xln(2x)，則()A.f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增B.f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減C.yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)D.yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱(chēng)解析由題意知，f(x)ln xln(2x)的定義域?yàn)?0，2)，f(x)lnx(2x)ln(x1)21，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減，所以排除A，B；又f(2x)ln(2x)ln xf(x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)，C正確，D錯(cuò)誤.答案C角度2比較大小或解簡(jiǎn)單的不等式【例32】 (1)(一題多解)(2018·天津卷)已知alog2e，bln 2，clog，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b(2)若loga(a21)<loga2a<0，則a的取值范圍是()A.(0，1) B.C. D.(0，1)(1，)解析(1)法一因?yàn)閍log2e>1，bln 2(0，1)，cloglog23>log2ea>1，所以c>a>b.法二loglog23，如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)ylog2x，yln x的圖象，由圖知c>a>b.(2)由題意得a>0且a1，故必有a21>2a，又loga(a21)<loga2a<0，所以0<a<1，同時(shí)2a>1，a>.綜上，a.答案(1)D(2)C角度3對(duì)數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例33】 已知函數(shù)f(x)loga(3ax).(1)當(dāng)x0，2時(shí)，函數(shù)f(x)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解(1)a>0且a1，設(shè)t(x)3ax，則t(x)3ax為減函數(shù)，x0，2時(shí)，t(x)的最小值為32a，當(dāng)x0，2時(shí)，f(x)恒有意義，即x0，2時(shí)，3ax>0恒成立.32a>0.a<.又a>0且a1，a的取值范圍是(0，1).(2)t(x)3ax，a>0，函數(shù)t(x)為減函數(shù).f(x)在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，ylogat為增函數(shù)，a>1，x1，2時(shí)，t(x)最小值為32a，f(x)最大值為f(1)loga(3a)，即故不存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，并且最大值為1.規(guī)律方法1.確定函數(shù)的定義域，研究或利用函數(shù)的性質(zhì)，都要在其定義域上進(jìn)行.2.如果需將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價(jià)性，否則結(jié)論錯(cuò)誤.3.在解決與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的比較大小或解不等式問(wèn)題時(shí)，要優(yōu)先考慮利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求解.在利用單調(diào)性時(shí)，一定要明確底數(shù)a的取值對(duì)函數(shù)增減性的影響，及真數(shù)必須為正的限制條件.【訓(xùn)練3】 (1)(2016·全國(guó)卷)若a>b>0，0<c<1，則()A.logac<logbc B.logca<logcbC.ac<bc D.ca>cb(2)若函數(shù)f(x)loga(a>0，a1)在區(qū)間內(nèi)恒有f(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi).解析(1)由yxc與ycx的單調(diào)性知，C，D不正確；ylogcx是減函數(shù)，得logca<logcb，B正確；logac，logbc，0c1，lg c0.又ab0，lg alg b，但不能確定lg a，lg b的正負(fù)，logac與logbc的大小不能確定.(2)令Mx2x，當(dāng)x時(shí)，M(1，)，f(x)>0，所以a>1，所以函數(shù)ylogaM為增函數(shù)，又M，因此M的單調(diào)遞增區(qū)間為.又x2x>0，所以x>0或x<，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，).答案(1)B(2)(0，)思維升華1.對(duì)數(shù)值取正、負(fù)值的規(guī)律當(dāng)a>1且b>1或0<a<1且0<b<1時(shí)，logab>0；當(dāng)a>1且0<b<1或0<a<1且b>1時(shí)，logab<0.2.利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問(wèn)題，其基本方法是“同底法”，即把不同底的對(duì)數(shù)式化為同底的對(duì)數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來(lái)解決.3.比較冪、對(duì)數(shù)大小有兩種常用方法：(1)數(shù)形結(jié)合；(2)找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性.4.多個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問(wèn)題，可通過(guò)比較圖象與直線y1交點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行判定.易錯(cuò)防范1.在對(duì)數(shù)式中，真數(shù)必須是大于0的，所以對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax的定義域應(yīng)為(0，).對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a與1的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)，要分0<a<1與a>1兩種情況討論.2.在運(yùn)算性質(zhì)logaMlogaM中，要特別注意條件，在無(wú)M>0的條件下應(yīng)為logaMloga|M|(N*，且為偶數(shù)).3.解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)需注意兩點(diǎn)：(1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對(duì)數(shù)底數(shù)的取值范圍.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.已知函數(shù)f(x)則f(2log23)的值為()A.24 B.16 C.12 D.8解析因?yàn)?<2log23<4，所以f(2log23)f(3log23)23log238×2log2324.答案A2.(2018·天津卷)已知alog3 ，b，clog ，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b解析log log3151log35，因?yàn)楹瘮?shù)ylog3x在(0，)上為增函數(shù)，所以log35>log3 >log331，因?yàn)楹瘮?shù)y在(，)上為減函數(shù)，所以<1，故c>a>b.答案D3.(2018·張家界三模)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)2ax，g(x)loga(x2)(a>0，且a1)的圖象大致為()解析由題意，知函數(shù)f(x)2ax(a>0，且a1)為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)2ax的零點(diǎn)x>2，且函數(shù)g(x)loga(x2)在(2，)上為單調(diào)遞減函數(shù)，C，D均不滿足；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)2ax的零點(diǎn)x<2，且x>0，又g(x)loga(x2)在(2，)上是增函數(shù)，排除B，綜上只有A滿足.答案A4.(2019·肇慶二模)已知f(x)lg(10x)lg(10x)，則()A.f(x)是奇函數(shù)，且在(0，10)上是增函數(shù)B.f(x)是偶函數(shù)，且在(0，10)上是增函數(shù)C.f(x)是奇函數(shù)，且在(0，10)上是減函數(shù)D.f(x)是偶函數(shù)，且在(0，10)上是減函數(shù)解析由得x(10，10)，且f(x)lg(100x2).f(x)是偶函數(shù)，又t100x2在(0，10)上單調(diào)遞減，ylg t在(0，)上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)在(0，10)上單調(diào)遞減.答案D5.已知函數(shù)f(x)|ln x|，若f(m)f(n)(m>n>0)，則()A. B.1 C.2 D.4解析由f(m)f(n)，m>n>0，可知m>1>n>0，ln mln n，則mn1.所以2.答案C二、填空題6.lg2lg 2_.解析lg2lg 2lglg 222lg2121.答案17.(2019·昆明診斷)設(shè)f(x)lg是奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值范圍是_.解析由f(x)是奇函數(shù)可得a1，f(x)lg，定義域?yàn)?1，1).由f(x)<0，可得0<<1，1<x<0.答案(1，0)8.(2019·武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)若f(2a)1，則f(a)_.解析當(dāng)2a<2，即a>0時(shí)，f(2a)log2(1a)1.解得a，不合題意.當(dāng)2a2，即a0時(shí)，f(2a)2a11，即2a2，解得a1，所以f(a)f(1)log242.答案2三、解答題9.設(shè)f(x)loga(1x)loga(3x)(a>0，a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定義域；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值.解(1)f(1)2，loga42(a>0，a1)，a2.由得1x3，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1，3).(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，當(dāng)x0，1時(shí)，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，f(x)是減函數(shù)，故函數(shù)f(x)在上的最大值是f(1)log242.10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(0)0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)logx.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)>2.解(1)當(dāng)x<0時(shí)，x>0，則f(x)log(x).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)log(x)，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)(2)因?yàn)閒(4)log42，f(x)是偶函數(shù)，所以不等式f(x21)>2轉(zhuǎn)化為f(|x21|)>f(4).又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，)上是減函數(shù)，所以|x21|<4，解得<x<，即不等式的解集為(，).能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11.(2019·商丘二模)已知a>0且a1，函數(shù)f(x)loga(x)在區(qū)間(，)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)g(x)loga|x|b|的圖象是()解析函數(shù)f(x)loga(x)在區(qū)間(，)上是奇函數(shù)，f(0)0，b1，又函數(shù)f(x)loga(x)在區(qū)間(，)上是增函數(shù)，所以a>1.所以g(x)loga|x|1|，當(dāng)x>1時(shí)，g(x)loga(x1)為增函數(shù)，排除B，D；當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)loga(1x)為減函數(shù)，排除C；故選A.答案A12.(2017·全國(guó)卷)設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x3y5z，則()A.2x<3y<5z B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x D.3y<2x<5z解析令t2x3y5z，x，y，z為正數(shù)，t>1.則xlog2t，同理，y，z.2x3y>0，2x>3y.又2x5z<0，2x<5z，3y<2x<5z.答案D13.已知函數(shù)f(x)lg(mx22mx1)，若f(x)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.解析令g(x)mx22mx1值域?yàn)锳，函數(shù)f(x)lg(mx22mx1)的值域?yàn)镽，(0，)A，當(dāng)m0時(shí)，g(x)1，f(x)的值域不是R，不滿足條件；當(dāng)m0時(shí)，解得m1.答案1，)14.已知函數(shù)f(x)ln.(1)求函數(shù)f(x)的定義域，并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)對(duì)于x2，6，f(x)ln>ln恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解(1)由>0，解得x<1或x>1，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，1)(1，)，當(dāng)x(，1)(1，)時(shí)，f(x)lnlnlnlnf(x).f(x)ln是奇函數(shù).(2)由于x2，6時(shí)，f(x)ln>ln恒成立，>>0恒成立，x2，6，0<m<(x1)(7x)在x2，6上恒成立.令g(x)(x1)(7x)(x3)216，x2，6，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，x2，3時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，x3，6時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，即x2，6時(shí)，g(x)ming(6)7，0<m<7.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0，7).15