第2節(jié)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式最新考綱1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2cos21，tan ；2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±，±的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.知 識 梳 理1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2cos21.(2)商數(shù)關(guān)系：tan_.2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos cos_cos_cos_sin_sin_正切tan tan_tan_tan_口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限 微點(diǎn)提醒1.同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形(sin ±cos )21±2sin cos ；sin tan ·cos .2.誘導(dǎo)公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.3.在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號.基 礎(chǔ) 自 測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“×”)(1)sin()sin 成立的條件是為銳角.()(2)六組誘導(dǎo)公式中的角可以是任意角.()(3)若R，則tan 恒成立.()(4)若sin(k)(kZ)，則sin .()解析(1)中對于任意R，恒有sin()sin .(3)中當(dāng)?shù)慕K邊落在y軸上，商數(shù)關(guān)系不成立.(4)當(dāng)k為奇數(shù)時，sin ，當(dāng)k為偶數(shù)時，sin .答案(1)×(2)(3)×(4)×2.(必修4P21A12改編)已知tan 3，則cos2sin2()A. B. C. D.解析由同角三角函數(shù)關(guān)系得cos2sin2.答案B3.(必修4P29B2改編)已知為銳角，且sin ，則cos ()()A. B. C. D.解析因?yàn)闉殇J角，所以cos ，故cos()cos .答案A4.(2017·全國卷)已知sin cos ，則sin 2()A. B. C. D.解析(sin cos )212sin cos 1sin 2，sin 21.答案A5.(2019·濟(jì)南質(zhì)檢)若sin ，且為第四象限角，則tan ()A. B. C. D.解析sin ，為第四象限角，cos ，因此tan .答案D6.(2018·成都月考)化簡：_.解析原式1.答案1考點(diǎn)一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用【例1】 (1)(2018·蘭州測試)已知sin cos ，且<<，則cos sin ()A. B. C. D.(2)(2019·平頂山聯(lián)考)已知5，則cos2sin 2()A. B. C.3 D.3解析(1)<<，cos <0，sin <0且cos >sin ，cos sin >0.又(cos sin )212sin cos 12×，cos sin .(2)由5得5，可得tan 2，則cos2sin 2cos2sin cos .答案(1)B(2)A規(guī)律方法1.利用sin2cos21可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化.2.應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于sin cos ，sin cos ，sin cos 這三個式子，利用(sin ±cos )21±2sin cos ，可以知一求二.3.注意公式逆用及變形應(yīng)用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.【訓(xùn)練1】 (1)若3sin cos 0，則的值為()A. B. C. D.2(2)(2018·全國卷)已知sin cos 1，cos sin 0，則sin()_.解析(1)3sin cos 0cos 0tan ，.(2)由sin cos 1，cos sin 0，兩式平方相加，得22sin cos 2cos sin 1，整理得sin().答案(1)A(2)考點(diǎn)二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用【例2】 (1)(2019·衡水中學(xué)調(diào)研)若cos，則cos(2)()A. B. C. D.(2)設(shè)f()(12sin 0)，則f_.解析(1)由cos，得sin .cos(2)cos 2(12sin2)2sin212×1.(2)f()，f.答案(1)D(2)規(guī)律方法1.誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.2.含2整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算，如cos(5)cos()cos .【訓(xùn)練2】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin ，則sin _.(2)已知cosa，則cossin的值是_.解析(1)與的終邊關(guān)于y軸對稱，則2k，kZ，2k，kZ.sin sin(2k)sin .(2)coscoscosa，sinsina，cossinaa0.答案(1)(2)0考點(diǎn)三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的活用【例3】 (1)(2019·菏澤聯(lián)考)已知，sin，則tan(2)()A. B.± C.± D.(2)(2018·福州調(diào)研)已知為銳角，且2tan()3cos50，tan()6sin()10，則sin ()A. B. C. D.解析(1)，sin，cos ，sin ，tan 2.tan(2)tan 2.(2)由已知得消去sin ，得tan 3，sin 3cos ，代入sin2cos21，化簡得sin2，則sin (為銳角).答案(1)A(2)C(3)已知<x<0，sin(x)cos x.求sin xcos x的值；求的值.解由已知，得sin xcos x，兩邊平方得sin2x2sin xcos xcos2 x，整理得2sin xcos x.(sin xcos x)212sin xcos x，由<x<0知，sin x<0，又sin xcos x<0，cos x>0，sin xcos x<0，故sin xcos x.規(guī)律方法1.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形.2.(1)注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響，開方時先判斷三角函數(shù)值的符號；(2)熟記一些常見互補(bǔ)的角、互余的角，如與互余等.【訓(xùn)練3】 (1)(2019·湖北七州市聯(lián)考)已知(0，)，且cos ，則sin·tan ()A. B. C. D.(2)(2016·全國卷)已知是第四象限角，且sin，則tan_.解析(1)(0，)，且cos ，sin ，因此sin·tan cos ·sin .(2)由題意，得cos，tan.tantan.答案(1)C(2)思維升華1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系可用于統(tǒng)一函數(shù)；誘導(dǎo)公式主要用于統(tǒng)一角，其主要作用是進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡和證明.2.三角函數(shù)求值、化簡的常用方法：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x進(jìn)行切化弦或弦化切，如，asin2xbsin xcos xccos2x等類型可進(jìn)行弦化切.(2)和積轉(zhuǎn)換法：如利用(sin ±cos )21±2sin cos 的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化.(3)巧用“1”的變換：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2(1)tan 等.易錯防范1.利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值時，可利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)脫周化銳.特別注意函數(shù)名稱和符號的確定.2.注意求值與化簡后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：30分鐘)一、選擇題1.sin 600°的值為()A. B. C. D.解析sin 600°sin(360°240°)sin 240°sin(180°60°)sin 60°.答案B2.(2019·衡水模擬)已知直線2xy10的傾斜角為，則sin 22cos2()A. B. C. D.解析由題意知tan 2，sin 22cos2.答案A3.()A.sin 2cos 2 B.sin 2cos 2C.±(sin 2cos 2) D.cos 2sin 2 解析|sin 2cos 2|sin 2cos 2.答案A4.已知sin()cos(2)，|<，則等于()A. B. C. D.解析sin()cos(2)，sin cos ，tan ，|，.答案D5.已知sin，則cos()A. B. C. D.解析因?yàn)閟in，所以cossinsin.答案B6.向量a，b(cos ，1)，且ab，則cos()A. B. C. D.解析a，b(cos ，1)，且ab，×1tan cos 0，sin ，cossin .答案A7.已知函數(shù)f(x)asin(x)bcos(x)，且f(4)3，則f(2 020)的值為()A.1 B.1 C.3 D.3解析f(4)asin(4)bcos(4)asin bcos 3，f(2 020)asin(2 020)bcos(2 020)asin bcos 3.答案C二、填空題8.已知sin ，且為第三象限的角，則tan _.解析sin ，且為第三象限的角，cos ，tan .答案9.已知tan，則tan_.解析，tantantan.答案10.已知sin cos ，則sin cos 的值為_.解析sin cos ，sin cos .又(sin cos )212sin cos ，又，sin cos .答案11.已知tan 3，則cos_.解析tan 3，cossin 2.答案12.(2019·邯鄲一模)若sin()3sin()，且，則_.解析由條件，得sin()3sin()，sin cos 2cos sin ，則tan 2tan ，因此2.答案2能力提升題組(建議用時：20分鐘)13.若sin ，cos 是方程4x22mxm0的兩根，則m的值為()A.1 B.1C.1± D.1解析由題意知sin cos ，sin ·cos .又12sin cos ，1，解得m1±.又4m216m0，m0或m4，m1.答案B14.已知sincos，且0<<，則sin _，cos _.解析sincoscos ·(sin )sin cos .0<<，0<sin <cos .又sin2cos21，sin ，cos .答案15.已知kZ，化簡：_.解析當(dāng)k2n(nZ)時，原式1；當(dāng)k2n1(nZ)時，原式1.綜上，原式1.答案116.是否存在，(0，)，使等式sin(3)cos，cos()cos()同時成立？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由.解假設(shè)存在角，滿足條件，則由已知條件可得由22，得sin23cos22.sin2，sin ±.，±.當(dāng)時，由式知cos ，又(0，)，此時式成立；當(dāng)時，由式知cos ，又(0，)，此時式不成立，故舍去.存在，滿足條件.12