第6節(jié)正弦定理和余弦定理最新考綱掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.知 識 梳 理1.正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理公式2Ra2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C常見變形(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)·r(r是三角形內切圓的半徑)，并可由此計算R，r. 3.在ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式absin Absin A<a<baba>bab解的個數一解兩解一解一解無解微點提醒1.三角形中的三角函數關系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sincos；(4)cossin.2.三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.3.在ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>Ba>bsin A>sin Bcos A<cos B.基 礎 自 測1.判斷下列結論正誤(在括號內打“”或“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應的三個內角之比.()(2)在ABC中，若sin A>sin B，則A>B.()(3)在ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素.()(4)當b2c2a2>0時，ABC為銳角三角形；當b2c2a20時，ABC為直角三角形；當b2c2a2<0時，ABC為鈍角三角形.()解析(1)三角形中三邊之比等于相應的三個內角的正弦值之比.(3)已知三角時，不可求三邊.(4)當b2c2a2>0時，三角形ABC不一定為銳角三角形.答案(1)×(2)(3)×(4)×2.(必修5P10A4改編)在ABC中，AB5，AC3，BC7，則BAC()A. B. C. D.解析在ABC中，設ABc5，ACb3，BCa7，由余弦定理得cosBAC，由A(0，)，得A，即BAC.答案C3.(必修5P10B2改編)在ABC中，acos Abcos B，則這個三角形的形狀為_.解析由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以這個三角形為等腰三角形或直角三角形.答案等腰三角形或直角三角形4.(2018·沈陽質檢)已知ABC中，A，B，a1，則b等于()A.2 B.1 C. D.解析由正弦定理，得，b.答案D5.(2018·全國卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，則AB()A.4 B.C. D.2解析由題意得cos C2cos2 12×1.在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC×BC×cos C52122×5×1×32，所以AB4.答案A6.(2019·荊州一模)設ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a2，cos A，sin B2sin C，則ABC的面積是_.解析由sin B2sin C，cos A，A為ABC一內角可得b2c，sin A，由a2b2c22bccos A，可得84c2c23c2，解得c2(舍負)，則b4.SABCbcsin A×2×4×.答案考點一利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)(2017·全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C60°，b，c3，則A_.(2)(2019·棗莊二模)已知ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，則A()A. B. C. D.(3)(2018·全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若ABC的面積為，則C()A. B. C. D.解析(1)由正弦定理，得sin B，結合b<c得B45°，則A180°BC75°.(2)(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由正弦定理得(ab)(ab)c(cb)，即b2c2a2bc.所以cos A，又A(0，)，所以A.(3)因為a2b2c22abcos C，且SABC，所以SABCabsin C，所以tan C1.又C(0，)，故C.答案(1)75°(2)B(3)C規(guī)律方法1.三角形解的個數的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷.2.已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理時，需判斷其解的個數，用余弦定理時，可根據一元二次方程根的情況判斷解的個數.【訓練1】 (1)(2017·全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，則C()A. B. C. D.(2)(2019·鄭州二模)在ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c.若2cos2cos 2C1，4sin B3sin A，ab1，則c的值為()A. B. C. D.6(3)在ABC中，已知a2，b，A45°，則滿足條件的三角形有()A.1個 B.2個 C.0個 D.無法確定解析(1)由題意得sin(AC)sin A(sin Ccos C)0，sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，則sin C(sin Acos A)sin Csin0，因為C(0，)，所以sin C0，所以sin0，又因為A(0，)，所以A，所以A.由正弦定理，得，則sin C，又C(0，)，得C.(2)由2cos2cos 2C1，可得2cos21cos 2C0，則有cos 2Ccos C0，即2cos2Ccos C10，解得cos C或cos C1(舍)，由4sin B3sin A，得4b3a，又ab1，聯立，得a4，b3，所以c2a2b22abcos C1691213，則c.(3)bsin A×，bsin A<a<b.滿足條件的三角形有2個.答案(1)B(2)A(3)B考點二判斷三角形的形狀【例2】 (1)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若<cos A，則ABC為()A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.等邊三角形(2)設ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定解析(1)由<cos A，得<cos A，又B(0，)，所以sin B>0，所以sin C<sin Bcos A，即sin(AB)<sin Bcos A，所以sin Acos B<0，因為在三角形中sin A>0，所以cos B<0，即B為鈍角，所以ABC為鈍角三角形.(2)由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin Asin2A.A(0，)，sin A>0，sin A1，即A，ABC為直角三角形.答案(1)A(2)B規(guī)律方法1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系；(2)化角為邊，通過代數變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉化的橋梁.2.無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數值的限制.【訓練2】 若將本例(2)中條件變?yōu)椤癱acos B(2ab)cos A”，判斷ABC的形狀.解cacos B(2ab)cos A，C(AB)，由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，cos A(sin Bsin A)0，cos A0或sin Bsin A，A或BA或BA(舍去)，ABC為等腰或直角三角形.考點三和三角形面積、周長有關的問題多維探究角度1與三角形面積有關的問題【例31】 (2017·全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)設D為BC邊上一點，且ADAC，求ABD的面積.解(1)由sin Acos A0及cos A0，得tan A，又0<A<，所以A.由余弦定理，得284c24c·cos .即c22c240，解得c6(舍去)，c4.(2)由題設可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD與ACD面積的比值為1.又ABC的面積為×4×2sinBAC2，所以ABD的面積為.角度2與三角形周長有關的問題【例32】 (2018·大理模擬)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足asin Bbcos A.若a4，則ABC周長的最大值為_.解析由正弦定理，可將asin Bbcos A轉化為sin Asin Bsin Bcos A.又在ABC中，sin B>0，sin Acos A，即tan A.0<A<，A.由余弦定理得a216b2c22bccos A(bc)23bc(bc)23，則(bc)264，即bc8(當且僅當bc4時等號成立)，ABC周長abc4bc12，即最大值為12.答案12規(guī)律方法1.對于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式.2.與面積周長有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化.【訓練3】 (2019·濰坊一模)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(a2c)cos Bbcos A0.(1)求B；(2)若b3，ABC的周長為32，求ABC的面積.解(1)由已知及正弦定理得(sin A2sin C)cos Bsin Bcos A0，(sin Acos Bsin Bcos A)2sin Ccos B0，sin(AB)2sin Ccos B0，又sin(AB)sin C，且C(0，)，sin C0，cos B，0<B<，B.(2)由余弦定理，得9a2c22accos B.a2c2ac9，則(ac)2ac9.abc32，b3，ac2，ac3，SABCacsin B×3×.思維升華1.正弦定理和余弦定理其主要作用是將已知條件中的邊、角關系轉化為角的關系或邊的關系.2.在已知關系式中，既含有邊又含有角，通常的解題思路是：先將角都化成邊或邊都化成角，再結合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在ABC中，若a2b2<c2，由cos C<0，可知角C為鈍角，則ABC為鈍角三角形.易錯防范1.在利用正弦定理解有關已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形時，有時出現一解、兩解，所以要進行分類討論.另外三角形內角和定理起著重要作用，在解題中要注意根據這個定理確定角的范圍，確定三角函數值的符號，防止出現增解等擴大范圍的現象.2.在判斷三角形的形狀時，等式兩邊一般不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解.基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.(2016·全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a，c2，cos A，則b()A. B. C.2 D.3解析由余弦定理，得5b2222×b×2×，解得b3.答案D2.在ABC中，cos2(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則ABC的形狀為()A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析因為cos2，所以2cos211，所以cos B，所以，所以c2a2b2.所以ABC為直角三角形.答案B3.(2019·石家莊一模)在ABC中，AB2，C，則ACBC的最大值為()A. B.2 C.3 D.4解析在ABC中，AB2，C，則4，則ACBC4sin B4sin A4sin4sin A2cos A6sin A4sin(A)，(其中tan ).所以ACBC的最大值為4.答案D4.(2019·開封模擬)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A，2sin Asin B，且b6，則c()A.2 B.3 C.4 D.6解析在ABC中，A，b6，a2b2c22bccos A，即a236c26c，又2sin Asin B，2ab，即cos C，a2364c2，由解得c4或c6(不合題意，舍去).因此c4.答案C5.(2018·全國卷改編)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，則ABC的面積為()A. B. C. D.解析由bsin Ccsin B4asin Bsin C及正弦定理，得2sin Bsin C4sin Asin Bsin C，易知sin Bsin C0，sin A.又b2c2a28，cos A，則cos A>0.cos A，即，則bc.ABC的面積Sbcsin A××.答案B二、填空題6.(2018·浙江卷)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a，b2，A60°，則sin B_，c_.解析由，得sin Bsin A，又a2b2c22bccos A，c22c30，解得c3(c1舍去).答案37.(2019·合肥模擬)我國南宋著名數學家秦九韶發(fā)現了由三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，則“三斜求積”公式為S.若a2sin C4sin A，(ac)212b2，則用“三斜求積”公式求得ABC的面積為_.解析根據正弦定理及a2sin C4sin A，可得ac4，由(ac)212b2，可得a2c2b24，所以SABC.答案8.在ABC中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，且B為銳角，若，sin B，SABC，則b的值為_.解析由ac，由SABCacsin B且sin B得ac5，聯立，得a5，且c2.由sin B且B為銳角知cos B，由余弦定理知b22542×5×2×14，b.答案三、解答題9.(2018·北京卷)在ABC中，a7，b8，cos B.(1)求A；(2)求AC邊上的高.解(1)在ABC中，因為cos B，所以sin B.由正弦定理得sin A.由題設知<B<，所以0<A<.所以A.(2)在ABC中，因為sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以AC邊上的高為asin C7×.10.已知ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a2ab2b20.(1)若B，求A，C；(2)若C，c14，求SABC.解(1)由已知B，a2ab2b20結合正弦定理化簡整理得2sin2Asin A10，于是sin A1或sin A(舍).因為0<A<，所以A，又ABC，所以C.(2)由題意及余弦定理可知a2b2ab196，由a2ab2b20得(ab)(a2b)0，因為ab>0，所以a2b0，即a2b，聯立解得b2，a4.所以SABCabsin C14.能力提升題組(建議用時：20分鐘)11.ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos C，bcos Aacos B2，則ABC的外接圓面積為()A.4 B.8 C.9 D.36解析由題意及正弦定理得2Rsin Bcos A2Rsin Acos B2Rsin(AB)2(R為ABC的外接圓半徑).即2Rsin C2.又cos C及C(0，)，知sin C.2R6，R3.故ABC外接圓面積SR29.答案C12.(2019·武漢模擬)在ABC中，C，AB3，則ABC的周長為()A.6sin3 B.6sin3C.2sin3 D.2sin3解析設ABC的外接圓半徑為R，則2R2，于是BC2Rsin A2sin A，AC2Rsin B2sin.于是ABC的周長為232sin3.答案C13.(2019·長春一模)在ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos Asin Acos C，且a2，則ABC面積的最大值為_.解析因為cos Asin Acos C，所以bcos Asin Ccos Asin Acos C，所以bcos Asin(AC)，所以bcos Asin B，所以，又，a2，所以，得tan A，又A(0，)，則A，由余弦定理得(2)2b2c22bc·b2c2bc2bcbcbc，即bc12，當且僅當bc2時取等號，從而ABC面積的最大值為×12×3.答案314.(2018·天津卷)在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)設a2，c3，求b和sin(2AB)的值.解(1)在ABC中，由正弦定理，得bsin Aasin B，又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，可得tan B.又因為B(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A.因為a<c，故cos A.因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以，sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B××.15