第4課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)考點(diǎn)一判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例1】 (2019·合肥質(zhì)檢)已知二次函數(shù)f(x)的最小值為4，且關(guān)于x的不等式f(x)0的解集為x|1x3，xR.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)4ln x的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解(1)f(x)是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f(x)0的解集為x|1x3，xR，設(shè)f(x)a(x1)(x3)ax22ax3a，且a>0.f(x)minf(1)4a4，a1.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)x22x3.(2)由(1)知g(x)4ln xx4ln x2，g(x)的定義域?yàn)?0，)，g(x)1，令g(x)0，得x11，x23.當(dāng)x變化時(shí)，g(x)，g(x)的取值變化情況如下表：x(0，1)1(1，3)3(3，)g(x)00g(x)極大值極小值當(dāng)0<x3時(shí)，g(x)g(1)4<0，當(dāng)x>3時(shí)，g(e5)e5202>251229>0.又因?yàn)間(x)在(3，)上單調(diào)遞增，因而g(x)在(3，)上只有1個(gè)零點(diǎn)，故g(x)僅有1個(gè)零點(diǎn).規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個(gè)數(shù)的常用方法(1)構(gòu)建函數(shù)g(x)(要求g(x)易求，g(x)0可解)，轉(zhuǎn)化確定g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢(shì))等，畫(huà)出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)利用零點(diǎn)存在性定理：先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【訓(xùn)練1】 已知函數(shù)f(x)ex1，g(x)x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e2.718 28.(1)證明：函數(shù)h(x)f(x)g(x)在區(qū)間(1，2)上有零點(diǎn)；(2)求方程f(x)g(x)的根的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.(1)證明由題意可得h(x)f(x)g(x)ex1x，所以h(1)e3<0，h(2)e23>0，所以h(1)h(2)<0，所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(1，2)上有零點(diǎn).(2)解由(1)可知h(x)f(x)g(x)ex1x.由g(x)x知x0，)，而h(0)0，則x0為h(x)的一個(gè)零點(diǎn).又h(x)在(1，2)內(nèi)有零點(diǎn)，因此h(x)在0，)上至少有兩個(gè)零點(diǎn).h(x)exx1，記(x)exx1，則(x)exx.當(dāng)x(0，)時(shí)，(x)>0，因此(x)在(0，)上單調(diào)遞增，易知(x)在(0，)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，即h(x)在0，)內(nèi)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，則h(x)在0，)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，所以方程f(x)g(x)的根的個(gè)數(shù)為2.考點(diǎn)二已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍【例2】 函數(shù)f(x)axxln x在x1處取得極值.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若yf(x)m1在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解(1)函數(shù)f(x)axxln x的定義域?yàn)?0，).f(x)aln x1，因?yàn)閒(1)a10，解得a1，當(dāng)a1時(shí)，f(x)xxln x，即f(x)ln x，令f(x)>0，解得x>1；令f(x)<0，解得0<x<1.所以f(x)在x1處取得極小值，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1).(2)yf(x)m1在(0，)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為yf(x)與ym1圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).由(1)知，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)1，由題意得，m1>1，即m>2，當(dāng)0<x<e時(shí)，f(x)x(1ln x)<0；當(dāng)x>e時(shí)，f(x)>0.當(dāng)x>0且x0時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，顯然f(x).由圖象可知，m1<0，即m<1，由可得2<m<1.所以m的取值范圍是(2，1).規(guī)律方法與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)，從而判斷函數(shù)的大致圖象，討論其圖象與x軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過(guò)對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.【訓(xùn)練2】 已知函數(shù)f(x)exaxa(aR且a0).(1)若f(0)2，求實(shí)數(shù)a的值，并求此時(shí)f(x)在2，1上的最小值；(2)若函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)由題意知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，又f(0)1a2，得a1，所以f(x)exx1，求導(dǎo)得f(x)ex1.易知f(x)在2，0上單調(diào)遞減，在0，1上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)在2，1上取得最小值2.(2)由(1)知f(x)exa，由于ex>0，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)>0，f(x)在R上是增函數(shù)，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)exa(x1)>0；當(dāng)x<0時(shí)，取x，則f<1aa<0.所以函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意.當(dāng)a<0時(shí)，令f(x)0，得xln(a).在(，ln(a)上，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，在(ln (a)，)上，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)xln(a)時(shí)，f(x)取最小值.函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，等價(jià)于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)>0，解得e2<a<0.綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e2，0).考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的綜合問(wèn)題【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)e2xaln x.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，f(x)2aaln .(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2e2x(x>0).當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0，f(x)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，因?yàn)閥e2x單調(diào)遞增，y單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.又f(a)>0，假設(shè)存在b滿(mǎn)足0<b<時(shí)，且b<，f(b)<0，故當(dāng)a>0時(shí)，f(x)存在唯一零點(diǎn).(2)證明由(1)，可設(shè)f(x)在(0，)上的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，f(x)>0.故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)xx0時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(x0).由于2e2x00，所以f(x0)2ax0aln 2aaln .故當(dāng)a>0時(shí)，f(x)2aaln .規(guī)律方法1.在(1)中，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，從而f(x)在(0，)上至多有一個(gè)零點(diǎn)，問(wèn)題的關(guān)鍵是找到b，使f(b)<0.2.由(1)知，函數(shù)f(x)存在唯一零點(diǎn)x0，則f(x0)為函數(shù)的最小值，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明f(x0)2aaln .【訓(xùn)練3】 (2018·東北三省四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ln xxm(m<2，m為常數(shù)).(1)求函數(shù)f(x)在的最小值；(2)設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，且x1<x2，證明：x1·x2<1.(1)解f(x)ln xxm(m<2)的定義域?yàn)?0，)，且f(x)0，x1.當(dāng)x(0，1)時(shí)，f(x)>0，所以yf(x)在(0，1)遞增；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)<0，所以yf(x)在(1，)上遞減.且f1m，f(e)1em，因?yàn)閒f(e)2e>0，函數(shù)f(x)在的最小值為1em.(2)證明由(1)知x1，x2滿(mǎn)足ln xxm0，且0<x1<1，x2>1，ln x1x1mln x2x2m0，由題意可知ln x2x2m<2<ln 22.又由(1)可知f(x)ln xx在(1，)遞減，故x2>2，所以0<x1，<1.則f(x1)fln x1x1ln x2x2x22ln x2.令g(x)x2ln x(x>2)，則g(x)10，當(dāng)x>2時(shí)，g(x)是減函數(shù)，所以g(x)<g(2)ln 4.因ln 4ln>lnlnlnln>ln 10，g(x)<0，所以當(dāng)x>2時(shí)，f(x1)f<0，即f(x1)<f.因?yàn)?<x1，<1，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.所以x1<，故x1x2<1.思維升華1.解決函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)問(wèn)題，可通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)圖象的位置、形狀和發(fā)展趨勢(shì)，觀察圖象與x軸的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法判斷函數(shù)的零點(diǎn)是否存在及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等.2.通過(guò)等價(jià)變形，可將“函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)”與“方程f(x)g(x)的解”問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化.易錯(cuò)防范函數(shù)yf(x)在某一區(qū)間(a，b)上存在零點(diǎn)，必要時(shí)要由函數(shù)零點(diǎn)存在定理作為保證.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：35分鐘)一、選擇題1.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，4，部分對(duì)應(yīng)值如下表：x10234f(x)12020f(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示.當(dāng)1<a<2時(shí)，函數(shù)yf(x)a的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4解析根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，知2是函數(shù)的極小值點(diǎn)，函數(shù)yf(x)的大致圖象如圖所示.由于f(0)f(3)2，1<a<2，所以yf(x)a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.答案D2.(2019·武漢調(diào)研)已知f(x)exax2.命題p：a1，yf(x)有三個(gè)零點(diǎn)，命題q：aR，f(x)0恒成立.則下列命題為真命題的是()A.pq B.(綈p)(綈q)C.(綈p)q D.p(綈q)解析對(duì)于命題p：當(dāng)a1時(shí)，f(x)exx2，在同一坐標(biāo)系中作出yex，yx2的圖象(圖略)，由圖可知yex與yx2的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，f(x)exx2有1個(gè)零點(diǎn)，故命題p為假命題，f(0)1，命題q顯然為假命題.故(綈p)(綈q)為真.答案B二、填空題3.直線xt分別與函數(shù)f(x)ex1的圖象及g(x)2x1的圖象相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，則|AB|的最小值為_(kāi).解析由題意得，|AB|et1(2t1)|et2t2|，令h(t)et2t2，則h(t)et2，所以h(t)在(，ln 2)上單調(diào)遞減，在(ln 2，)上單調(diào)遞增，所以h(t)minh(ln 2)42ln 2>0，即|AB|的最小值是42ln 2.答案42ln 24.若函數(shù)f(x)1(a<0)沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi).解析f(x)(a<0).當(dāng)x<2時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x2時(shí)，f(x)有極小值f(2)1.若使函數(shù)f(x)沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f(2)1>0，解之得a>e2，因此e2<a<0.答案(e2，0)三、解答題5.(2019·保定調(diào)研)已知函數(shù)f(x)x3x2ax2的圖象過(guò)點(diǎn)A.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)g(x)f(x)2m3有3個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.解(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x3x2ax2的圖象過(guò)點(diǎn)A，所以4a4a2，解得a2，即f(x)x3x22x2，所以f(x)x2x2.由f(x)>0，得x<1或x>2.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1)，(2，).(2)由(1)知f(x)極大值f(1)22，f(x)極小值f(2)242，由數(shù)形結(jié)合，可知要使函數(shù)g(x)f(x)2m3有三個(gè)零點(diǎn)，則<2m3<，解得<m<.所以m的取值范圍為.6.設(shè)函數(shù)f(x)ln x(m>0)，討論函數(shù)g(x)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解函數(shù)g(x)f(x)(x>0)，令g(x)0，得mx3x(x>0).設(shè)h(x)x3x(x>0)，所以h(x)x21(x1)(x1).當(dāng)x(0，1)時(shí)，h(x)>0，此時(shí)h(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)<0，此時(shí)h(x)在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減.所以當(dāng)x1時(shí)，h(x)取得極大值h(1)1.令h(x)0，即x3x0，解得x0(舍去)或x.作出函數(shù)h(x)的大致圖象(如圖)，結(jié)合圖象知：當(dāng)m>時(shí)，函數(shù)ym和函數(shù)yh(x)的圖象無(wú)交點(diǎn).當(dāng)m時(shí)，函數(shù)ym和函數(shù)yh(x)的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0<m<時(shí)，函數(shù)ym和函數(shù)yh(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).綜上所述，當(dāng)m>時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)m時(shí)，函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0<m<時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn).能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)7.(2018·江蘇卷改編)若函數(shù)f(x)2x3ax21(aR)在區(qū)間(0，)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求f(x)在1，1上的最大值與最小值的和.解f(x)6x22ax2x(3xa)(aR)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0在(0，)上恒成立，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又f(0)1，所以此時(shí)f(x)在(0，)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意.當(dāng)a>0時(shí)，由f(x)>0得x>，由f(x)<0得0<x<，則f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又f(x)在(0，)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以f10，得a3，所以f(x)2x33x21，則f(x)6x(x1)，當(dāng)x(1，0)時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x(0，1)時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.則f(x)maxf(0)1，f(1)4，f(1)0，則f(x)min4，所以f(x)在1，1上的最大值與最小值的和為3.8.已知函數(shù)f(x)axln x，其中a為常數(shù).(1)當(dāng)a1時(shí)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)0<<e時(shí)，若f(x)在區(qū)間(0，e)上的最大值為3，求a的值；(3)當(dāng)a1時(shí)，試推斷方程|f(x)|是否有實(shí)數(shù)根.解(1)由已知可知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x>0，當(dāng)a1時(shí)，f(x)xln x(x>0)，f(x)(x>0)；當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1).(2)因?yàn)閒(x)a(x>0)，令f(x)0，解得x；由f(x)>0，解得0<x<；由f(x)<0，解得<x<e.從而f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，所以，f(x)maxf1ln3.解得ae2.(3)由(1)知當(dāng)a1時(shí)，f(x)maxf(1)1，所以|f(x)|1.令g(x)，則g(x).當(dāng)0<x<e時(shí)，g(x)>0；當(dāng)x>e時(shí)，g(x)<0.從而g(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，)上單調(diào)遞減.所以g(x)maxg(e)<1，所以，|f(x)|>g(x)，即|f(x)|>，所以，方程|f(x)|沒(méi)有實(shí)數(shù)根.11