課時作業(yè)48雙曲線 基礎達標一、選擇題12019·山西聯考已知雙曲線1(a>0，b>0)的焦距為4，漸近線方程為2x±y0，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：解法一易知雙曲線(a>0，b>0)的焦點在x軸上，所以由漸近線方程為2x±y0，得2，因為雙曲線的焦距為4，所以c2，結合c2a2b2，可得a2，b4，所以雙曲線的方程為1，故選A.解法二易知雙曲線的焦點在x軸上，所以由漸近線方程為2x±y0，可設雙曲線的方程為x2(>0)，即1，因為雙曲線的焦距為4，所以c2，所以420，4，所以雙曲線的方程為1，故選A.答案：A22019·山東濰坊模擬已知雙曲線1(a>0，b>0)的焦點到漸近線的距離為，且離心率為2，則該雙曲線的實軸的長為()A1 B.C2 D2解析：由題意知雙曲線的焦點(c,0)到漸近線bxay0的距離為b，即c2a23，又e2，所以a1，該雙曲線的實軸的長為2a2.答案：C32018·全國卷已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，則點(4,0)到C的漸近線的距離為()A. B2C. D2解析：由題意，得e，c2a2b2，得a2b2.又因為a>0，b>0，所以ab，漸近線方程為x±y0，點(4,0)到漸近線的距離為2.故選D.答案：D42019·江西聯考已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為2，左，右焦點分別為F1，F2，點A在雙曲線C上，若AF1F2的周長為10a，則AF1F2的面積為()A2a2 B.a2C30a2 D15a2解析：由雙曲線的對稱性不妨設A在雙曲線的右支上，由e2，得c2a，AF1F2的周長為|AF1|AF2|F1F2|AF1|AF2|4a，又AF1F2的周長為10a，|AF1|AF2|6a，又|AF1|AF2|2a，|AF1|4a，|AF2|2a，在AF1F2中，|F1F2|4a，cosF1AF2.sinF1AF2，SAF1F2|AF1|·|AF2|·sinF1AF2×4a×2a×a2.故選B.答案：B52019·南昌調研已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，P為雙曲線C上第二象限內一點，若直線yx恰為線段PF2的垂直平分線，則雙曲線C的離心率為()A. B.C. D.解析：由題，結合圖知，直線PF2的方程為y(xc)，設直線PF2與直線yx的交點為N，易知N，又線段PF2的中點為N，故P，因為點P在雙曲線C上，所以1，即5a2c2，所以e.答案：C二、填空題6已知雙曲線1的一個焦點是(0,2)，橢圓1的焦距等于4，則n_.解析：因為雙曲線的焦點是(0,2)，所以焦點在y軸上，所以雙曲線的方程為1，即a23m，b2m，所以c23mm4m4，解得m1.所以橢圓方程為x21，且n>0，橢圓的焦距為4，所以c2n14或1n4，解得n5或3(舍去)答案：572019·太原高三模擬設P為雙曲線1上一點，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|2|PF2|，則cosPF2F1_.解析：|PF1|2|PF2|，點P在雙曲線的右支上，|PF1|PF2|2，|PF1|4，|PF2|2，又|F1F2|4，由余弦定理得，cosPF2F1.答案：82019·益陽市，湘潭市高三調研已知F為雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點，定點A為雙曲線虛軸的一個端點，過F，A兩點的直線與雙曲線的一條漸近線在y軸右側的交點為B，若3，則此雙曲線的離心率為_解析：F(c,0)，A(0，b)，得直線AF：yxb.根據題意知，直線AF與漸近線yx相交，聯立得消去x得，yB.由3，得yB4b，所以4b，化簡得3c4a，離心率e.答案：三、解答題9若雙曲線E：y21(a0)的離心率等于，直線ykx1與雙曲線E的右支交于A，B兩點(1)求k的取值范圍；(2)若|AB|6，求k的值解析：(1)由得故雙曲線E的方程為x2y21.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.直線與雙曲線右支交于A，B兩點，故即所以1k.故k的取值范圍為(1，)(2)由得x1x2，x1x2，|AB|·26，整理得28k455k2250，k2或k2.又1k，k.10已知橢圓C1的方程為y21，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點，O為坐標原點(1)求雙曲線C2的方程；(2)若直線l：ykx與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且·>2，求k的取值范圍解析：(1)設雙曲線C2的方程為1(a>0，b>0)，則a2413，c24，再由a2b2c2，得b21，故雙曲線C2的方程為y21.(2)將ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點，得k2<1且k2.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又·>2，即x1x2y1y2>2，>2，即>0，解得<k2<3.由得<k2<1，故k的取值范圍為.能力挑戰(zhàn)112018·天津卷已知雙曲線1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1d26，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：本題主要考查雙曲線的方程、幾何性質以及點到直線的距離公式的應用雙曲線1(a>0，b>0)的離心率為2，e214，3，即b23a2，c2a2b24a2，由題意可設A(2a,3a)，B(2a，3a)，3，漸近線方程為y±x，則點A與點B到直線xy0的距離分別為d1a，d2a，又d1d26，aa6，解得a，b29.雙曲線的方程為1，故選C.答案：C122018·全國卷已知雙曲線C：y21，O為坐標原點，F為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若OMN為直角三角形，則|MN|()A. B3C2 D4解析：由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y±x.設兩漸近線夾角為2，則有tan，所以30°.所以MON260°.又OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對稱性，不妨設MNON，如圖所示在RtONF中，|OF|2，則|ON|.則在RtOMN中，|MN|ON|·tan2·tan60°3.故選B.答案：B132018·北京卷已知橢圓M：1(a>b>0)，雙曲線N：1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為_；雙曲線N的離心率為_解析：解法一如圖是一個正六邊形，A，B，C，D是雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點，F1，F2為橢圓M的兩個焦點直線AC是雙曲線N的一條漸近線，且其方程為yx，.設mk，則nk，則雙曲線N的離心率e22.連接F1C，在正六邊形ABF2CDF1中，可得F1CF290°，CF1F230°.設橢圓的焦距為2c，則|CF2|c，|CF1|c，再由橢圓的定義得|CF1|CF2|2a，即(1)c2a，橢圓M的離心率e11.解法二雙曲線N的離心率同解法一由題意可得C點坐標為，代入橢圓M的方程，并結合a，b，c的關系，聯立得方程組解得1.答案：1,26