第7節(jié)解三角形應(yīng)用舉例最新考綱能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)方法解決一些與測(cè)量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.知 識(shí) 梳 理1.仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).2.方位角從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點(diǎn)的方位角為(如圖2).3.方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.5.解決與平面幾何有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題關(guān)鍵是找清各量之間的關(guān)系，從而應(yīng)用正、余弦定理求解.微點(diǎn)提醒1.不要搞錯(cuò)各種角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混.2.在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.基 礎(chǔ) 自 測(cè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×”)(1)東北方向就是北偏東45°的方向.()(2)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為180°.()(3)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為.()(4)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系.()解析(2)；(3)俯角是視線與水平線所構(gòu)成的角.答案(1)(2)×(3)×(4)2.(必修5P11例1改編)如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為()A.50 m B.50 m C.25 m D. m解析由正弦定理得，又CBA30°，AB50(m).答案A3. (必修5P15練習(xí)T3改編)如圖所示，D，C，B三點(diǎn)在地面的同一條直線上，DCa，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為60°，30°，則A點(diǎn)離地面的高度AB_.解析由已知得DAC30°，ADC為等腰三角形，ADa，所以在RtADB中，ABADa.答案a4.(2019·雅禮中學(xué)月考)如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A.北偏東10° B.北偏西10°C.南偏東80° D.南偏西80°解析由條件及圖可知，ACBA40°，又BCD60°，所以CBD30°，所以DBA10°，因此燈塔A在燈塔B的南偏西80°.答案D5.(2017·浙江卷)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率，理論上能把的值計(jì)算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年.“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6，S6_.解析如圖，連接正六邊形的對(duì)角線，將正六邊形分成六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，從而S66××12×sin 60°.答案6.(2018·福州模擬)如圖，在ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，ADAC，sin BAC，AB3，AD3，則BD的長(zhǎng)為_(kāi).解析因?yàn)閟inBAC，且ADAC，所以sin，所以cosBAD，在BAD中，由余弦定理，得BD.答案考點(diǎn)一求距離、高度問(wèn)題多維探究角度1測(cè)量高度問(wèn)題【例11】 如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD_m.解析由題意，在ABC中，BAC30°，ABC180°75°105°，故ACB45°.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300(m).在RtBCD中，CDBC·tan 30°300×100(m).答案100規(guī)律方法1.在處理有關(guān)高度問(wèn)題時(shí)，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵.2.在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò).3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.【訓(xùn)練1】 如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得BCD15°，BDC30°，CD30，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于()A.5 B.15 C.5 D.15解析在BCD中，CBD180°15°30°135°.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtan ACB15×15.答案D角度2測(cè)量距離問(wèn)題【例12】 如圖所示，某旅游景點(diǎn)有一座風(fēng)景秀麗的山峰，山上有一條筆直的山路BC和一條索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2個(gè)小時(shí)的時(shí)間進(jìn)行徒步攀登，已知ABC120°，ADC150°，BD1 km，AC3 km.假設(shè)小王和小李徒步攀登的速度為每小時(shí)1 250米，請(qǐng)問(wèn)：兩位登山愛(ài)好者能否在2個(gè)小時(shí)內(nèi)徒步登上山峰？(即從B點(diǎn)出發(fā)到達(dá)C點(diǎn))解在ABD中，由題意知，ADBBAD30°，所以ABBD1 km，因?yàn)锳BD120°，由正弦定理得，解得AD km，在ACD中，由AC2AD2CD22AD·CD·cos 150°，得93CD22×CD，即CD23CD60，解得CD km(負(fù)值舍去)，BCBDCD km，兩個(gè)小時(shí)小王和小李可徒步攀登1 250×22 500米，即2.5千米，而<2.5，所以?xún)晌坏巧綈?ài)好者可以在兩個(gè)小時(shí)內(nèi)徒步登上山峰.規(guī)律方法1.選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.2.確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.【訓(xùn)練2】 海輪“和諧號(hào)”從A處以每小時(shí)21海里的速度出發(fā)，海輪“奮斗號(hào)”在A處北偏東45°的方向，且與A相距10海里的C處，沿北偏東105°的方向以每小時(shí)9海里的速度行駛，則海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為_(kāi)小時(shí).解析設(shè)海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為x小時(shí)，如圖，則由已知得ABC中，AC10，AB21x，BC9x，ACB120°.由余弦定理得：(21x)2100(9x)22×10×9x×cos 120°，整理，得36x29x100，解得x或x(舍). 所以海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為小時(shí).答案考點(diǎn)二測(cè)量角度問(wèn)題【例2】 已知島A南偏西38°方向，距島A3海里的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10海里/時(shí)的速度向島嶼北偏西22°方向行駛，問(wèn)緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時(shí)能截住該走私船？解如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的速度為每小時(shí)x海里，則BC0.5x，AC5，依題意，BAC180°38°22°120°，由余弦定理可得BC2AB2AC22AB·ACcos 120°，所以BC249，所以BC0.5x7，解得x14.又由正弦定理得sinABC，所以ABC38°，又BAD38°，所以BCAD，故緝私艇以每小時(shí)14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時(shí)截住該走私船.規(guī)律方法1.測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫(huà)出表示實(shí)際問(wèn)題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解.2.方向角是相對(duì)于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角.【訓(xùn)練3】 如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m，50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角CAD等于()A.30° B.45° C.60° D.75°解析依題意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0°<CAD<180°，所以CAD45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.答案B考點(diǎn)三正(余)弦定理在平面幾何中的應(yīng)用【例3】 (2019·洛陽(yáng)二模)如圖，已知扇形的圓心角AOB，半徑為4，若點(diǎn)C是上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合).(1)若弦BC4(1)，求的長(zhǎng)；(2)求四邊形OACB面積的最大值.解(1)在OBC中，BC4(1)，OBOC4，所以由余弦定理得cosBOC，所以BOC，于是的長(zhǎng)為×4.(2)設(shè)AOC，則BOC，S四邊形OACBSAOCSBOC×4×4sin ×4×4·sin24sin 8cos 16sin，由于，所以，當(dāng)時(shí)，四邊形OACB的面積取得最大值16.規(guī)律方法1.把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解.2.尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果，求解時(shí)要靈活利用平面幾何的性質(zhì)，將幾何性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合起來(lái).【訓(xùn)練4】 (2019·成都診斷)如圖，在平面四邊形ABCD中，已知A，B，AB6.在AB邊上取點(diǎn)E，使得BE1，連接EC，ED.若CED，EC.(1)求sinBCE的值；(2)求CD的長(zhǎng).解(1)在BEC中，由正弦定理，知，因?yàn)锽，BE1，CE，所以sinBCE.(2)因?yàn)镃EDB，所以DEABCE，所以cosDEA.因?yàn)锳，所以AED為直角三角形，又AE5，所以ED2.在CED中，CD2CE2DE22CE·DE·cosCED7282××2×49.所以CD7.思維升華利用解三角形解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)：(1)要理解題意，整合題目條件，畫(huà)出示意圖，建立一個(gè)三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函數(shù)模型中，要確定相應(yīng)參數(shù)和自變量范圍，最后還要檢驗(yàn)問(wèn)題的實(shí)際意義.易錯(cuò)防范在三角形和三角函數(shù)的綜合問(wèn)題中，要注意邊角關(guān)系相互制約，推理題中的隱含條件.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.在相距2 km的A，B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C，若CAB75°，CBA60°，則A，C兩點(diǎn)之間的距離為()A. km B. km C. km D.2 km解析如圖，在ABC中，由已知可得ACB45°，AC2×(km).答案A2.如圖所示，為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點(diǎn)C(ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測(cè)量方案：測(cè)量A，C，b；測(cè)量a，b，C；測(cè)量A，B，a.則一定能確定A，B間的距離的所有方案的序號(hào)為()A. B. C. D.解析對(duì)于可以利用正弦定理確定唯一的A，B兩點(diǎn)間的距離，對(duì)于直接利用余弦定理即可確定A，B兩點(diǎn)間的距離.答案D3.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A.10海里 B.10海里C.20海里 D.20海里解析如圖所示，易知，在 ABC中，AB20，CAB30°，ACB45°，根據(jù)正弦定理得，解得BC10(海里).答案A4.(2019·深圳模擬)一架直升飛機(jī)在200 m高度處進(jìn)行測(cè)繪，測(cè)得一塔頂與塔底的俯角分別是30°和60°，則塔高為()A. m B. mC. m D. m解析如圖所示.在RtACD中可得CDBE，在ABE中，由正弦定理得，則AB，所以DEBC200(m).答案A5.如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于()A.240(1)m B.180(1)mC.120(1)m D.30(1)m解析如圖，ACD30°，ABD75°，AD60 m，在RtACD中，CD60(m)，在RtABD中，BD60(2)(m)，BCCDBD6060(2)120(1)(m).答案C二、填空題6.如圖，在ABC中，B45°，D是BC邊上一點(diǎn)，AD5，AC7，DC3，則AB_.解析在ACD中，由余弦定理可得cos C，則sin C.在ABC中，由正弦定理可得，則AB.答案7.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為_(kāi)米.解析連接OC，由題意知CD150米，OD100米，CDO60°.在COD中，由余弦定理得OC2CD2OD22CD·OD·cos 60°，即OC50.答案508.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，則cos 的值為_(kāi).解析在ABC中，AB40，AC20，BAC120°，由余弦定理得BC2AB2AC22AB·AC·cos 120°2 800BC20.由正弦定理，得sinACB·sinBAC.由BAC120°，知ACB為銳角，則cosACB.由ACB30°，得cos cos(ACB30°)cosACBcos 30°sinACBsin 30°.答案三、解答題9.如圖，航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛行高度為10 000 m，速度為50 m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過(guò)420 s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)母叨葹槎嗌倜祝?取1.4，1.7)解如圖，作CD垂直于AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由題意知A15°，DBC45°，所以ACB30°，AB50×42021 000(m).又在ABC中，所以BC×sin 15°10 500().因?yàn)镃DAD，所以CDBC·sinDBC10 500()×10 500(1)7 350(m).故山頂?shù)母叨葹?0 0007 3502 650(m).10.在ABC中，A，AB6，AC3，點(diǎn)D在BC邊上，ADBD，求AD的長(zhǎng).解設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a，b，c，由余弦定理，得a2b2c22bccosBAC(3)2622×3×6×cos1836(36)90，所以a3.又由正弦定理，得sin B，由題設(shè)知0<B<，所以cos B.在ABD中，因?yàn)锳DBD，所以ABDBAD，所以ADB2B.由正弦定理，得AD.能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11.(2018·衡水質(zhì)檢)某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度：在C處(點(diǎn)C在水平地面下方，O為CH與水平地面ABO的交點(diǎn))進(jìn)行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個(gè)觀察點(diǎn)A，B兩地相距100米，BAC60°，其中A到C的距離比B到C的距離遠(yuǎn)40米.A地測(cè)得該儀器在C處的俯角為OAC15°，A地測(cè)得最高點(diǎn)H的仰角為HAO30°，則該儀器的垂直彈射高度CH為()A.210()米 B.140米C.210米 D.20()米解析由題意，設(shè)ACx米，則BC(x40)米，在ABC內(nèi)，由余弦定理：BC2BA2CA22BA·CA·cosBAC，即(x40)2x210 000100x，解得x420(米).在ACH中，AC420米，CAH30°15°45°，CHA90°30°60°，由正弦定理：.可得CHAC·140(米).答案B12.校運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15°的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10 m(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上.若國(guó)歌時(shí)長(zhǎng)為50 s，升旗手應(yīng)以_m/s的速度勻速升旗.解析依題意可知AEC45°，ACE180°60°15°105°，EAC180°45°105°30°.由正弦定理可知，AC·sinCEA20 m.在RtABC中，ABAC·sinACB20×30 m.國(guó)歌時(shí)長(zhǎng)為50 s，升旗速度為0.6 m/s.答案0.613.某人為測(cè)出所住小區(qū)的面積，進(jìn)行了一些測(cè)量工作，最后將所住小區(qū)近似地畫(huà)成如圖所示的四邊形，測(cè)得的數(shù)據(jù)如圖所示，則該圖所示的小區(qū)的面積是_km2.解析如圖，連接AC，由余弦定理可知AC，故ACB90°，CAB30°，DACDCA15°，ADC150°，由，得AD，故S四邊形ABCDSABCSADC×1×××(km2).答案14.如圖，在四邊形ABCD中，DAB，ADAB23，BD，ABBC.(1)求sinABD的值；(2)若BCD，求CD的長(zhǎng).解(1)ADAB23，可設(shè)AD2k，AB3k(k>0).又BD，DAB，由余弦定理，得()2(3k)2(2k)22×3k×2kcos，解得k1，AD2，AB3，sinABD.(2)ABBC，cosDBCsinABD，sinDBC，CD.17