第1節(jié)變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算最新考綱1.了解導數(shù)概念的實際背景；2.通過函數(shù)圖象直觀理解導數(shù)的幾何意義；3.能根據(jù)導數(shù)的定義求函數(shù)yc(c為常數(shù))，yx，y，yx2，yx3，y的導數(shù)；4.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單復合函數(shù)(僅限于形如yf(axb)的復合函數(shù))的導數(shù).知 識 梳 理1.函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)(1)定義：稱函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率 為函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)幾何意義：函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點(x0，f(x0)處的切線的斜率.相應地，切線方程為yy0f(x0)(xx0).2.函數(shù)yf(x)的導函數(shù)如果函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a，b)內的每一點處都有導數(shù)，其導數(shù)值在(a，b)內構成一個新函數(shù)，函數(shù)f(x) 稱為函數(shù)yf(x)在開區(qū)間內的導函數(shù).3.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)導函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.導數(shù)的運算法則若f(x)，g(x)存在，則有：(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0).5.復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)yf(g(x)的導數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導數(shù)間的關系為yxyu·ux.微點提醒1.f(x0)代表函數(shù)f(x)在xx0處的導數(shù)值；(f(x0)是函數(shù)值f(x0)的導數(shù)，且(f(x0)0.2.3.曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點.4.函數(shù)yf(x)的導數(shù)f(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f(x)|反映了變化的快慢，|f(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”.基 礎 自 測1.判斷下列結論正誤(在括號內打“”或“×”)(1)f(x0)是函數(shù)yf(x)在xx0附近的平均變化率.()(2)函數(shù)f(x)sin(x)的導數(shù)f(x)cos x.()(3)求f(x0)時，可先求f(x0)，再求f(x0).()(4)曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點.()解析(1)f(x0)表示yf(x)在xx0處的瞬時變化率，(1)錯.(2)f(x)sin(x)sin x，則f(x)cos x，(2)錯.(3)求f(x0)時，應先求f(x)，再代入求值，(3)錯.答案(1)×(2)×(3)×(4)2.(選修22P19B2改編)曲線yx311在點P(1，12)處的切線與y軸交點的縱坐標是()A.9 B.3 C.9 D.15解析因為yx311，所以y3x2，所以y|x13，所以曲線yx311在點P(1，12)處的切線方程為y123(x1).令x0，得y9.答案C3.(選修22P3例題改編)在高臺跳水運動中，t s時運動員相對于水面的高度(單位：m)是h(t)4.9t26.5t10，則運動員的速度v_ m/s，加速度a_ m/s2.解析vh(t)9.8t6.5，av(t)9.8.答案9.8t6.59.84.(2019·保定質檢)已知函數(shù)f(x)x(2 018ln x)，若f(x0)2 019，則x0等于()A.e2 B.1 C.ln 2 D.e解析f(x)2 018ln xx×2 019ln x.由f(x0)2 019，得2 019ln x02 019，則ln x00，解得x01.答案B5.(2018·天津卷)已知函數(shù)f(x)exln x，f(x)為f(x)的導函數(shù)，則f(1)的值為_.解析由題意得f(x)exln xex·，則f(1)e.答案e6.(2017·全國卷)曲線yx2在點(1，2)處的切線方程為_.解析設yf(x)，則f(x)2x，所以f(1)211，所以在(1，2)處的切線方程為y21×(x1)，即yx1.答案yx1考點一導數(shù)的運算多維探究角度1根據(jù)求導法則求函數(shù)的導數(shù)【例11】 分別求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)yexln x；(2)yx；(3)f(x)ln .解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xex.(2)因為yx31，所以y3x2.(3)因為yln ln，所以y··(12x).角度2抽象函數(shù)的導數(shù)計算【例12】 (2019·福州聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)是f(x)，且滿足f(x)2xf(1)ln ，則f(1)()A.e B.2 C.2 D.e解析由已知得f(x)2f(1)，令x1得f(1)2f(1)1，解得f(1)1，則f(1)2f(1)2.答案B規(guī)律方法1.求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)分割成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導.2.復合函數(shù)求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.3.抽象函數(shù)求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解.【訓練1】 (1)若yxcos sin ，則y_.(2)已知f(x)x22xf(1)，則f(0)_.解析(1)因為yxsin x，所以yx1cos x.(2)f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2.f(x)2x4，f(0)4.答案(1)1cos x(2)4考點二導數(shù)的幾何意義多維探究角度1求切線方程【例21】 (2018·全國卷)設函數(shù)f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線yf(x)在點(0，0)處的切線方程為()A.y2x B.yxC.y2x D.yx解析因為函數(shù)f(x)x3(a1)x2ax為奇函數(shù)，所以a10，則a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲線yf(x)在點(0，0)處的切線方程為yx.答案D角度2求切點坐標【例22】 (1)(2019·鄭州月考)已知曲線y3ln x的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為()A.3 B.2C.1 D.(2)設曲線yex在點(0，1)處的切線與曲線y(x>0)上點P處的切線垂直，則P的坐標為_.解析(1)設切點的橫坐標為x0(x0>0)，曲線y3ln x的一條切線的斜率為，y，即，解得x03或x02(舍去，不符合題意)，即切點的橫坐標為3.(2)函數(shù)yex的導函數(shù)為yex，曲線yex在點(0，1)處的切線的斜率k1e01.設P(x0，y0)(x0>0)，函數(shù)y的導函數(shù)為y，曲線y(x>0)在點P處的切線的斜率k2，由題意知k1k21，即1·1，解得x1，又x0>0，x01.又點P在曲線y(x>0)上，y01，故點P的坐標為(1，1).答案(1)A(2)(1，1)角度3求參數(shù)的值或取值范圍【例23】 (1)函數(shù)f(x)ln xax的圖象存在與直線2xy0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(，2 B.(，2) C.(2，) D.(0，)(2)(2019·東北三省四校聯(lián)考)已知曲線f(x)xb(x0)在點(1，f(1)處的切線方程為y2x5，則ab_.解析(1)由題意知f(x)2在(0，)上有解.f(x)a2在(0，)上有解，則a2.因為x0，所以22，所以a的取值范圍是(，2).(2)f(x)1，f(1)1a，又f(1)1ab，曲線在(1，f(1)處的切線方程為y(1ab)(1a)(x1)，即y(1a)x2ab，根據(jù)題意有解得ab178.答案(1)B(2)8規(guī)律方法1.求切線方程時，注意區(qū)分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線，曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求過某點的切線方程，需先設出切點坐標，再依據(jù)已知點在切線上求解.2.處理與切線有關的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點的三個關系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：切點處的導數(shù)是切線的斜率；切點在切線上；切點在曲線上.【訓練2】 (1)(2018·東莞二調)設函數(shù)f(x)x3ax2，若曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線方程為xy0，則點P的坐標為()A.(0，0) B.(1，1)C.(1，1) D.(1，1)或(1，1)(2)(2018·全國卷)曲線y2ln(x1)在點(0，0)處的切線方程為_.解析(1)由f(x)x3ax2，得f(x)3x22ax.根據(jù)題意可得f(x0)1，f(x0)x0，可列方程組解得或當x01時，f(x0)1，當x01時，f(x0)1.點P的坐標為(1，1)或(1，1).(2)由題意得y.在點(0，0)處切線斜率ky|x02.曲線y2ln(x1)在點(0，0)處的切線方程為y02(x0)，即y2x.答案(1)D(2)y2x思維升華1.對于函數(shù)求導，一般要遵循先化簡再求導的基本原則.求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤.對于復合函數(shù)求導，關鍵在于分清復合關系，適當選取中間變量，然后“由外及內”逐層求導.2.求曲線的切線方程要注意分清已知點是否是切點.若已知點是切點，則可通過點斜式直接寫方程，若已知點不是切點，則需設出切點.3.處理與切線有關的參數(shù)問題時，一般利用曲線、切線、切點的三個關系列方程求解.易錯防范1.求導常見易錯點：公式(xn)nxn1與(ax)axln a相互混淆；公式中“”“”號記混，如出現(xiàn)如下錯誤：，(cos x)sin x；復合函數(shù)求導分不清內、外層函數(shù).2.求切線方程時，把“過點切線”問題誤認為“在點切線”問題.基礎鞏固題組(建議用時：35分鐘)一、選擇題1.下列求導數(shù)的運算中錯誤的是()A.(3x)3xln 3 B.(x2ln x)2xln xxC. D.(sin x·cos x)cos 2x解析因為，C項錯誤.答案C2.(2018·日照質檢)已知f(x)xln x，若f(x0)2，則x0等于()A.e2 B.e C. D.ln 2解析f(x)的定義域為(0，)，f(x)ln x1，由f(x0)2，即ln x012，解得x0e.答案B3.函數(shù)yx3的圖象在原點處的切線方程為()A.yx B.x0C.y0 D.不存在解析函數(shù)yx3的導數(shù)為y3x2，則在原點處的切線斜率為0，所以在原點處的切線方程為y00(x0)，即y0.答案C4.一質點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t秒后的位移為st33t28t，那么速度為零的時刻是()A.1秒末 B.1秒末和2秒末C.4秒末 D.2秒末和4秒末解析s(t)t26t8，由導數(shù)的定義知vs(t)，令s(t)0，得t2或4，即2秒末和4秒末的速度為零.答案D5.(2019·合肥一模)函數(shù)f(x)xg(x)的圖象在點x2處的切線方程是yx1，則g(2)g(2)()A.7 B.4 C.0 D.4解析f(x)xg(x)，f(x)1g(x)，又由題意知f(2)3，f(2)1，g(2)g(2)2f(2)1f(2)7.答案A6.已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，曲線yaexx在點(1，ae1)處的切線與直線2exy10平行，則實數(shù)a()A. B. C. D.解析yaex1，在點(1，ae1)處的切線的斜率為y|x1ae1，又切線與直線2exy10平行，ae12e，解得a.答案B7.如圖所示為函數(shù)yf(x)，yg(x)的導函數(shù)的圖象，那么yf(x)，yg(x)的圖象可能是()解析由yf(x)的圖象知，yf(x)在(0，)上是單調遞減的，說明函數(shù)yf(x)的切線的斜率在(0，)上也是單調遞減的，故可排除A，C；又由圖象知yf(x)與yg(x)的圖象在xx0處相交，說明yf(x)與yg(x)的圖象在xx0處的切線的斜率相同，故可排除B.故選D.答案D8.(2019·廣州調研)已知直線ykx2與曲線yxln x相切，則實數(shù)k的值為()A.ln 2 B.1C.1ln 2 D.1ln 2解析由yxln x得yln x1，設切點為(x0，y0)，則kln x01，切點(x0，y0)(x0>0)既在曲線yxln x上又在直線ykx2上，kx02x0ln x0，kln x0，則ln x0ln x01，x02，kln 21.答案D二、填空題9.已知曲線f(x)2x21在點M(x0，f(x0)處的瞬時變化率為8，則點M的坐標為_.解析由題意得f(x)4x，令4x08，則x02，f(x0)9，點M的坐標是(2，9).答案(2，9)10.已知aR，設函數(shù)f(x)axln x的圖象在點(1，f(1)處的切線為l，則l在y軸上的截距為_.解析f(1)a，切點為(1，a).f(x)a，則切線的斜率為f(1)a1，切線方程為：ya(a1)(x1)，令x0得出y1，故l在y軸上的截距為1.答案111.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x)，且滿足關系式f(x)x23xf(2)ln x，則f(2)_.解析因為f(x)x23xf(2)ln x，所以f(x)2x3f(2)，所以f(2)43f(2)3f(2)，所以f(2).答案12.已知函數(shù)yf(x)的圖象在點(2，f(2)處的切線方程為y2x1，則曲線g(x)x2f(x)在點(2，g(2)處的切線方程為_.解析由題意，知f(2)2×213，g(2)437，g(x)2xf(x)，f(2)2，g(2)2×226，曲線g(x)x2f(x)在點(2，g(2)處的切線方程為y76(x2)，即6xy50.答案6xy50能力提升題組(建議用時：15分鐘)13.(2018·深圳二模)設函數(shù)f(x)xb，若曲線yf(x)在點(a，f(a)處的切線經(jīng)過坐標原點，則ab()A.1 B.0 C.1 D.2解析由題意可得，f(a)ab，f(x)1，所以f(a)1，故切線方程是yab(xa)，將(0，0)代入得ab(a)，故b，故ab2.答案D14.(2019·西安一模)定義1：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上可導，即f(x)存在，且導函數(shù)f(x)在區(qū)間D上也可導，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在二階導數(shù)，記作f(x)f(x).定義2：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的二階導數(shù)恒為正，即f(x)>0恒成立，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為凹函數(shù).已知函數(shù)f(x)x3x21在區(qū)間D上為凹函數(shù)，則x的取值范圍是_.解析因為f(x)x3x21，因為f(x)3x23x，f(x)6x3，令f(x)>0，解得x>，故x的取值范圍是.答案15.函數(shù)g(x)ln x圖象上一點P到直線yx的最短距離為_.解析設點(x0，ln x0)是曲線g(x)ln x的切線中與直線yx平行的直線的切點，因為g(x)(ln x)，則1，x01，則切點坐標為(1，0)，最短距離為(1，0)到直線yx的距離，即為.答案16.若函數(shù)f(x)x2axln x存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是_.解析f(x)x2axln x，定義域為(0，)，f(x)xa.f(x)存在垂直于y軸的切線，f(x)存在零點，即xa0有解，ax2(當且僅當x1時取等號).答案2，)12