課時作業(yè)42空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題12019·江西七校聯(lián)考已知直線a和平面，l，a，a，且a在，內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A相交或平行 B相交或異面C平行或異面 D相交、平行或異面解析：依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面答案：D2若直線ab，且直線a平面，則直線b與平面的位置關(guān)系是()Ab BbCb或b Db與相交或b或b解析：b與相交或b或b都可以答案：D3.如圖所示，ABCDA1B1C1D1是正方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論正確的是()AA，M，O三點共線BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面解析：連接A1C1，AC(圖略)，則A1C1AC，A1，C1，A，C四點共面，A1C平面ACC1A1.MA1C，M平面ACC1A1.又M平面AB1D1，M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理A，O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，A，M，O三點共線答案：A42019·河北張家口模擬三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等邊三角形，AA1平面ABC，AA1AB，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，則BM與AN所成角的余弦值為()A. B.C. D.解析：取BC的中點O，連接NO，AO，MN，因為B1C1綊BC，OBBC，所以O(shè)BB1C1，OBB1C1，因為M，N分別為A1B1，A1C1的中點，所以MNB1C1，MNB1C1，所以MN綊OB，所以四邊形MNOB是平行四邊形，所以NOMB，所以ANO或其補角即為BM與AN所成角，不妨設(shè)AB2，則有AO，ONBM，AN，在ANO中，由余弦定理可得cosANO.故選C.答案：C52019·安徽聯(lián)合檢測若在三棱柱ABCA1B1C1中，A1ACBAC60°，平面A1ACC1平面ABC，AA1ACAB，則異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為()A. B.C. D.解析：解法一如圖，在平面ABC，平面A1B1C1中分別取點D，D1，連接BD，CD，B1D1，C1D1，使得四邊形ABDC，A1B1D1C1為平行四邊形，連接DD1，BD1，則ABC1D1且ABC1D1，所以AC1BD1，故A1BD1即異面直線AC1與A1B所成的角連接A1D1，過點A1作A1MAC于點M，連接BM，設(shè)AA12，由A1AMBAC60°，得AM1，BM，A1M，因為平面A1ACC1平面ABC，A1M平面A1ACC1，所以A1M平面ABC，所以A1MBM，所以A1B，在菱形A1ACC1中，易求得AC12BD1，在菱形A1B1D1C1中，易求得A1D12，所以cosA1BD1，所以異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為.解法二令M為AC的中點，連接MB，MA1，易得MA，MB，MA1兩兩垂直以M為原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)AA1ACAB2，則A(1,0,0)，B(0，0)，A1(0,0，)，C1(2,0，)，所以(3,0，)，(0，)，所以cos，故異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為.答案：B二、填空題6設(shè)P表示一個點，a，b表示兩條直線，表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確命題的序號是_Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；b，P，PPb.解析：當(dāng)aP時，Pa，P，但a，錯；aP時，錯；如圖ab，Pb，Pa，由直線a與點P確定唯一平面，又ab，由a與b確定唯一平面，但經(jīng)過直線a與點P，與重合，b，故正確；兩個平面的公共點必在其交線上，故正確答案：7如圖所示，G，H，M，N分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號)解析：圖(1)中，直線GHMN；圖(2)中，G，H，N三點共面，但M平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖(3)中，連接MG，HN，GMHN，因此GH與MN共面；圖(4)中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH與MN異面所以圖(2)，(4)中GH與MN異面答案：(2)(4)82019·福建四地六校聯(lián)考已知三棱錐ABCD中，ABCD，且直線AB與CD成60°角，點M、N分別是BC、AD的中點，則異面直線AB與MN所成角的大小為_解析：如圖，取AC的中點P，連接PM，PN，則PMAB，且PMAB，PNCD，且PNCD.MPN或其補角為AB與CD所成的角，則MPN60°或MPN120°，PMAB，PMN或其補角是AB與MN所成的角，ABCD，PMPN，若PMN60°，則PMN是等邊三角形，PMN60°，AB與MN所成的角為60°.若MPN120°，則PMN30°，AB與MN所成的角為30°，綜上，異面直線AB與MN所成的角為30°或60°.答案：30°或60°三、解答題9.如圖，在四邊形ABCD中，已知ABCD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面相交于點E，G，H，F(xiàn)，求證：E，F(xiàn)，G，H四點必定共線證明：因為ABCD，所以AB，CD確定一個平面.又因為ABE，AB，所以E，E，即E為平面與的一個公共點同理可證F，G，H均為平面與的公共點，因為若兩個平面有公共點，那么它們有且只有一條通過公共點的公共直線，所以E，F(xiàn)，G，H四點必定共線10如圖，已知不共面的三條直線a，b，c相交于點P，Aa，Ba，Cb，Dc，求證：AD與BC是異面直線證明：假設(shè)AD和BC共面，所確定的平面為，那么點P，A，B，C，D都在平面內(nèi)，直線a，b，c都在平面內(nèi)，與已知條件a，b，c不共面矛盾，假設(shè)不成立AD和BC是異面直線能力挑戰(zhàn)112019·武漢調(diào)研在棱長為3的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在棱AB，CD上，且AECF1.(1)求異面直線A1E與C1F所成角的余弦值；(2)求四面體EFC1A1的體積解析：(1)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，延長DC至M，使CM1，則AE綊CM.連接AC，EM，ME綊AC綊A1C1，連接MC1，A1E綊C1M，F(xiàn)C1M為異面直線A1E與C1F所成的角在FC1M中，C1FC1M，F(xiàn)M2，cosFC1M.故異面直線A1E與C1F所成角的余弦值為.(2)在D1C1上取一點N，使ND11.連接EN，F(xiàn)N，A1N，A1E綊FN，A1N綊EF，EF平面EFC1，A1N平面EFC1，A1N平面EFC1，VA1EFC1VNEFC1VENFC1×SNFC1×3××2×3×33.故四面體EFC1A1的體積為3.7