第1節(jié)任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)最新考綱1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能進(jìn)行弧度與角度的互化；3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.知 識 梳 理1.角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.(2)分類(3)終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S|k·360°，kZ.2.弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式角的弧度數(shù)公式|(弧長用l表示)角度與弧度的換算1° rad；1 rad°弧長公式弧長l|r扇形面積公式Slr|r23.任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sin y，cos x，tan (x0).(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1，0).如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角的正弦線，余弦線和正切線.微點(diǎn)提醒1.三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.若，則tan >>sin .3.角度制與弧度制可利用180° rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用.4.象限角的集合基 礎(chǔ) 自 測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“×”)(1)小于90°的角是銳角.()(2)銳角是第一象限角，反之亦然.()(3)將表的分針撥快5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是30°.()(4)相等的角終邊一定相同，終邊相同的角也一定相等.()解析(1)銳角的取值范圍是.(2)第一象限角不一定是銳角.(3)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的角是負(fù)角.(4)終邊相同的角不一定相等.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修4P12例2改編)已知角的終邊過點(diǎn)P(8m，3)，且cos ，則m的值為()A. B. C. D.解析由題意得m<0且，解得m.答案A3.(必修4P4例1改編)在720°0°范圍內(nèi)，所有與角45°終邊相同的角構(gòu)成的集合為_.解析所有與角終邊相同的角可表示為：45°k×360°(kZ)，則令720°45°k×360°<0°(kZ)，得765°k×360°<45°(kZ).解得k2或k1，675°或315°.答案675°，315°4.(2019·衡水模擬)若sin ·cos <0，>0，則角是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析由>0，得>0，故cos >0.又sin ·cos <0，所以sin <0，所以為第四象限角.答案D5.(2018·日照一中質(zhì)檢)若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角(0，)的弧度數(shù)為_.解析設(shè)圓半徑為r，則其內(nèi)接正三角形的邊長為r，所以r·r，所以.答案6.(2019·武漢模擬)已知角的終邊在直線yx上，且cos <0，則tan _.解析如圖，由題意知，角的終邊在第二象限，在其上任取一點(diǎn)P(x，y)，則yx，由三角函數(shù)的定義得tan 1.答案1考點(diǎn)一角的概念及其集合表示【例1】 (1)若角是第二象限角，則是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角(2)終邊在直線yx上，且在2，2)內(nèi)的角的集合為_.解析(1)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角.(2)如圖，在坐標(biāo)系中畫出直線yx，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是，在0，2)內(nèi)，終邊在直線yx上的角有兩個(gè)：，；在2，0)內(nèi)滿足條件的角有兩個(gè)：，故滿足條件的角構(gòu)成的集合為.答案(1)C(2)規(guī)律方法1.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角：先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角.2.若要確定一個(gè)絕對值較大的角所在的象限，一般是先將角化為2k(0<2)(kZ)的形式，然后再根據(jù)所在的象限予以判斷.【訓(xùn)練1】 (1)設(shè)集合M，N，那么()A.MN B.MNC.NM D.MN(2)已知角的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角用集合可表示為_.解析(1)由于M中，x·180°45°k·90°45°(2k1)·45°，2k1是奇數(shù)；而N中，x·180°45°k·45°45°(k1)·45°，k1是整數(shù)，因此必有MN.(2)在0，2)內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為，所以，所求角的集合為.答案(1)B(2)|2k<<2k，kZ考點(diǎn)二弧度制及其應(yīng)用典例遷移【例2】 (經(jīng)典母題)已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l.若，R10 cm，求扇形的面積.解由已知得，R10，S扇形·R2××102(cm2).【遷移探究1】 若例題條件不變，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積.解l·R×10(cm)，S弓形S扇形S三角形·l·R·R2·sin ××10×102×(cm2).【遷移探究2】 若例題條件改為：“若扇形周長為20 cm”，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？解由已知得，l2R20，即l202R(0<R<10)，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以當(dāng)R5 cm時(shí)，S取得最大值25 cm2，此時(shí)l10 cm，2 rad.規(guī)律方法1.應(yīng)用弧度制解決問題的方法：(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度；(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決.2.求扇形面積的關(guān)鍵是求扇形的圓心角、半徑、弧長三個(gè)量中的任意兩個(gè)量.【訓(xùn)練2】 (一題多解)九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中方田章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積(弦×矢矢2)，弧田(如圖)由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為，半徑等于4米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是()A.6平方米 B.9平方米C.12平方米 D.15平方米解析法一如圖，由題意可得AOB，OA4，在RtAOD中，可得AOD，DAO，ODAO×42，于是矢422.由ADAO·sin 4×2，得弦AB2AD4.所以弧田面積(弦×矢矢2)×(4×222)429(平方米).法二由已知，可得扇形的面積S1r2×42×，AOB的面積S2×OA×OB×sin AOB×4×4×sin 4.故弧田的面積SS1S249(平方米).答案B考點(diǎn)三三角函數(shù)的概念【例3】 (1)(2018·合肥質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P，則sin()()A. B. C. D.(2)若sin tan <0，且<0，則角是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析(1)易知sin ，cos ，則P.由三角函數(shù)的定義可得sin ，則sin()sin .(2)由sin tan <0可知sin ，tan 異號，則為第二或第三象限角；由<0可知cos ，tan 異號，則為第三或第四象限角.綜上可知，為第三象限角.答案(1)B(2)C規(guī)律方法1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，確定這個(gè)角的三角函數(shù)值.(2)已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.2.三角函數(shù)線的應(yīng)用問題的求解思路確定單位圓與角的終邊的交點(diǎn)，作出所需要的三角函數(shù)線，然后求解.【訓(xùn)練3】 (1)(2019·西安一中月考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角，的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為和，則cos()的值為()A. B. C.0 D.(2)滿足cos 的角的集合為_.解析(1)由三角函數(shù)的定義可得cos ，sin ，cos ，sin .所以cos()cos cossin sin .(2)作直線x交單位圓于C，D兩點(diǎn)，連接OC，OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為.答案(1)A(2)思維升華1.在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)P可取終邊上任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn).|OP|r一定是正值.2.在解決簡單的三角不等式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線是體現(xiàn)數(shù)學(xué)直觀想象核心素養(yǎng).易錯(cuò)防范1.注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角.第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角.2.相等的角終邊相同，但終邊相同的角不一定相等.3.已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：30分鐘)一、選擇題1.給出下列四個(gè)命題：是第二象限角；是第三象限角；400°是第四象限角；315°是第一象限角.其中正確的命題有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)解析是第三象限角，故錯(cuò)誤.，從而是第三象限角，正確.400°360°40°，從而正確.315°360°45°，從而正確.答案C2.下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A.2k45°(kZ) B.k·360°(kZ)C.k·360°315°(kZ) D.k(kZ)解析與的終邊相同的角可以寫成2k(kZ)，但是角度制與弧度制不能混用，排除A、B，易知D錯(cuò)誤，C正確.答案C3.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)(，)，若，則m的值為()A.27 B. C.9 D.解析tan m，m13327，m，故選B.答案B4.(2019·石家莊模擬)已知點(diǎn)M在角終邊的反向延長線上，且|OM|2，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()A.(2cos ，2sin ) B.(2cos ，2sin )C.(2cos ，2sin ) D.(2cos ，2sin )解析由題意知，M的坐標(biāo)為(2cos()，2sin()，即(2cos ，2sin ).答案C5.設(shè)是第三象限角，且cos ，則是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析由是第三象限角，知為第二或第四象限角，cos ，cos <0，綜上知為第二象限角.答案B6.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos 2()A. B. C. D.解析由題意知，tan 2，即sin 2cos .將其代入sin2cos21中可得cos2，故cos 22cos21.答案B7.(2019·濰坊一模)若角的終邊過點(diǎn)A(2，1)，則sin()A. B. C. D.解析由三角函數(shù)定義，cos ，則sincos .答案A8.已知角的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則角的最小正值為()A. B. C. D.解析由題意知點(diǎn)P在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義得cos sin ，故2k(kZ)，所以的最小正值為.答案D二、填空題9.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4，m)，且sin ，則m等于_.解析由題意知m>0且sin ，解得m3.答案310.已知扇形的圓心角為，面積為，則扇形的弧長等于_.解析設(shè)扇形半徑為r，弧長為l，則解得答案11.(2019·許昌調(diào)研)設(shè)是第二象限角，P(x，4)為其終邊上的一點(diǎn)，且cos x，則tan _.解析因?yàn)槭堑诙笙藿牵詂os x<0，即x<0.又cos x，解得x3，所以tan .答案12.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a9，a2)，且cos 0，sin >0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.解析cos 0，sin >0，角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上.2<a3.答案(2，3能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)13.給出下列命題：第二象限角大于第一象限角；三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；不論是用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形的半徑的大小無關(guān)；若sin sin ，則與的終邊相同；若cos <0，則是第二或第三象限的角.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4解析舉反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故錯(cuò)；當(dāng)三角形的內(nèi)角為90°時(shí)，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故錯(cuò)；正確；由于sinsin，但與的終邊不相同，故錯(cuò)；當(dāng)cos 1，時(shí)，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故錯(cuò).綜上可知只有正確.答案A14.(2018·全國卷)已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A(1，a)，B(2，b)，且cos 2，則|ab|()A. B. C. D.1解析由題意可知tan ba，又cos 2cos2sin2，5(ba)21，得(ba)2，則|ba|.答案B15.函數(shù)y的定義域?yàn)開.解析2sin x10，sin x.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示).x(kZ).答案(kZ)16.已知sin <0，tan >0.(1)求角的集合；(2)求的終邊所在的象限；(3)試判斷tan sin cos 的符號.解(1)由sin <0，知在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上；由tan >0，知在第一、三象限，故角在第三象限，其集合為.(2)由(1)知2k<<2k，kZ，故k<<k，kZ，故的終邊在第二、四象限.(3)當(dāng)在第二象限時(shí)，tan <0，sin >0，cos <0，所以tan sin cos 取正號；當(dāng)在第四象限時(shí)，tan <0，sin <0，cos >0，所以tan sin cos 也取正號.綜上，tan sin cos 取正號.14