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1、課時作業(yè)54　曲線與方程 [基礎(chǔ)達標] 一、選擇題 1．已知點P是直線2x－y＋3＝0上的一個動點，定點M(－1,2)，Q是線段PM延長線上的一點，且|PM|＝|MQ|，則Q點的軌跡方程是(　　) A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 解析：由題意知，M為PQ中點，設(shè)Q(x，y)，則P為(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0. 答案：D 2．方程|x|－1＝所表示的曲線是(　　) A．一個圓 B．兩個圓 C．半個圓 D．兩個半圓 解析：由題意得 即 或 故原方程表示兩個半圓． 答案：

2、D 3．設(shè)點A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動點，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則P點的軌跡方程為(　　) A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2 解析：如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1,0)．連接MA，則MA⊥PA，且|MA|＝1. 又∵|PA|＝1， ∴|PM|＝＝， 即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2. 答案：D 4．[2019·珠海模擬]已知點A(1,0)，直線l：y＝2x－4，點R是直線l上的一點，若＝，則點P的軌跡方程為(　　) A．y＝－2x B．y＝2x C．y＝2x－8 D．y＝2

3、x＋4 解析：設(shè)P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，點A是線段RP的中點，∴即 ∵點R(x1，y1)在直線y＝2x－4上， ∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x. 答案：B 5．[2019·福建八校聯(lián)考]已知圓M：(x＋)2＋y2＝36，定點N(，0)，點P為圓M上的動點，點Q在NP上，點G在線段MP上，且滿足＝2，·＝0，則點G的軌跡方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：由＝2，·＝0知GQ所在直線是線段NP的垂直平分線，連接GN， ∴|GN|＝|GP|，∴|GM|＋|GN|＝|MP|＝6>2，∴點G的軌跡是以M，

4、N為焦點的橢圓，其中2a＝6,2c＝2，∴b2＝4，∴點G的軌跡方程為＋＝1，故選A. 答案：A 二、填空題 6．在△ABC中，A為動點，B，C為定點，B，C(a＞0)，且滿足條件sinC－sinB＝sinA，則動點A的軌跡方程是________． 解析：由正弦定理得－＝×， 即|AB|－|AC|＝|BC|， 故動點A是以B，C為焦點，為實軸長的雙曲線右支． 即動點A的軌跡方程為－＝1(x＞0且y≠0)． 答案：－＝1(x＞0且y≠0) 7．[2019·河南開封模擬]如圖，已知圓E：(x＋)2＋y2＝16，點F(，0)，P是圓E上任意一點．線段PF的垂直平分線和半徑PE相

5、交于Q.則動點Q的軌跡Γ的方程為________________． 解析：連接QF，因為Q在線段PF的垂直平分線上，所以|QP|＝|QF|，得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝4. 又|EF|＝2＜4，得Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓為＋y2＝1. 答案：＋y2＝1 8．[2019·江西九江聯(lián)考]設(shè)F(1,0)，點M在x軸上，點P在y軸，且＝2，⊥，當點P在y軸上運動時，則點N的軌跡方程為________． 解析：設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，由＝2，得即因為⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝

6、0，所以x0＋y＝0，即－x＋y2＝0，所以點N的軌跡方程為y2＝4x. 答案：y2＝4x 三、解答題 9．在平面直角坐標系xOy中，點B與點A(－1,1)關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于－.求動點P的軌跡方程． 解析：因為點B與點A(－1,1)關(guān)于原點O對稱． 所以點B的坐標為(1，－1)． 設(shè)點P的坐標為(x，y)，由題設(shè)知直線AP與BP的斜率存在且均不為零，則·＝－， 化簡得x2＋3y2＝4(x≠±1)． 故動點P的軌跡方程為＋＝1(x≠±1)． 10．如圖所示，已知圓A：(x＋2)2＋y2＝1與點B(2,0)，分別求出滿足下列條件的動點P的

7、軌跡方程． (1)△PAB的周長為10； (2)圓P與圓A外切，且過B點(P為動圓圓心)； (3)圓P與圓A外切，且與直線x＝1相切(P為動圓圓心)． 解析：(1)根據(jù)題意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故P點軌跡是橢圓，且2a＝6,2c＝4，即a＝3，c＝2，b＝. 因此其軌跡方程為＋＝1(y≠0)． (2)設(shè)圓P的半徑為r，則|PA|＝r＋1，|PB|＝r， 因此|PA|－|PB|＝1. 由雙曲線的定義知，P點的軌跡為雙曲線的右支，且2a＝ 1,2c＝4，即a＝，c＝2，b＝，因此其軌跡方程為4x2－y2＝1. (3)依題

8、意，知動點P到定點A的距離等于到定直線x＝2的距離，故其軌跡為拋物線，且開口向左，p＝4. 因此其軌跡方程為y2＝－8x. [能力挑戰(zhàn)] 11．已知圓C1的圓心在坐標原點O，且恰好與直線l1：x－y－2＝0相切． (1)求圓的標準方程； (2)設(shè)點A為圓上一動點，AN⊥x軸于點N，若動點Q滿足＝m＋(1－m)(其中m為非零常數(shù))，試求動點Q的軌跡方程． 解析：(1)設(shè)圓的半徑為r, 圓心到直線l1的距離為d，則d＝＝2. 因為r＝d＝2，圓心為坐標原點O，所以圓C1的方程為x2＋y2＝4. (2)設(shè)動點Q(x，y)，A(x0，y0)， ∵AN⊥x軸于點N，∴N(x0,0)， 由題意知，(x，y)＝m(x0，y0)＋(1－m)·(x0,0)， 解得即 將點A代入圓C1的方程x2＋y2＝4，得動點Q的軌跡方程為＋＝1. 5