函數(shù)與導數(shù)(11)12018·北京卷設函數(shù)f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線與x軸平行，求a；(2)若f(x)在x2處取得極小值，求a的取值范圍解析：(1)因為f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2ex.所以f(1)(1a)e.由題設知f(1)0，即(1a)e0，解得a1.此時f(1)3e0.所以a的值為1.(2)由(1)得f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a>，則當x時，f(x)<0；當x(2，)時，f(x)>0.所以f(x)在x2處取得極小值若a，則當x(0,2)時，x2<0，ax1x1<0，所以f(x)>0.所以2不是f(x)的極小值點綜上可知，a的取值范圍是.22019·安徽省安慶市高三模擬已知函數(shù)f(x)eln xax(aR)(1)討論f(x)的單調性；(2)當ae時，證明：xf(x)ex2ex0.解析：解法一(1)f(x)a(x>0)，若a0，則f(x)>0，f(x)在(0，)上單調遞增若a>0，則當0<x<時，f(x)>0；當x>時，f(x)<0.所以f(x)在上單調遞增，在上單調遞減(2)證明：因為x>0，所以只需證f(x)2e，由(1)知，當ae時，f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，)上單調遞減，所以f(x)maxf(1)e.設g(x)2e(x>0)，則g(x)，所以當0<x<1時，g(x)<0，g(x)單調遞減；當x>1時，g(x)>0，g(x)單調遞增，所以g(x)ming(1)e.所以當x>0時，f(x)g(x)，即f(x)2e，即xf(x)ex2ex0.解法二(1)同解法一(2)證明：由題意知，即證exln xex2ex2ex0(x>0)，從而等價于ln xx2.設函數(shù)g(x)ln xx2，則g(x)1.所以當x(0,1)時，g(x)>0；當x(1，)時，g(x)<0，故g(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，)上單調遞減從而g(x)在(0，)上的最大值為g(1)1.設函數(shù)h(x)，則h(x).所以當x(0,1)時，h(x)<0；當x(1，)時，h(x)>0.故h(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，)上單調遞增從而h(x)在(0，)上的最小值為h(1)1.綜上，當x>0時，g(x)h(x)，即xf(x)ex2ex0.32019·甘肅第二次診斷已知函數(shù)f(x)2x2ax1ln x(aR)(1)若a0，求曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程；(2)若a5，求f(x)的單調區(qū)間；(3)若3<a4，證明：f(x)在x1，e上有唯一零點解析：(1)若a0，則f(x)2x21ln x，f(x)4x，故f(1)5，即曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線斜率為5，又f(1)3，所以所求切線方程為y35(x1)，即5xy20.(2)當a5時，f(x)2x25x1ln x，其定義域為(0，)，f(x)4x5，當x，(1，)時，f(x)>0，所以f(x)在和(1，)上單調遞增當x時，f(x)<0，所以f(x)在上單調遞減(3)由f(x)2x2ax1ln x得f(x)4xa.設h(x)4x2ax1，a216，當3<a4時，0，有h(x)0，即f(x)0，故f(x)在(0，)上單調遞增又f(1)3a<0，f(e)2e2ae2e(2ea)2>0，所以f(x)在x1，e上有唯一零點42019·武漢調研已知函數(shù)f(x)ln(x1)，其中a為常數(shù)(1)當1<a2時，討論f(x)的單調性；(2)當x>0時，求g(x)xlnln(1x)的最大值解析：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(1，)，f(x)，x>1.當1<2a3<0，即1<a<時，當1<x<2a3或x>0時，f(x)>0，f(x)單調遞增，當2a3<x<0時，f(x)<0，f(x)單調遞減當2a30，即a時，f(x)0，則f(x)在(1，)上單調遞增當2a3>0，即a>時，當1<x<0或x>2a3時，f(x)>0，則f(x)在(1,0)，(2a3，)上單調遞增，當0<x<2a3時，f(x)<0，則f(x)在(0,2a3)上單調遞減綜上，當1<a<時，f(x)在(1,2a3)，(0，)上單調遞增，在(2a3,0)上單調遞減；當a時，f(x)在(1，)上單調遞增；當<a2時，f(x)在(1,0)，(2a3，)上單調遞增，在(0,2a3)上單調遞減(2)g(x)ln(1x)xlnxg，g(x)在(0，)上的最大值等價于g(x)在(0,1上的最大值令h(x)g(x)ln(1x)·(lnx1)ln(1x)lnx，則h(x).由(1)可知當a2時，f(x)在(0,1上單調遞減，f(x)<f(0)0，h(x)<0，從而h(x)在(0,1上單調遞減，h(x)h(1)0，g(x)在(0,1上單調遞增，g(x)g(1)2ln2，g(x)的最大值為2ln2.52019·湖北省七市教科研協(xié)作高三聯(lián)考已知函數(shù)f(x)(x1)exax2(e是自然對數(shù)的底數(shù)，aR)(1)判斷函數(shù)f(x)極值點的個數(shù)，并說明理由；(2)若xR，f(x)exx3x，求a的取值范圍解析：(1)f(x)的定義域為R，f(x)xex2axx(ex2a)當a0時，f(x)在(，0)上單調遞減，在(0，)上單調遞增，f(x)有1個極值點；當0<a<時，f(x)在(，ln(2a)上單調遞增，在(ln(2a)，0)上單調遞減，在(0，)上單調遞增，f(x)有2個極值點；當a時，f(x)在R上單調遞增，此時f(x)沒有極值點；當a>時，f(x)在(，0)上單調遞增，在(0，ln(2a)上單調遞減，在(ln(2a)，)上單調遞增，f(x)有2個極值點，綜上所述，當a0時，f(x)有1個極值點；當a>0且a時，f(x)有2個極值點；當a時，f(x)沒有極值點(2)由f(x)exx3x，得xexx3ax2x0.當x>0時，exx2ax10，即a對x>0恒成立設g(x)(x>0)，則g(x).設h(x)exx1(x>0)，則h(x)ex1.x>0，h(x)>0，h(x)在(0，)上單調遞增，h(x)>h(0)0，即ex>x1，g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，)上單調遞增，g(x)g(1)e2，ae2；當x0時，原不等式恒成立，aR；當x<0時，exx2ax10，設m(x)exx2ax1(x<0)，則m(x)ex2xa.設(x)ex2xa(x<0)，則(x)ex2<0，m(x)在(，0)上單調遞減，m(x)>m(0)1a，若a1，則m(x)>0，m(x)在(，0)上單調遞增，m(x)<m(0)0；若a>1，m(0)1a<0，x0<0，使得x(x0,0)時，m(x)<0，即m(x)在(x0,0)上單調遞減，m(x)>m(0)0，不符合題意，舍去a1.綜上，a的取值范圍是(，e262019·貴陽市普通高中高三年級摸底考試已知函數(shù)f(x)xln xaxa(aR)(1)f(x)在點(1，f(1)處的切線方程為yxt，求a和t的值；(2)對任意的x>1，f(x)0恒成立，求a的取值范圍解析：(1)函數(shù)定義域為x(0，)，f(x)ln x1a，由已知f(1)1，則1a1，即a2，所以f(1)0220，將(1,0)代入切線方程有t1，所以a2，t1.(2)對任意x(1，)，f(x)0恒成立，即ln xa0恒成立，令g(x)ln xa，有g(x)，當a>1時，g(x)，g(x)隨x的變化情況為x(1，a)a(a，)g(x)0g(x)單調遞減極小值單調遞增由表可知g(x)ming(a)ln a1a，又因為在函數(shù)h(x)ln x1x中，h(x)，所以h(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，)上單調遞減，所以h(x)h(1)0，所以g(x)ming(a)h(a)<h(1)0，與“對任意x(1，)，ln xa0恒成立”矛盾，故a>1不合題意；當a1時，g(x)0，則g(x)在1，)上單調遞增，所以g(x)g(1)0，即對任意x(1，)，ln xa0恒成立，故a1滿足題意，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為(，17