立體幾何(6)12019·重慶市七校聯(lián)考如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)都是2，D，E分別是AC，CC1的中點(diǎn)(1)求證：AE平面A1BD；(2)求三棱錐B1A1BD的體積解析：(1)因?yàn)锳BBCCA，D是AC的中點(diǎn)，所以BDAC.因?yàn)樵谥比庵鵄BCA1B1C1中，AA1平面ABC，AA1平面AA1C1C，所以平面AA1C1C平面ABC，又平面AA1C1C平面ABCAC，所以BD平面AA1C1C，又AE平面AA1C1C，所以BDAE.在正方形AA1C1C中，D，E分別是AC，CC1的中點(diǎn)，易證得A1DAE，又A1DBDD，A1D平面A1BD，BD平面A1BD，所以AE平面A1BD.(2)如圖所示，連接AB1交A1B于O，則O為AB1的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B1到平面A1BD的距離等于點(diǎn)A到平面A1BD的距離，易知BD，所以V三棱錐B1A1BDV三棱錐AA1BDV三棱錐BAA1D×SAA1D×BD××2×1×，所以三棱錐B1A1BD的體積為.22019·湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，SAAB2，點(diǎn)M是SD的中點(diǎn)，ANSC，且交SC于點(diǎn)N.(1)求證：SB平面ACM；(2)求點(diǎn)C到平面AMN的距離解析：(1)連接BD交AC于E，連接ME.四邊形ABCD是正方形，E是BD的中點(diǎn)M是SD的中點(diǎn)，ME是DSB的中位線(xiàn)，MESB.又ME平面ACM，SB平面ACM，SB平面ACM. (2)由條件知DCSA，DCDA，DC平面SAD，AMDC.又SAAD，M是SD的中點(diǎn)，AMSD，AM平面SDC，SCAM.由已知SCAN，SC平面AMN.于是CN平面AMN，則CN為點(diǎn)C到平面AMN的距離在RtSAC中，SA2，AC2，SC2，于是AC2CN·SCCN，點(diǎn)C到平面AMN的距離為.32019·江西名校聯(lián)考如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AA1A1C，平面AA1C1C平面ABC，ACC1120°，AA12，BC3.(1)求證：AA1A1B.(2)求三棱柱ABCA1B1C1的表面積解析：(1)由題意知平面AA1C1C平面ABC，平面AA1C1C平面ABCAC，且BCAC，所以BC平面AA1C1C，又AA1平面AA1C1C，所以BCAA1，又AA1A1C，A1CBCC，所以AA1平面A1BC.因?yàn)锳1B平面A1BC，所以AA1A1B.(2)易得C1A1CA1CA30°，所以在RtAA1C中，AC4，A1C2，故四邊形AA1C1C的面積S12×24.A1B1C1和ABC的面積之和S22××3×412，且AB5.又AA1A1B，所以A1B，所以四邊形AA1B1B的面積S32×2.由(1)知BC平面AA1C1C，所以BCCC1，故四邊形BB1C1C的面積S42×36.故三棱柱ABCA1B1C1的表面積SS1S2S3S44182.4.2019·安徽六校第二次聯(lián)考)如圖，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)A，E，B，F(xiàn)共面，且ABE和ABF均為等腰直角三角形，且BAEAFB90°.(1)若平面ABCD平面AEBF，證明平面BCF平面ADF；(2)在線(xiàn)段EC上是否存在一點(diǎn)G，使得BG平面CDF？若存在，求出此時(shí)三棱錐GABE與三棱錐GADF的體積之比；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以BCAB，又平面ABCD平面AEBF，BC平面ABCD，平面ABCD平面AEBFAB，所以BC平面AEBF.因?yàn)锳F平面AEBF，所以BCAF.因?yàn)锳FB90°，即AFBF，且BC平面BCF，BF平面BCF，BCBFB，所以AF平面BCF.又AF平面ADF，所以平面ADF平面BCF.(2)假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)G.因?yàn)锽CAD，AD平面ADF，所以BC平面ADF.因?yàn)锳BE和ABF均為等腰直角三角形，且BAEAFB90°，所以FABABE45°，所以AFBE，又AF平面ADF，所以BE平面ADF，因?yàn)锽CBEB，所以平面BCE平面ADF.如圖所示，延長(zhǎng)EB到點(diǎn)H，使得BHAF，連接CH，HF，AC，易證四邊形ABHF是平行四邊形，又BC綊AD，所以HF綊AB綊CD，所以四邊形HFDC是平行四邊形，所以CHDF.過(guò)點(diǎn)B作CH的平行線(xiàn)，交EC于點(diǎn)G，即BGCHDF，又DF平面CDF，所以BG平面CDF，即此點(diǎn)G為所求的點(diǎn)又BEAB2AF2BH，所以EGEC.易知SABE2SABF，所以V三棱錐GABEV三棱錐CABEV三棱錐CABFV三棱錐DABFV三棱錐BADFV三棱錐GADF，故V三棱錐GABEV三棱錐GADF43.52019·江西宜春大聯(lián)考如圖1，四邊形ABCD是矩形，AB2，AD4，E，F(xiàn)分別為DC，AB上的點(diǎn)，且DEDC，AFAB，將矩形ABCD卷成如圖2所示的以AD，BC為母線(xiàn)的圓柱的半個(gè)側(cè)面，且AB，CD分別為圓柱的兩底面的直徑(1)求證：平面ADEF平面BCEF；(2)求四棱錐DBCEF的體積解析：(1)因?yàn)镕在底面圓周上，且AB為該底面半圓的直徑，所以AFBF.由題易知，EFAD.又AD為圓柱的母線(xiàn)，所以EF垂直于圓柱的底面，所以EFBF.又AFEFF，所以BF平面ADEF.因?yàn)锽F平面BCEF，所以平面ADEF平面BCEF.(2)設(shè)圓柱的底面半徑為r，由題設(shè)知，r2，所以r2，所以CD4.因?yàn)樵趫D1中DEDC，AFAB，所以在圖2中結(jié)合題意易得CDE30°，DECE，所以CECD2，DE2.由題易知BC平面DCE，所以BCDE，又BCCEC，所以DE平面BCEF，所以DE為四棱錐DBCEF的高又ADBC4，所以V四棱錐DBCEFS四邊形BCEF×DE×BC×CE×DE×4×2×2.6.2019·福建福州二檢如圖，四棱錐EABCD中，平面ABCD平面ABE，四邊形ABCD為矩形，AD6，AB5，BE3，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF平面ACE.(1)求證：AEBE；(2)設(shè)M在線(xiàn)段DE上，且滿(mǎn)足EM2MD，試在線(xiàn)段AB上確定一點(diǎn)N，使得MN平面BCE，并求MN的長(zhǎng)解析：(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以BCAB.因?yàn)槠矫鍭BCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，且BC平面ABCD，所以BC平面ABE，又AE平面ABE，所以BCAE.因?yàn)锽F平面ACE，AE平面ACE，所以BFAE.又BCBFB，BC平面BCE，BF平面BCE，所以AE平面BCE，因?yàn)锽E平面BCE，所以AEBE.(2)方法一如圖，在ADE中，過(guò)點(diǎn)M作MGAD交AE于點(diǎn)G，在ABE中過(guò)點(diǎn)G作GNBE交AB于點(diǎn)N，連接MN.因?yàn)镋M2MD，所以EG2GA，BN2NA.下面證明此時(shí)MN平面BCE.因?yàn)镹GBE，NG平面BCE，BE平面BCE，所以NG平面BCE.因?yàn)镚MADBC，GM平面BCE，BC平面BCE，所以GM平面BCE.因?yàn)镸GGNG，MG平面MGN，GN平面MGN，所以平面MGN平面BCE，又MN平面MGN，所以MN平面BCE.因?yàn)锳D6，AB5，BE3，所以MGAD4，NGBE1.易知MGGN，所以MN.方法二過(guò)點(diǎn)M作MGCD交CE于點(diǎn)G，連接BG，在線(xiàn)段AB上取點(diǎn)N，使得BNMG，連接MN(如圖)因?yàn)锳BCD，MGCD，EM2MD，所以MGCD，MGBN，又BNMG，所以四邊形MGBN是平行四邊形，所以MNBG，又MN平面BCE，BG平面BCE，所以MN平面BCE，可得點(diǎn)N為線(xiàn)段AB上靠近點(diǎn)A的一個(gè)三等分點(diǎn)，在CBG中，因?yàn)锽CAD6，CGCE，cosBCG，所以BG23652×6××17，所以MNBG.6